ریاضیات

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

تصویری از اینکه چگونه یک 2 کره را می توان دو بار به دور یک کره دیگر پیچید. لبه ها باید مشخص شوند.

در زمینه ریاضی توپولوژی جبری ، گروه‌های هموتوپی کره‌ها توصیف می‌کنند که چگونه کره‌هایی با ابعاد مختلف می‌توانند به دور یکدیگر بپیچند. آنها نمونه‌هایی از متغیرهای توپولوژیکی هستند که ساختار کره‌هایی را که به‌عنوان فضاهای توپولوژیکی در نظر گرفته می‌شوند ، در قالب جبری منعکس می‌کنند و هندسه دقیق آنها را فراموش می‌کنند. بر خلاف گروه‌های همسانی ، که ثابت‌کننده‌های توپولوژیکی نیز هستند، گروه‌های هموتوپی به‌طور شگفت‌انگیزی پیچیده و محاسبه آن دشوار است.

فیبراسیون هاف یک نگاشت حجم قابل توجهی از 3 حوزه به 2-کره است، و گروه های هموتوپی سوم از 2-حوزه تولید می کند.

این تصویر بخشی از فیبراسیون هاف را تقلید می کند ، یک نقشه برداری جالب از کره سه بعدی به کره دو بعدی. این نگاشت مولد سومین گروه هموتوپی کره 2 است.

N واحد بعدی کره - به نام N -sphere برای اختصار و اشاره به S N - تعمیم آشنا دایره ( S 1 ) و عادی حوزه ( S 2 ). N -sphere ممکن است هندسی به عنوان مجموعه ای از نقاط در یک تعریف فضای اقلیدسی از ابعاد N + 1 واقع در فاصله واحد از مبدا. من توریم گروه هوموتوپی π من ( S N ) به طور خلاصه بیان روش های مختلف که در آنi - بعدی کره S i را می توان به طور پیوسته در کره n - بعدی S n نگاشت . اگر بتوان به طور مداوم یکی را به دیگری تغییر شکل داد، این خلاصه بین دو نگاشت تمایز قائل نمی شود . بنابراین، تنها کلاس های هم ارزی نگاشت ها خلاصه می شوند. یک عملیات "افزودن" تعریف شده بر روی این کلاس های هم ارزی، مجموعه ای از کلاس های هم ارزی را به یک گروه آبلی تبدیل می کند .

مسئله تعیین π من ( S N ) به سه رژیم می افتد، بسته به اینکه آیا من کمتر از است، برابر با، یا بیشتر از N .

• برای 0 < من < N ، هر نگاشت از S من به S N هموتوپیک (یعنی به طور مداوم تغییر شکل) به یک نگاشت ثابت، به عنوان مثال، یک نگاشت که نقشه همه است S من به یک نقطه از یک S N . بنابراین گروه هموتوپی گروه بی اهمیت است .
• وقتی i = n ، هر نقشه از S n به خودش درجه ای دارد که تعداد دفعات پیچیده شدن کره را اندازه می گیرد. این درجه گروه هموتوپی π n ( S n ) را با گروه اعداد صحیح تحت جمع مشخص می کند. به عنوان مثال، هر نقطه از یک دایره را می توان به طور مداوم بر روی یک نقطه از دایره دیگر نگاشت. همانطور که نقطه اول در اطراف دایره اول حرکت می کند، نقطه دوم ممکن است چندین بار در اطراف دایره دوم بچرخد، بسته به نقشه خاص.
• جالب ترین و شگفت انگیزترین نتایج زمانی رخ می دهد که i > n . اولین شگفتی از این دست، کشف نقشه‌برداری به نام فیبراسیون هاف بود که S 3 3 کره را به شکلی غیر پیش پا افتاده به دور کره معمولی S 2 می‌پیچد و بنابراین معادل نقشه‌برداری یک نقطه‌ای نیست.

سوال محاسبه گروه هوموتوپی π N + K ( S N ) برای مثبت K تبدیل به یک پرسش اصلی در توپولوژی جبری است که به توسعه بسیاری از تکنیک های اساسی آن کمک کرده و به عنوان یک تمرکز تحریک پژوهش خدمت کرده است. یکی از اکتشافات اصلی این است که گروه های هموتوپی π n + k ( S n ) مستقل از n برای n ≥ k + 2 هستند . اینها گروه های هموتوپی پایدار کره ها نامیده می شوند و برای مقادیر k محاسبه شده اندتا 64. گروه های هموتوپی پایدار حلقه ضریب یک نظریه همومولوژی فوق العاده را تشکیل می دهند که نظریه هموتوپی پایدار نامیده می شود . گروه های هموتوپی ناپایدار (برای n < k + 2 ) نامنظم تر هستند. با این وجود، آنها برای k <20 جدول بندی شده اند . اکثر محاسبات مدرن از دنباله های طیفی استفاده می کنند ، تکنیکی که اولین بار توسط ژان پیر سر برای گروه های هموتوپی کره ها اعمال شد . چندین الگوی مهم ایجاد شده است، اما بسیاری از آنها ناشناخته و غیرقابل توضیح باقی مانده اند.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Homotopy_groups_of_spheres