ریاضیات

اجزای همبند [ ویرایش ]

حداکثر همبند زیر مجموعه (مرتب شده گنجاندن ) از یک فضای توپولوژیک غیر خالی هستند به نام اجزای همبند از فضا. اجزای هر فضای توپولوژیک X به صورت یک پارتیشن از  X : آنها متلاشی شدن ، غیر خالی، و اتحادیه خود فضای کل است. هر جزء زیر مجموعه بسته ای از فضای اصلی است. از این رو ، در موردی که تعداد آنها محدود است ، هر جزء نیز یک زیرمجموعه باز است. با این حال ، اگر تعداد آنها بی نهایت باشد ، ممکن است اینطور نباشد. به عنوان مثال ، اجزای همبند مجموعه اعداد منطقی مجموعه های یک نقطه ای هستند ( تک نفره) ، که باز نیستند. زیرا هر دو عدد منطقی متمایزدر اجزای مختلف هستند می توانید یک عدد غیر منطقی بگیرید، و سپس تنظیم کنید {\ و به سپس جدایی از است  ، و ، به بنابراین هر جزء مجموعه ای یک نقطه ای است.

اجازه دهید جزء همبند x در فضای توپولوژیکی X باشد ، وباشد تقاطع همه clopen مجموعه حاوی X (به نام شبه جزء از X .) سپساگر X هاسدورف جمع و جور باشد یا به صورت محلی به هم همبند باشد ، برابری برقرار است. [2]

فضاهای قطع شده [ ویرایش ]

فضایی که در آن همه اجزا مجموعه های یک نقطه ای هستند ، کاملاً قطع ارتباط نامیده می شود . در ارتباط با این ویژگی ، یک فضای X کاملاً جدا شده نامیده می شود ، در صورتی که برای هر دو عنصر متمایز x و y از X ، مجموعه های باز جداگانه U حاوی x و V حاوی y وجود داشته باشد به طوری که X اتحاد U و V باشد. بدیهی است که هر فضای کاملاً جدا شده کاملاً قطع است ، اما عکس آن صادق نیست. به عنوان مثال دو نسخه از اعداد منطقی Q را بگیرید، و آنها را در هر نقطه به جز صفر شناسایی کنید. فضای حاصله ، با توپولوژی ضریب ، کاملاً قطع می شود. با این حال ، با در نظر گرفتن دو نسخه صفر ، می بینید که فضا کاملاً از هم جدا نشده است. در حقیقت ، این حتی هاوسدورف نیست و شرایط جدا شدن کامل از شرایط هاسدورف بودن بسیار قوی تر است.

مثالها [ ویرایش ]

• فاصله بسته {در توپولوژی زیر فضایی استاندارد همبند است. اگرچه می توان آن را برای مثال به عنوان اتحاد نوشت و  مجموعه دوم در توپولوژی انتخاب شده باز نیست 
• اتحادیه از و قطع شده است ؛ هر دو این فواصل در فضای توپولوژیکی استاندارد باز هستند
•  قطع شده است
• یک زیر مجموعه محدب از R n همبند است. در واقع به سادگی همبند است
• اقلیدسی به استثنای مبدا،همبند است ، اما به سادگی همبند نیست. فضای اقلیدسی سه بعدی بدون مبدا همبند است ، و حتی به سادگی همبند است. در مقابل ، فضای اقلیدسی تک بعدی بدون مبدا به هم همبند نیست.
• یک هواپیمای اقلیدسی با یک خط مستقیم برداشته شده همبند نمی شود زیرا از دو نیم سطح تشکیل شده است.
• R ، فضای اعداد حقیقی با توپولوژی معمول ، همبند است.
• Sorgenfrey خط قطع شده است. [3]
• اگر حتی یک نقطه از R حذف شود ، بقیه قطع می شود. با این حال ، اگر حتی بی نهایت نقاط قابل شمارش از آن حذف شود، جایی که بقیه همبند است اگر n ≥ 3 ، پس پس از حذف نقاط قابل شمارش به سادگی همبند می شود.
• هر فضای بردار توپولوژیکی ، به عنوان مثال هر فضای هیلبرت یا فضای Banach ، در یک زمینه همبند (مانند یا ) ، به سادگی همبند است
• هر فضای توپولوژیکی مجزا با حداقل دو عنصر قطع می شود ، در واقع چنین فضایی کاملاً قطع می شود . ساده ترین مثال ، فضای دو نقطه ای مجزا است . [4]
• از طرف دیگر ، ممکن است مجموعه ای محدود همبند شود. به عنوان مثال ، طیف حلقه ارزش گذاری گسسته شامل دو نقطه است و به هم همبند است. این نمونه ای از فضای Sierpiński است .
• مجموعه کانتور کاملا قطع؛ از آنجا که مجموعه شامل تعداد بیشماری نقاط است ، به طور غیر قابل شمارش اجزای زیادی دارد.
• اگر یک فضای X است homotopy معادل به یک فضای همبند، سپس X است خود همبند است.
• منحنی سینوسی مکان شناس است به عنوان مثال از یک مجموعه است که همبند اما نه مسیر همبند و نه به صورت محلی همبند است.
• گروه کلی خطی (این است که، این گروه از N -by- N واقعی، ماتریس وارون) متشکل از دو جزء همبند: یکی از با ماتریس از تعیین مثبت و دیگری تعیین منفی است. به طور خاص ، همبند نیست. متقابلا،وصل است. به طور کلی ، مجموعه ای از عملگرهای محدود ناپذیر در یک فضای پیچیده هیلبرت همبند است.
• طیف حلقه های محلی و دامنه های انتگرال به هم همبند هستند. به طور کلی ، موارد زیر معادل هستند [5]
  1. طیف یک حلقه جابجایی R همبند است
  2. هر ماژول تصویری تولید شده بر روی R دارای رتبه ثابت است.
  3. R فاقد قدرتمند است(به عنوان مثال ، R محصول دو حلقه به صورت غیرحرفه ای نیست).

نمونه ای از فضا که همبند نیست ، صفحه ای است که خط بی نهایت از آن حذف شده است. نمونه های دیگر فضاهای جدا شده (یعنی فضاهایی که به هم همبند نیستند) عبارتند از صفحه با حلقه حذف شده ، و همچنین اتحاد دو دیسک بسته جدا از هم ، که در آن همه نمونه های این پاراگراف دارای توپولوژی زیر فضایی ناشی از اقلیدسی دو بعدی هستند. فضا.