گروه آزاد

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه دوم مهر ۱۴۰۰ | 16:54

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

ساختار جبری → نظریه گروه نظریه گروه

نشان دادن مفاهیم اولیه
نشان دادن گروههای محدود
پنهان شدن گروههای مجزا شبکه های مشبک اعداد صحیح ( $\ mathbb {Z}$ ) گروه رایگان گروه های مدولار PSL (2 ، $\ mathbb {Z}$ ) SL (2 ، $\ mathbb {Z}$ ) گروه حساب شبکه مشبک گروه هایپربولیک
نشان دادن گروه های توپولوژیک و دروغ
نشان دادن گروههای جبری
v t ه

نمودار نشان می دهد که نمودار Cayley برای گروه رایگان در دو ژنراتور چگونه خواهد بود. هر راس نشان دهنده عنصری از گروه آزاد است و هر لبه نشان دهنده ضرب در a یا b است .

در ریاضیات ، گروه آزاد F S بر روی یک مجموعه معین S شامل همه کلماتی است که می توان از اعضای S ساخت ، با توجه به اینکه دو کلمه متفاوت هستند مگر اینکه برابری آنها از بدیهیات گروه ناشی شود (به عنوان مثال st = suu -1 t ، اما s ≠ t -1 برای s ، t ، u ∈ S ). اعضای S نامیده می شوند ژنراتور از F S، و تعداد ژنراتورها رتبه گروه آزاد است. خودسرانه گروه G نامیده می شود آزاد اگر آن را ریخت به F S برای برخی از زیر مجموعه S از G ، این است که، اگر یک زیر مجموعه وجود دارد S از G به طوری که هر عنصر از G می توان در دقیقا یکی از راه های به عنوان یک محصول متناهی نوشته بسیاری از عناصر S و معکوس آنها (بدون توجه به تغییرات بی اهمیت مانند st = suu -1 t ).

یک مفهوم مرتبط اما متفاوت یک گروه هابلی رایگان است . هر دو مفهوم نمونه های خاصی از یک جسم آزاد از جبر جهانی هستند . به این ترتیب ، گروه های آزاد با ویژگی جهانی خود تعریف می شوند .

فهرست

تاریخچه [ ویرایش ]

گروههای آزاد ابتدا در مطالعه هندسه هذلولی ، به عنوان نمونه ای از گروههای فوچسی (گروههای مجزا که با ایزومتری در سطح هذلولی عمل می کنند ) بوجود آمدند . والتر فون دیک در مقاله ای در سال 1882 اشاره کرد که این گروه ها ساده ترین ارائه ممکن را دارند . [1] مطالعه جبری گروه های آزاد توسط یاکوب نیلسن در سال 1924 آغاز شد ، که نام آنها را به آنها داد و بسیاری از ویژگی های اساسی آنها را مشخص کرد. [2] [3] [4] ماکس دهن به ارتباط با توپولوژی پی برد و اولین اثبات قضیه کامل نیلسن - شرایر را بدست آورد .[5] اتو شرایر یک اثبات جبری از این نتیجه را در سال 1927 منتشر کرد [6] و کورت ریدمیستر ، درمان جامع گروه های آزاد را در کتاب خود در سال 1932 در زمینه توپولوژی ترکیبی گنجانده بود. [7] بعدها در دهه 1930 ، ویلهلم مگنوس ارتباط بین سری مرکزی پایین گروههای آزاد و جبرهای آزاد دروغ را کشف کرد .

مثالها [ ویرایش ]

گروه ( Z ،+) اعداد صحیح از رتبه 1 خالی است. یک مجموعه تولید S = {1} است. اعداد صحیح نیز یک گروه abelian رایگان هستند ، اگرچه همه گروههای رایگان دارای رتبه هستند $\ geq 2$ غیر ابلیان هستند یک گروه رایگان در مجموعه S دو عنصری در اثبات پارادوکس Banach-Tarski رخ می دهد و در آنجا شرح داده شده است.

از طرف دیگر ، هیچ گروه محدود غیرحادی نمی تواند آزاد باشد ، زیرا عناصر یک مجموعه تولید کننده آزاد از یک گروه آزاد دارای نظم بی نهایت هستند.

در توپولوژی جبری از گروه اساسی از یک دسته گل از K محافل (مجموعه ای از K حلقه داشتن تنها یک نقطه مشترک هستند) گروه رایگان در مجموعه ای از است ک عناصر.

