از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

 

تصویر سه بعدی از شاخ گابریل.

شاخ گابریل ( بوق Torricelli نیز نامیده می شود ) یک شکل هندسی خاص است که دارای سطح بی نهایت اما حجم محدود است . این نام به سنت مسیحی اشاره می کند که فرشته فرشته جبرئیل را به عنوان فرشته ای معرفی می کند که برای اعلام روز قیامت بوق می زند . خواص این شکل برای اولین بار توسط فیزیکدان و ریاضیدان ایتالیایی Evangelista Torricelli در قرن 17 مورد مطالعه قرار گرفت .

 

فهرست

تعریف ریاضی [ ویرایش ]

نمودار از {\ displaystyle y = {1}/{x}}به

شاخ گابریل با در نظر گرفتن تشکیل نمودار از

{\ displaystyle y = {\ frac {1} {x}} ،}

با دامنهx \ geq 1و چرخاندن آن در سه بعد در مورد محور x . این کشف با استفاده از اصل کاوالیری قبل از اختراع حساب انجام شد ، اما امروزه از محاسبه می توان برای محاسبه حجم و سطح شاخ بین x = 1 و x = a ، که a > 1 است ، استفاده کرد . با استفاده از ادغام ( برای جزئیات به جامدات انقلاب و سطح انقلاب مراجعه کنید) ، می توانید حجم V و سطح A را پیدا کنید :

{\ displaystyle V = \ pi \ int _ {1}^{a} \ left ({\ frac {1} {x}} \ right)^{2} \ mathrm {d} x = \ pi \ left (1 -{\ frac {1} {a}} \ right)}

{\ displaystyle A = 2 \ pi \ int _ {1}^{a} {\ frac {1} {x}} {\ sqrt {1+ \ left (-{\ frac {1} {x^{2} }} \ راست)^{2}}} \ mathrm {d} x> 2 \ pi \ int _ {1}^{a} {\ frac {\ mathrm {d} x} {x}} = 2 \ pi \ ln (a).}

مقدار a می تواند به اندازه مورد نیاز بزرگ باشد ، اما از معادله می توان دریافت که حجم بخشی از شاخ بین x = 1 و x = a هرگز از π تجاوز نمی کند . با این حال، آن را به تدریج رسم نزدیکتر به π به عنوان افزایش می یابد. ریاضی، حجم نزدیک π به عنوان نزدیک بی نهایت. استفاده از نماد محدود حساب:

{\ displaystyle \ lim _ {a \ to \ infty} V = \ lim _ {a \ to \ infty} \ pi \ left (1-{\ frac {1} {a}} \ right) = \ pi \ cdot \ lim _ {a \ to \ infty} \ left (1-{\ frac {1} {a}} \ right) = \ pi.}

فرمول مساحت سطح بالا می دهد سطح پایینی برای این منطقه به عنوان 2 π برابر لگاریتم طبیعی از . وجود ندارد کران بالا برای لگاریتم طبیعی ، به عنوان نزدیک بی نهایت. این بدان معناست که در این مورد ، شاخ دارای سطح بی نهایت است. که این است که بگوییم،

{\ displaystyle \ lim _ {a \ to \ infty} A \ geq \ lim _ {a \ to \ infty} 2 \ pi \ ln (a) = \ infty.}

پارادوکس ظاهری [ ویرایش ]

هنگامی که خواص شاخ گابریل کشف شد ، این واقعیت که چرخش بخش بی نهایت بزرگی از هواپیمای xy در محور x باعث ایجاد یک جسم با حجم محدود می شود یک پارادوکس در نظر گرفته شد . در حالی که قسمتی که در هواپیمای xy قرار دارد دارای یک منطقه نامتناهی است ، هر قسمت دیگری موازی با آن دارای یک محدوده محدود است. بنابراین حجم ، که از "مجموع وزنی" بخش ها محاسبه می شود ، متناهی است.

