تناقض آرایشگاه های پیشنهاد شد لوئیس کارول در مقاله سه صفحهای با عنوان «پارادوکس منطقی"، که در شماره ژوئیه 1894 از ظاهر ذهن . این نام از داستان کوتاه "زینتی" گرفته شده است که کارول در مقاله برای نشان دادن پارادوکس از آن استفاده می کند. قبلاً در نوشتن و مکاتبات او به چندین شکل جایگزین وجود داشت ، که همیشه شامل آرایشگاه نمی شد. کارول آن را به عنوان "یک مشکل بسیار واقعی در نظریه فرضیات" توصیف کرد. [1] از دیدگاه منطق مدرن ، این پارادوکس به اندازه یک اشتباه منطقی ساده تلقی نمی شود . در حال حاضر عمدتا به عنوان یک قسمت از توسعه مورد توجه استروشهای منطقی جبری زمانی که این روشها (حتی در بین منطقدانان) چندان قابل درک نبود ، اگرچه این مشکل همچنان در رابطه با نظریههای دلالت و منطق مودال مورد بحث قرار می گیرد . [2]
فهرست
پارادوکس [ ویرایش ]
در داستان ، عمو جو و عمو جیم به آرایشگاه می روند. آنها توضیح می دهند که سه آرایشگر در مغازه زندگی می کنند و کار می کنند - آلن ، براون و کار - و ممکن است برخی از آنها یا همه آنها در آنجا باشند. به ما دو قطعه اطلاعات داده می شود که از آنها نتیجه گیری کنیم. اولاً ، مغازه قطعاً باز است ، بنابراین حداقل یکی از آرایشگران باید در آنجا باشد. ثانیاً ، گفته می شود که آلن بسیار عصبی است ، بنابراین هرگز مغازه را ترک نمی کند مگر اینکه براون با او برود.
حالا ، به گفته عمو جیم ، کار آرایشگر بسیار خوبی است و می خواهد بداند آیا کار برای تراشیدن او در آنجا حضور دارد یا نه. عمو جو اصرار دارد که کار مطمئناً در آنجا حضور دارد و ادعا می کند که می تواند آن را به طور منطقی ثابت کند. عمو جیم این مدرک را می خواهد.
عمو جو استدلال خود را به شرح زیر ارائه می دهد:
فرض کنید کار خارج شده است. ما نشان خواهیم داد که این فرض تناقض ایجاد می کند . اگر کار بیرون است ، ما این را می دانیم: "اگر آلن بیرون است ، پس براون وارد است" ، زیرا باید کسی باشد که "به مغازه توجه کند". اما ، ما همچنین می دانیم که هر زمان که آلن بیرون می رود ، براون را با خود می برد ، بنابراین به عنوان یک قاعده کلی ، "اگر آلن بیرون است ، پس براون بیرون است" . دو گزاره ای که به آن رسیده ایم ناسازگار هستند ، زیرا اگر آلن بیرون باشد ، براون نمی تواند هم In (طبق یکی) و هم Out (مطابق دیگری) باشد. تناقض وجود دارد. بنابراین ما باید فرضیه خود را مبنی بر اینکه Carr Out است کنار بگذاریم و نتیجه بگیریم که Carr باید In باشد.
پاسخ عمو جیم این است که این نتیجه گیری موجه نیست. نتیجه گیری صحیح از ناسازگاری دو "فرضی" این است که آنچه در آنها فرض می شود (که آلن بیرون است) باید با فرض ما در خارج بودن کار نادرست باشد. سپس منطق ما به سادگی به ما اجازه می دهد تا به این نتیجه برسیم که "اگر کار بیرون باشد ، پس آلن باید وارد شود".
مناقشه تاریخی [ ویرایش ]
این تناقض ناشی از اختلاف نظر بین کارول و همکارش در آکسفورد ، استاد منطق ویکهام جان کوک ویلسون بود ، که هر دوی آنها تضاد طولانی مدت داشتند. این مشکل توسط دیگران که کارول با آنها مکاتبه داشت نیز مورد بحث قرار گرفت و در مقالات بعدی که توسط جان ون ، آلفرد سیدگویک و برتراند راسل در میان دیگران منتشر شده بود ، مورد بررسی قرار گرفت . دیدگاه کوک ویلسون در داستان با شخصیت عمو جو نشان داده می شود ، او سعی می کند ثابت کند که کار باید همیشه در مغازه بماند. وقتی کارول نسخه های خصوصی چاپ شده خود از این مشکل را منتشر کرد ، دیگران نیز همین نظر را داشتند. همانطور که کارول اشاره کرد ،"من در مورد این نکته کنجکاو با دهها منطق نویس مکاتبه دارم ؛ و تا اینجا ، نظرات در مورد آزادی C به طور مساوی تقسیم شده است" . [2] : 445-448
ساده سازی [ ویرایش ]
نشانه گذاری [ ویرایش ]
هنگام خواندن اصل ، ممکن است به موارد زیر توجه داشته باشید:
- آنچه کارول "فرضیات" نامیده است منطق پردازان مدرن آن را "شرطیات منطقی " می نامند.