ساخت و ساز [ ویرایش ]

گروه رایگان F S با تولید مجموعه ای رایگان S می توان به شرح زیر ساخته شده است. S مجموعه ای از نمادهاست و ما فرض می کنیم که برای هر s در S یک نماد "معکوس" مربوطه ، s -1 ، در مجموعه S -1 وجود دارد . اجازه دهید T = S ∪ S −1 ، و یک کلمه در S را برای هر محصول نوشته شده از عناصر T تعریف کنید . یعنی یک کلمه در S عنصری از مونوئید است که توسط T تولید می شودبه کلمه خالی کلمه ای است که هیچ علامتی ندارد. به عنوان مثال ، اگر S = { a ، b ، c } ، سپس T = { a ، a −1 ، b ، b −1 ، c ، c −1 } ، و

$ab^{3} c^{-1} ca^{-1} c \ ،$

یک کلمه در S است .

اگر یک عنصر S بلافاصله در کنار عکس آن قرار گیرد ، ممکن است با حذف جفت c ، c −1 کلمه ساده شود :

$ab^{3} c^{-1} ca^{-1} c \؛ \؛ \ longrightarrow \؛ \؛ ab^{3} \، a^{-1} ج$

کلمه ای که نمی توان آن را بیشتر ساده کرد ، کاهش نامیده می شود .

گروه آزاد F S به عنوان گروه همه کلمات کاهش یافته در S تعریف می شود ، با ترکیب کلمات (در صورت لزوم کاهش) به عنوان عملیات گروه. هویت کلمه خالی است.

اگر یک کلمه به صورت چرخه ای کاهش می یابد ، اگر حرف اول و آخر آن معکوس یکدیگر نباشند. هر کلمه ای که مزدوج به یک کلمه چرخه کاهش می یابد، و یک مزدوج چرخه کاهش یک کلمه چرخه کاهش یک جایگشت حلقوی از حروف در کلمه است. برای مثال b -1 abcb به صورت چرخه ای کاهش نمی یابد ، بلکه به abc مزدوج می شود ، که به صورت چرخه ای کاهش می یابد. تنها چرخه کاهش ترکیبات از ABC هستند ABC ، BCA ، و کابین .

ویژگی جهانی [ ویرایش ]

گروه آزاد F S است جهانی گروه تولید شده توسط مجموعه S . این را می توان با ویژگی جهانی زیر رسمی کرد : با توجه به هر تابع f از S تا گروه G ، یک همومورفیسم منحصر به فرد φ : F S → G وجود دارد که باعث می شود نمودار زیر رفت و آمد کند (جایی که نگاشت بدون نام نشان دهنده گنجاندن از S به F S است ):

یعنی همومورفیسم F S → G با تابع S → G تناسب یک به یک دارد . برای یک گروه غیر آزاد ، وجود روابط ، تصاویر احتمالی ژنراتورها را تحت همومورفیسم محدود می کند.

برای مشاهده ارتباط این امر با تعریف سازنده ، نگاشت را از S به F S به عنوان ارسال هر نماد به کلمه ای متشکل از آن نماد در نظر بگیرید. برای ساخت φ برای f داده شده ، ابتدا توجه داشته باشید که φ کلمه خالی را به هویت G ارسال می کند و باید در مورد عناصر S با f موافق باشد . برای کلمات باقی مانده (متشکل از بیش از یک نماد) ، φ را می توان به طور منحصر به فرد گسترش داد ، زیرا این همومریسم است ، یعنی φ ( ab ) = φ ( a ) φ ( b ).

ویژگی فوق گروههای آزاد را تا ایزومورفیسم مشخص می کند و گاهی به عنوان تعریف جایگزین مورد استفاده قرار می گیرد. آن را به عنوان شناخته شده اموال جهانی از گروه های آزاد، و تولید مجموعه S است که به نام پایه و اساس برای F S . اساس یک گروه رایگان به طور منحصر به فرد تعیین نشده است.

مشخصه بودن با یک ویژگی جهانی ویژگی استاندارد اجسام آزاد در جبر جهانی است . در زبان تئوری رده ، ساخت و ساز از گروه آزاد (شبیه به ترین سازه از اشیاء آزاد) است عمل کننده از دسته از مجموعه های به دسته از گروه . این عمل کننده است الحاقی چپ به عمل کننده فراموشکار از گروه به مجموعه.

حقایق و قضایا [ ویرایش ]

برخی از ویژگی های گروه های رایگان به آسانی از تعریف زیر پیروی می کنند:

هر گروه G تصویر همگونی برخی از گروه های آزادF ( S ) است. اجازه دهید S شود مجموعه ای از ژنراتور از G . نقشه طبیعی f : F ( S ) → G یک اپی مورفیسم است که این ادعا را اثبات می کند. به طور معادل ، G برای گروه عامل برخی از گروه های آزاد F ( S ) ایزومورف است . هسته φ مجموعه ای از است روابط در ارائه از G . اگر می توان S را محدود در اینجا انتخاب کرد ، G نامیده می شودبه طور نهایی تولید می شود
اگر S بیش از یک عنصر داشته باشد ، F ( S ) ابلیان نیست و در واقع مرکز F ( S ) بی اهمیت است (یعنی فقط از عنصر هویت تشکیل شده است).
دو گروه آزاد F ( S ) و F ( T ) ایزومورف هستند اگر و فقط اگر S و T دارای ویژگی اصلی باشند . این اصل را رتبه گروه آزاد F می نامند . بنابراین برای هر عدد اصلی k ، تا ایزومورفیسم ، دقیقاً یک گروه آزاد از رتبه k وجود دارد .
یک گروه عاری از مرتبه متناهی N > 1 است نمایی نرخ رشد از مرتبه 2 نفر - 1.