رویکرد دیگر این است که با شاخ به عنوان یک دسته دیسک با شعاع کاهش می یابد . مجموع شعاع ها یک سری هارمونیک تولید می کند که تا بی نهایت می رود. با این حال ، محاسبه صحیح مجموع مربعات آنها است. شعاع هر دیسک r = است1/ایکسو یک منطقه π R 2 یاπ/x 2به سریال1/ایکس متفاوت است اما سری1/x 2 همگرا می شود به طور کلی ، برای هر ε > 0 واقعی ، سری1/x 1+ ε همگرا می شود

پارادوکس آشکار بخشی از مناقشه بر سر ماهیت بی نهایت بود که بسیاری از متفکران اصلی آن زمان از جمله توماس هابز ، جان والیس و گالیله گالیله را درگیر می کردند . [1]

یک پدیده مشابه وجود دارد که در مورد طول و مساحت هواپیما صدق می کند. مساحت بین منحنی ها1/x 2 و 1/x 2 از 1 تا بی نهایت محدود است ، اما طول دو منحنی به وضوح نامتناهی است.

پارادوکس نقاش [ ویرایش ]

از آنجا که شاخ دارای حجم محدود اما سطح نامحدود است ، یک پارادوکس آشکار وجود دارد که می توان شاخ را با مقدار محدود رنگ پر کرد و در عین حال این رنگ برای پوشاندن سطح داخلی آن کافی نخواهد بود. پارادوکس با درک این نکته که مقدار محدودی رنگ در واقع می تواند سطح بی نهایت را بپوشاند حل می شود - به سادگی باید با سرعت کافی نازک شود (درست مانند سری1/2 Nآنقدر سریع کوچکتر می شود که مجموع آن متناهی است). در صورتی که شاخ با رنگ پر شده باشد ، این نازک شدن با افزایش روزافزون قطر حلق شاخ انجام می شود.

مکالمه [ ویرایش ]

برعکس شاخ گابریل - سطحی از انقلاب که دارای سطح محدود اما حجم بی نهایت است - هنگام چرخاندن یک تابع پیوسته بر روی یک مجموعه بسته نمی تواند رخ دهد:

قضیه [ ویرایش ]

بگذارید f  : [1، ∞) → [0، ∞) یک تابع متغیر پیوسته باشد. نوشتن S برای جامد از انقلاب از نمودار Y = F ( X ) در مورد X محور. اگر سطح S محدود باشد ، پس حجم نیز همینطور است.

اثبات [ ویرایش ]

از آنجا که سطح جانبی A محدود است ، حد برتر :

{\ displaystyle {\ شروع {تراز} \ lim _ {t \ to \ infty} \ sup _ {x \ geq t} f (x)^{2} ~-~ f (1)^{2} & = \ limsup _ {t \ to \ infty} \ int _ {1}^{t} \ left (f (x)^{2} \ right) '\ mathrm {d} x \\ [6pt] & \ leq \ int _ {1}^{\ infty} \ left | \ left (f (x)^{2} \ right) '\ right | \ mathrm {d} x = \ int _ {1}^{\ infty} 2f ( x) \ left | f '(x) \ right | \ mathrm {d} x \\ [6pt] & \ leq \ int _ {1}^{\ infty} 2f (x) {\ sqrt {1+f' (x)^{2}}} \ mathrm {d} x = {\ frac {A} {\ pi}} \\ [6pt] & <\ infty. \ پایان {تراز}}}

بنابراین ، t 0 وجود دارد که supremum sup {  f ( x ) | x ≥ t 0 } متناهی است. از این رو ،

M = sup {  f ( x ) | x ≥ 1 } باید محدود باشد زیرا f یک تابع پیوسته است ، که نشان می دهد f در فاصله [1 ، ∞) محدود شده است .

در نهایت ، حجم:

{\ displaystyle {\ شروع {تراز} V & = \ int _ {1}^{\ infty} f (x) \ cdot \ pi f (x) \ mathrm {d} x \\ [6pt] & \ leq \ int _ {1}^{\ infty} {\ frac {M} {2}} \ cdot 2 \ pi f (x) \ mathrm {d} x \\ [6pt] & \ leq {\ frac {M} {2 }} \ cdot \ int _ {1}^{\ infty} 2 \ pi f (x) {\ sqrt {1+f '(x)^{2}}} \ mathrm {d} x = {\ frac { M} {2}} \ cdot A. \ پایان {تراز}}}

بنابراین: اگر مساحت A محدود باشد ، حجم V نیز باید محدود باشد.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Gabriel%27s_Horn