- عمو جو اثبات reductio ad absurdum خود را به معنای " اثبات تناقض " در انگلیسی به پایان می رساند .
- چیزی که کارول آن را تکامل شرطی می نامد ، اکنون به عنوان پیشین شناخته می شود و به طور مشابه ، آپودوز در حال حاضر نتیجه نامیده می شود.
از نمادها می توان برای ساده سازی عبارات منطقی مانند موارد ذاتی این داستان استفاده کرد:
| اپراتور (نام) | محاوره ای | نمادین | ||
|---|---|---|---|---|
| نفی | نه | نه X | ¬ | ¬X |
| پیوستگی | و | X و Y | ∧ | X ∧ Y |
| جدا شدن | یا | X یا Y | ∨ | X ∨ Y |
| مشروط | اگر پس از آن | اگر X سپس Y | ⇒ | X ⇒ Y |
توجه: X ⇒ Y (همچنین به عنوان "ضمنی" شناخته می شود) می تواند به زبان های مختلف از انگلیسی خوانده شود ، از "X برای Y کافی است" تا "Y از X" آمده است. (همچنین جدول نمادهای ریاضی را ببینید .)
تجدید نظر [ ویرایش ]
برای کمک به ساده تر بیان داستان کارول ، ما عبارت های اتمی زیر را در نظر می گیریم :
- الف = آلن در مغازه است
- B = براون داخل است
- C = Carr در است
بنابراین ، برای مثال (¬A ∧ B) نشان می دهد "آلن بیرون است و براون داخل است"
عمو جیم دو بدیهیات ما را به ما ارائه می دهد:
- در حال حاضر حداقل یک آرایشگر در مغازه وجود دارد (A ∨ B ∨ C)
- آلن هرگز بدون براون مغازه را ترک نمی کند (¬A ⇒ ¬B)
عمو جو یک مدرک ارائه می دهد:
| مخفف انگلیسی با نشانگرهای منطقی | عمدتا نمادین |
|---|---|
| فرض کنید Carr داخل نیست | H0: ¬C |
| با توجه به NOT C ، اگر آلن در THEN نباشد ، براون باید در اصل 1 باشد (A1). | توسط H0 و A1 ، ¬A ⇒ B |
| اما اصل 2 (A2) نشان می دهد که اگر آلن در THEN نباشد قهوه ای در نیست (همیشه درست است که اگر ¬A سپس ¬B) | توسط A2 ، ¬A ⇒ ¬B |
| تا کنون ما داریم که NOT C هر دو (نه A THEN B) و (نه A THEN نه B) را نشان می دهد. | بنابراین ¬C ⇒ ((¬A ⇒ B) ∧ (¬A ⇒ ¬B)) |
| عمو جو ادعا می کند که اینها متناقض است. | ⊥ |
| بنابراین ، Carr باید داخل باشد. | ∴C |
عمو جو اساساً این استدلال را مطرح می کند که (¬A ⇒ B) و (¬A ⇒ ¬B) متضاد هستند و می گوید که یک سابقه قبلی نمی تواند منجر به دو نتیجه متفاوت شود.
این تناقض ادعایی محور "اثبات" جو است. کارول این نتیجه نقض شهود را به عنوان یک پارادوکس نشان می دهد و امیدوار است که ابهام معاصر برطرف شود.
بحث [ ویرایش ]
در نظریه منطق مدرن این سناریو یک پارادوکس نیست. قانون مفهوم آشتی چه عمو جو ادعاهای hypotheticals ناسازگار است. این قانون بیان می کند که "اگر X سپس Y" از نظر منطقی با "X غلط است یا Y درست است" (¬X ∨ Y) یکسان است. به عنوان مثال ، با توجه به عبارت "اگر دکمه را فشار دهید تا چراغ روشن شود" ، باید در هر لحظه درست باشد که یا دکمه را فشار نداده اید ، یا چراغ روشن است.
به طور خلاصه ، آنچه به دست می آید این نیست که ¬C تناقض ایجاد می کند ، بلکه A را ضروری می کند ، زیرا ¬A همان چیزی است که در واقع تناقض را ایجاد می کند.
در این سناریو ، این بدان معناست که کار مجبور نیست داخل باشد ، اما اگر او در آن نباشد ، آلن باید داخل باشد.
