ریاضیات

مثلث سیرپینسکی

با استفاده از الگوریتم تصادفی ایجاد شده است

مثلث سیرپینسکی در منطق: 16 پیوند اول استدلال های مرتب شده از لحاظ لغت شناسی . ستون هایی که به عنوان اعداد دودویی تفسیر می شوند 1 ، 3 ، 5 ، 15 ، 17 ، 51 ... (دنباله A001317 در OEIS )

سیرپینسکی با مثلث (گاهی اوقات املای سیرپینسکی با )، نیز نامیده می شود لایی سیرپینسکی یا سیرپینسکی برای غربال ، یک است فراکتال مجموعه جذاب ثابت با شکل کلی یک مثلث متساوی الاضلاع ، تقسیم به صورت بازگشتی مثلث متساوی الاضلاع را کوچکتر است. در اصل به عنوان منحنی ساخته شده است ، این یکی از نمونه های اساسی مجموعه های مشابه خود است- یعنی یک الگوی ریاضی است که در هر بزرگنمایی یا کاهش قابل تکرار است. این نام از نام ریاضیدان لهستانی واکلاو سیرپینسکی گرفته شده است ، اما قرن ها قبل از کار سیرپینسکی به عنوان یک الگوی تزئینی ظاهر شد. [1] [2]

فهرست

• 1ساخت و سازها
  • 1.1حذف مثلث ها
  • 1.2کوچک شدن و تکراری شدن
  • 1.3بازی آشوب
  • 1.4ساخت سر پیکان واشر سیرپینسکی
  • 1.5اتومات های سلولی
  • 1.6مثلث پاسکال
  • 1.7برج های هانوی
• 2خواص
• 3تعمیم به سایر معیارها
• 4آنالوگ در ابعاد بالاتر
• 5تاریخ
• 6علم اشتقاق لغات
• 7همچنین ببینید
• 8منابع
• 9لینک های خارجی

ساخت و سازها [ ویرایش ]

روشهای مختلفی برای ساخت مثلث سیرپینسکی وجود دارد.

حذف مثلث ها [ ویرایش ]

تکامل مثلث سیرپینسکی

مثلث سیرپینسکی ممکن است از یک مثلث متساوی الاضلاع با حذف مکرر زیر مجموعه های مثلثی ساخته شود:

1. با یک مثلث متساوی الاضلاع شروع کنید.
2. آن را به چهار مثلث متساوی الاضلاع کوچکتر تقسیم کرده و مثلث مرکزی را بردارید.
3. مرحله 2 را با هر یک از مثلث های کوچکتر باقی مانده بی نهایت تکرار کنید.

هر مثلث برداشته شده ( ترما ) از نظر توپولوژیکی یک مجموعه باز است . [3] این فرایند حذف مثلثی یک مثال از یک قانون تقسیم بندی محدود است .

کوچک شدن و کپی [ ویرایش ]

دنباله یکسانی از اشکال ، که به مثلث سیرپینسکی همگرا می شوند ، می تواند در مراحل زیر ایجاد شود:

1. با هر مثلثی در یک صفحه شروع کنید (هر منطقه بسته و محدود شده در صفحه واقعاً کار می کند). مثلث متعارف سیرپینسکی از مثلث متساوی الاضلاع با قاعده موازی با محور افقی استفاده می کند (تصویر اول).
2. مثلث را کوچک کنید تا 1/2 ارتفاع و 1/2عرض ، سه نسخه تهیه کنید و سه مثلث کوچک شده را طوری قرار دهید که هر مثلث دو گوش دیگر را در گوشه ای لمس کند (تصویر 2). به ظهور حفره مرکزی توجه کنید - زیرا سه مثلث کوچک شده بین آنها فقط می تواند پوشش دهد3/4از مساحت اصلی (سوراخ ها از ویژگی های مهم مثلث سیرپینسکی هستند.)
3. مرحله 2 را با هر یک از مثلث های کوچکتر تکرار کنید (تصویر 3 و غیره).

توجه داشته باشید که این فرایند نامتناهی به شکل مثلثی بودن شکل اولیه بستگی ندارد - فقط به این صورت واضح تر است. چند قدم اول که برای مثال از یک مربع شروع می شود به سمت مثلث سیرپینسکی متمایل است. مایکل بارنسلی در مقاله خود با عنوان "فراکتالهای متغیر V و فوق فراکتال" از تصویر ماهی استفاده کرد. [4] [5]

تکرار از یک مربع

فراکتال واقعی همان چیزی است که پس از بی نهایت تکرار به دست می آید. به صورت رسمی تر ، فرد آن را بر اساس توابع در مجموعه نقاط بسته توصیف می کند. اگر اجازه دهیم d A اتساع را با یک عامل نشان دهد1/2در مورد یک نقطه A ، سپس مثلث سیرپینسکی با گوشه های A ، B و C مجموعه ثابت تبدیل d A  ∪  d B  ∪  d C است .