چند نتیجه مرتبط دیگر عبارتند از:

نیلسن Schreier قضیه : هر زیر گروه یک گروه آزاد آزاد است.
یک گروه آزاد از رتبه k به وضوح دارای زیر گروه هایی از هر رتبه کمتر از k است . بدیهی است که یک گروه آزاد( غیرآبلی! ) دارای رتبه حداقل 2 دارای زیر گروه هایی از همه رتبه های قابل شمارش است .
زیر گروه کموتاتور یک گروه آزاد از رتبه K > 1 است رتبه بی نهایت. به عنوان مثال برای F ( a ، b ) ، آزادانه توسط کموتاتورها [ a m ، b n ] برای m و n صفر تولید می شود .
گروه رایگان در دو عنصر SQ جهانی است . موارد فوق به شرح زیر است زیرا هر گروه جهانی SQ دارای زیر گروه هایی از همه رتبه های قابل شمارش است.
هر گروهی که عمل می کند در یک درخت، آزادانه و حفظ جهت گیری ، یک گروه آزاد از رتبه قابل شمارش است (داده شده توسط 1 به همراه مشخصه اویلر از خارج قسمت نمودار ).
گراف کیلی یک گروه عاری از مرتبه متناهی، با توجه به یک مجموعه مولد آزاد ، است درخت که در آن گروه آزادانه عمل می کند، حفظ جهت گیری.
groupoid رویکرد به این نتایج، در کار با PJ هیگینز در زیر آورده شده است، نوع استخراج شده از یک رویکرد استفاده از فضاهای پوشش . این اجازه می دهد تا نتایج قوی تری ، به عنوان مثال در قضیه گروشکو ، و یک فرم معمولی برای گروه گروپویید اساسی یک نمودار از گروه ها. در این رویکرد استفاده قابل توجهی از گروپوئیدهای آزاد بر روی یک نمودار جهت دار وجود دارد.
قضیه گروشکو این نتیجه را دارد که اگر زیرمجموعه B گروه آزاد F روی n عناصر F تولید کند و n عنصر داشته باشد ، B آزادانه F را تولید می کند.

گروه آبلیان آزاد[ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: گروه آبلیان آزاد

گروه abelian رایگان در مجموعه S از طریق ویژگی جهانی آن به روش مشابه و با تغییرات واضح تعریف می شود: یک جفت ( F ، φ ) را در نظر بگیرید ، جایی که F یک گروه ابلیان است و φ : S → F یک تابع است. F گفته می شود که گروه abelian آزاد در S نسبت به φ است ، در صورتی که برای هر گروه abelian G و هر تابع ψ : S → G ، یک همومورفیسم منحصر به فرد f : F → G به گونه ای وجود داشته باشد که

F ( φ ( بازدید کنندگان )) = ψ ( بازدید کنندگان )، برای همه بازدید کنندگان در S .

گروه abelian آزاد در S را می توان به صراحت به عنوان گروه آزاد F ( S ) modulo زیرگروه ایجاد شده توسط کموتاتورهای آن ، [F ( S ) ، F ( S )] ، یعنی ابلیونیزاسیون آن ، مشخص کرد . به عبارت دیگر ، گروه abelian رایگان در S مجموعه کلماتی است که فقط تا ترتیب حروف متمایز می شوند. بنابراین رتبه یک گروه آزاد را می توان به عنوان رتبه ابلیانی شدن آن به عنوان یک گروه آزاد ابلیان نیز تعریف کرد.

مشکلات تارسکی [ ویرایش ]

در حدود 1945 ، آلفرد تارسکی پرسید که آیا گروه های آزاد دو یا چند ژنراتور نظریه مرتبه اول یکسانی دارند و آیا این نظریه قابل تصمیم گیری است یا خیر . سلا (2006) به اولین س by ال پاسخ داد و نشان داد که هر دو گروه آزاد غیرآبلی نظریه مرتبه اول یکسانی دارند و خرلامپوویچ و میاسنیکوف (2006) به هر دو س answeredال پاسخ دادند و نشان دادند که این نظریه قابل تصمیم گیری است.

یک س unsال حل نشده مشابه (در سال 2011) در نظریه احتمال آزاد می پرسد که آیا جبرهای گروه فون نویمان از هر دو گروه آزاد غیرآبلی به طور نامحدود ایزومورف هستند؟

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Free_group

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی