•  

   

  توپولوژی زیرفضا

  از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

  در توپولوژی و زمینه های مرتبط با ریاضیات ، یک شبه از یک فضای توپولوژیک X است زیر مجموعه S از X است که با یک مجهز توپولوژی ناشی از آن از X به نام توپولوژی فضا (یا توپولوژی نسبی ، یا توپولوژی ناشی از ، یا اثری توپولوژی )

  فهرست

  • 1تعریف
  • 2واژه شناسی
  • 3مثال ها
  • 4خواص
  • 5حفظ خواص توپولوژیکی
  • 6همچنین ببینید
  • 7منابع

  تعریف [ ویرایش ]

  با توجه به فضای توپولوژیکی و یک زیر مجموعه  از ، توپولوژی زیرفضا در توسط تعریف می شود

  

  یعنی زیرمجموعه ای از در توپولوژی فضا باز است اگر و تنها اگر آن است تقاطع ازبا یک مجموعه باز دربه اگرمجهز به توپولوژی زیرفضا می باشد ، بنابراین به خودی خود یک فضای توپولوژیکی است و زیرفضا ازبه فرض بر این است که زیر مجموعه های فضاهای توپولوژیکی مجهز به توپولوژی زیرفضا هستند مگر اینکه خلاف آن بیان شده باشد.

  متناوباً می توان توپولوژی زیرفضا را برای زیرمجموعه ای تعریف کرد  از به عنوان درشت ترین توپولوژی که نقشه گنجاندن برای آن است

  

  است مستمر .

  به طور کلی تر ، فرض کنید یک IS تزریق از یک مجموعه به یک فضای توپولوژیکی به سپس توپولوژی زیرفضا روشن می شود به عنوان درشت ترین توپولوژی برای آن تعریف شده است پیوسته است مجموعه های باز در این توپولوژی دقیقاً مجموعه های فرم هستند برای  باز کردن در به سپس به تصویر خود در هومومورفیک تبدیل می شود (همچنین با توپولوژی زیرفضا) و جاسازی توپولوژیکی نامیده می شود .

  یک زیرفضا در صورت تزریق ، زیرفصل باز نامیده می شودیک نقشه باز است ، به عنوان مثال ، اگر تصویر رو به جلو یک مجموعه باز از باز است در به به همین ترتیب در صورت تزریق ، زیرفصل بسته نامیده می شودیک نقشه بسته است

  اصطلاحات [ ویرایش ]

  تمایز بین یک مجموعه و یک مکان توپولوژیکی اغلب به لحاظ دلخواه ، برای راحتی ، محو می شود ، که می تواند منبع گیجی در هنگام برخورد اولین بار با این تعاریف باشد. بنابراین ، هر زمان زیرمجموعه ای از است ، و  یک فضای توپولوژیکی است ، سپس نمادهای بدون تزئین ""و""اغلب می تواند برای اشاره به هر دو مورد استفاده قرار گیرد  و  به عنوان دو زیر مجموعه در نظر گرفته شده است ، و همچنین به  و به عنوان فضاهای توپولوژیکی ، همانطور که در بالا مورد بحث قرار گرفت. بنابراین عباراتی مانند " یک زیرفضا باز از "به این معنی استفاده می شود  یک زیرفضا باز از ، به معنای زیر استفاده می شود ؛ یعنی: (من)؛ و (ii) در نظر گرفته می شود که دارای توپولوژی زیرفضا است.

  مثالها [ ویرایش ]

  در ادامه مطلب ، نشان دهنده اعداد حقیقی با توپولوژی های معمول خود را.