ساده سازی برای اصل 1 [ ویرایش ]
اعمال قانون دلالت بر شرط های متخلف نشان می دهد که شخص به جای مغایرت با یکدیگر ، به سادگی این واقعیت را تکرار می کند که از آنجا که مغازه باز است ، یک یا چند آلن ، براون یا کارر در آنجا هستند و دیگری محدودیت بسیار کمی برای کسانی که می توانند یا نمی توانند اعمال می کند. در مغازه باشید
برای مشاهده این موضوع ، بیایید به نتیجه بزرگ "متناقض" جیم حمله کنیم ، عمدتا با استفاده مکرر از قانون دلالت. ابتدا بیایید یکی از دو شرط متخلف را تجزیه کنیم:
"اگر آلن بیرون باشد ، براون بیرون است" "آلن داخل است یا براون بیرون است" | (¬A ⇒ ¬B) (A ¬ ¬B) |
جایگزینی این به
"اگر کار بیرون باشد ، پس اگر آلن نیز بیرون باشد ، براون داخل است و اگر آلن بیرون باشد ، براون خارج شود." | ¬C ⇒ ((¬A ⇒ B) ∧ (¬A ⇒ ¬B)) |
که با استفاده مستمر از قانون دلالت نتیجه می دهد ،
"اگر کار بیرون باشد ، اگر آلن نیز بیرون باشد ، براون در AND است و یا آلن در OR یا Brown در خارج باشد." "اگر Carr بیرون بیاید ، پس هر دوی اینها درست است: Allen is in OR Brown is in AND Allen is in OR Brown is out." "Carr در OR است هر دوی اینها درست است: Allen در OR است Brown در AND و Allen در OR است Brown در خارج است." | ¬C ⇒ ((¬A ⇒ B) ∧ (A ∨ ¬B)) ¬C ⇒ ((A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬B)) C ∨ ((A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬B)) |
- توجه داشته باشید که: C ∨ ((A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬B)) را می توان به C ∨ A ساده کرد
- از آنجا که ((A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬B)) به سادگی A است
و در نهایت ، (در سمت راست ما بر روی پرانتز توزیع می کنیم)
"Carr در OR است هر دو Allen در OR Brown در است ، و Carr در OR است هر کدام Allen در OR Brown خارج است." "از جمله ، Carr در OR Allen در OR Brown در است ، و به طور کلی ، Carr در OR Allen در OR Brown خارج است." | C ∨ (A ∨ B) ∧ C ∨ (A ∨ ¬B) (C ∨ A ∨ B) ∧ (C ∨ A ∨ ¬B) |
بنابراین دو گزاره ای که به یکباره صادق می شوند عبارتند از: "یک یا چند مورد از آلن ، براون یا کار در است" ، که به سادگی اصل 1 است ، و "کار داخل است یا آلن داخل است یا براون خارج است". بدیهی است که یکی از راه هایی که می تواند هر دو این اظهارات به یک باره صادق باشد ، موردی است که آلن در آن است (زیرا خانه آلن آرایشگاه است ، و در مقطعی براون مغازه را ترک کرد).
راه دیگری برای توصیف نحوه حل (X ⇒ Y) ⇔ (¬X ∨ Y) در مجموعه ای از گزاره های معتبر این است که عبارت جیم را که "اگر آلن نیز بیرون است ..." در "اگر کار خارج و آلن در خارج ، سپس براون در "((¬C ∧ ¬A) ⇒ B) است.
نمایش شرطی سازگار [ ویرایش ]
این دو شرط متضاد منطقی نیستند: برای اثبات تناقض جیم نیاز داشت تا ¬C ⇒ (Z ∧ ¬Z) را نشان دهد ، جایی که Z به طور مشروط شرطی است.
نقطه مقابل (A ⇒ B) ¬ (A ⇒ B) است ، که با استفاده از قانون De Morgan ، به (A ∧ ¬B) تبدیل می شود ، که اصلاً با (¬A ∨ ¬B) یکسان نیست ، که چیزی است که A ¬ ¬B به آن کاهش می دهد.
این سردرگمی در مورد "سازگاری" این دو شرط توسط Carroll پیش بینی شده بود ، که شامل ذکر آن در پایان داستان است. او سعی می کند با استدلال این که پروتاز و آپودوز مفهوم "اگر کار در ..." "به طور نادرست تقسیم شده است" موضوع را روشن کند. با این حال ، استفاده از قانون دلالت ، "اگر ..." را به طور کامل حذف می کند (به تفکیک می انجامد) ، بنابراین هیچ گونه پروتاز و آپودوز وجود ندارد و نیازی به استدلال متقابل نیست.
منبع
https://en.wikipedia.org/wiki/Barbershop_paradox
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.