گروه هایزنبرگ

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه یازدهم مهر ۱۴۰۰ | 1:18

در ریاضیات ، گروه هایزنبرگ $ح$ پس از به نام ورنر هایزنبرگ ، است گروه از 3 × 3 ماتریس مثلثی بالا از فرم

$\ begin {pmatrix} 1 & a & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \\ \ end {pmatrix}$

تحت عملیات ضرب ماتریس . عناصر a ، b و c را می توان از هر حلقه عوض کننده با همانی گرفت ، اغلب حلقه اعداد حقیقی (در نتیجه "گروه پیوسته هایزنبرگ") یا حلقه اعداد صحیح (در نتیجه "گروه گسسته هایزنبرگ") به

گروه پیوسته هایزنبرگ در توصیف سیستم های مکانیکی کوانتومی تک بعدی بوجود می آید ، به ویژه در زمینه قضیه استون ون نویمان . به طور کلی ، می توان گروه هایزنبرگ را که به سیستم های ابعادی n و به طور کلی به هر فضای بردار سمپلتیک مرتبط است ، در نظر گرفت .

فهرست

مورد سه بعدی [ ویرایش ]

در مورد سه بعدی ، حاصلضرب دو ماتریس هایزنبرگ به شرح زیر است:

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & a & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \\\ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 & a '& c' \\ 0 & 1 & b '\\ 0 & 0 & 1 \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 & a+a '& c+ab'+c '\\ 0 & 1 & b+b' \\ 0 & 0 & 1 \\\ end {pmatrix}} \ ،.}$

همانطور که از عبارت ab 'مشاهده می شود ، این گروه غیر آبلی است .

عنصر خنثی گروه هایزنبرگ ماتریس همانی است ، و معکوس با آن داده می شود

$\ begin {pmatrix} 1 & a & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \\ \ end {pmatrix}^{-1} = \ begin {pmatrix} 1 & -a & ab-c \\ 0 & 1 & -b \\ 0 & 0 & 1 \\ \ end {pmatrix} \ ،.$

این گروه زیر گروهی از گروه وابسته دو بعدی Aff (2) است: $\ begin {pmatrix} 1 & a & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \\ \ end {pmatrix}$ عمل کردن در ${\ displaystyle ({\ vec {x}} ، 1)}$ مربوط به تبدیل آمین است ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ vec {x}}+{\ begin {pmatrix} c \\ b \ end {pmatrix}}}$ به

چندین نمونه برجسته از مورد سه بعدی وجود دارد.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Heisenberg_group

ریاضیات

آموزش ریاضی