  • توپولوژی زیرفضای اعداد طبیعی ، به عنوان زیرفضا از، توپولوژی گسسته است .
  • اعداد گویا  به عنوان یک زیرفضا از  توپولوژی مجزا ندارند (برای مثال {0} یک مجموعه باز نیست ) اگر و ب منطقی، سپس فواصل ( ، ب ) و [ ، ب ] به ترتیب باز و بسته، اما اگر و ب غیر منطقی هستند، پس از آن مجموعه ای از تمام منطقی X با < X < ب هر دو است باز و بسته
  • مجموعه [0،1] به عنوان زیرفضا از  باز و بسته است ، در حالی که به عنوان زیر مجموعه ای از  فقط بسته است
  • به عنوان یک زیرفضا از ، [0 ، 1] ∪ [2 ، 3] از دو زیر مجموعه باز منفصل (که اتفاق می افتد نیز بسته می شوند) تشکیل شده است ، و بنابراین یک فضای قطع است .
  • بگذارید S = [0، 1) یک زیرفضا از خط واقعی باشدبه سپس [0 ، 1 ⁄ 2 ) در S باز است اما در S نیستبه به همین ترتیب [ 1 ⁄ 2 ، 1) در S بسته است اما در S بسته نیستبه S به عنوان زیرمجموعه ای از خود باز و بسته است اما به عنوان زیرمجموعه ای از آن نیستبه

  خواص [ ویرایش ]

  توپولوژی زیرفضا دارای ویژگی مشخصه زیر است. اجازه دهید زیر فضایی از  و اجازه دهید نقشه گنجاندن باشد سپس برای هر فضای توپولوژیکی نقشه اگر و فقط در صورتی که نقشه ترکیبی باشد پیوسته است پیوسته است

  

  این ویژگی به این معنا مشخص است که می توان از آن برای تعریف توپولوژی زیرفضا استفاده کرد به

  ما برخی دیگر از ویژگی های توپولوژی زیرفضا را لیست می کنیم. در ادامه اجازه دهید زیر فضایی از به

  • اگر  پیوسته است سپس محدودیت به  پیوسته است
  • اگر  پس پیوسته است  پیوسته است
  • بسته بسته می شود  دقیقاً تقاطع های  با مجموعه های بسته در به
  • اگر  یک زیرفضا از  سپس  همچنین یک زیرفضا از است با همان توپولوژی به عبارت دیگر توپولوژی زیرفضا که ارث می برد از  همان چیزی است که از آن به ارث برده است به
  • فرض کنید  یک زیرفضا باز از  (بنابراین ) سپس زیرمجموعه ای از باز است در  اگر و فقط اگر در آن باز باشد به
  • فرض کنید  یک زیرفضا بسته از  (بنابراین ) سپس زیرمجموعه ای از در بسته است  اگر و فقط اگر در آن بسته باشد به
  • اگر یک اساس برای سپس  مبنایی برای به
  • توپولوژی ناشی از زیرمجموعه یک فضای متریک با محدود کردن متریک به این زیرمجموعه با توپولوژی زیرفضا برای این زیرمجموعه منطبق است.

  حفظ خواص توپولوژیکی [ ویرایش ]

  اگر یک فضای توپولوژیکی دارای خاصیت توپولوژیکی باشد ، نشان می دهد که زیر فضاهای آن دارای این ویژگی هستند ، ما می گوییم که این ویژگی ارثی است . اگر فقط زیرفضا های بسته باید ویژگی را به اشتراک بگذارند ، ما آن را ارثی ضعیف می نامیم .

  • هر فضا بسته شدن باز و هر یک به طور کامل ناتهی یک مجموعه میگر فضای کاملا ناتهی یک مجموعه میگر است.
  • هر زیرفضای باز یک فضای بایر یک فضای بایر است.
  • هر زیر فضایی بسته از یک فضای جمع و جور جمع و جور است.
  • بودن در منطقه هاسدورف موروثی است.
  • بودن در یک فضای معمولی ضعیف ارثی است.
  • محدودیت کلی ارثی است.
  • بودن کاملا قطع ارثی است.
  • شمارش اول و شمارش دوم ارثی هستند.

  همچنین ببینید [ ویرایش ]

  • مفهوم دوگانه فضای بهره وری
  • توپولوژی ضرب
  • توپولوژی مجموع مستقیم

  مراجع 

https://en.wikipedia.org/wiki/Subspace_topology