این یک مجموعه ثابت جذاب است ، به طوری که هنگامی که عملیات به طور مکرر روی هر مجموعه دیگری اعمال می شود ، تصاویر در مثلث سیرپینسکی همگرا می شوند. این همان چیزی است که در مورد مثلث بالا اتفاق می افتد ، اما هر مجموعه دیگری کافی است.

بازی آشوب [ ویرایش ]

ایجاد متحرک مثلث سیرپینسکی با استفاده از بازی آشوب

اگر کسی نقطه ای را گرفته و هر یک از دگرگونی های d A ، d B و d C را به طور تصادفی روی آن اعمال کند ، نقاط بدست آمده در مثلث سیرپینسکی متراکم خواهند بود ، بنابراین الگوریتم زیر دوباره تقریبهای دلخواه نزدیک به آن ایجاد می کند: [6 ]

با برچسب زدن p 1 ، p 2 و p 3 به عنوان گوشه های مثلث سیرپینسکی و یک نقطه تصادفی v 1 شروع کنید . تنظیم v n +1 =1/2( v n + p r n ) ، جایی که r n یک عدد تصادفی 1 ، 2 یا 3 است. نقاط v 1 را به v raw بکشید . اگر اولین نقطه V 1 یک نقطه در مثلث سیرپینسکی برای بود، پس از تمام نقاط پنجم N بر روی مثلث سیرپینسکی با دروغ است. اگر اولین نقطه v 1 که در محیط مثلث قرار دارد نقطه ای بر مثلث سیرپینسکی نباشد ، هیچ یک از نقاط v n روی مثلث سیرپینسکی قرار نخواهد گرفت ، اما در مثلث همگرا خواهند شد. اگر v 1در خارج از مثلث، تنها راه V N بر روی مثلث واقعی زمین، اگر V N است در چه خواهد بخشی از مثلث، اگر مثلث بی نهایت بزرگ بود.

ساخت متحرک مثلث سیرپینسکی

مثلث سیرپینسکی توسط یک درخت فراکتال با سه شاخه که زاویه 120 درجه تشکیل می دهد و در نقاط میانی جدا می شود ، ترسیم شده است. اگر زاویه کاهش یابد ، مثلث می تواند پیوسته به فرکتالی شبیه درخت تبدیل شود.

هر subtriangle از N هفتم تکرار از مثلث سیرپینسکی برای قطعی است یک آدرس در یک درخت با N سطح (اگر N = ∞ سپس درخت همچنین یک فراکتال)؛ T = بالا/مرکز ، L = چپ ، R = راست ، و این توالی ها می توانند هم شکل قطعی و هم "مجموعه ای از حرکتها در بازی آشوب" را نشان دهند [7]

یا ساده تر:

1. سه نقطه را در یک صفحه بگیرید تا مثلثی تشکیل شود ، لازم نیست آن را بکشید.
2. به طور تصادفی هر نقطه را در داخل مثلث انتخاب کنید و موقعیت فعلی خود را در نظر بگیرید.
3. به طور تصادفی یکی از سه نقطه راس را انتخاب کنید.
4. نیمی از فاصله موقعیت فعلی خود را به راس انتخاب شده منتقل کنید.
5. موقعیت فعلی را ترسیم کنید.
6. مرحله 3 را تکرار کنید.

این روش همچنین بازی آشوب نامیده می شود و نمونه ای از یک سیستم عملکردی تکراری است . می توانید از هر نقطه خارج یا داخل مثلث شروع کنید ، و در نهایت واشر سیرپینسکی را با چند نقطه باقیمانده تشکیل می دهد (اگر نقطه شروع در خطوط مثلث قرار گیرد ، هیچ نقطه باقی مانده وجود ندارد). با مداد و کاغذ ، یک طرح کلی مختصر پس از قرار دادن تقریباً صد نقطه ایجاد می شود ، و جزئیات پس از چند صد شروع می شود. نسخه تعاملی بازی آشوب را می توانید در اینجا پیدا کنید.

مثلث سیرپینسکی با استفاده از یک سیستم تابع تکراری

ساخت سر پیکان واشر سیرپینسکی[ ویرایش ]

ساخت پیست متحرک واشر سیرپینسکی

ساخت سر پیکان واشر سیرپینسکی

ساختار دیگر واشر سیرپینسکی نشان می دهد که می توان آن را به عنوان منحنی در صفحه ساخت. این توسط فرآیند اصلاح مکرر منحنی های ساده تر ، شبیه به ساخت دانه برف کوچ شکل می گیرد :

1. با یک خط واحد در صفحه شروع کنید
2. به طور مکرر هر بخش خط منحنی را با سه بخش کوتاهتر جایگزین کنید ، در هر محل اتصال بین دو بخش متوالی زاویه 120 درجه ایجاد کنید ، با اولین و آخرین بخش منحنی یا موازی با بخش خط اصلی یا ایجاد زاویه 60 درجه با آن.

در هر تکرار ، این ساختار منحنی پیوسته می دهد. در محدوده ، اینها به منحنی نزدیک می شوند که مثلث سیرپینسکی را با یک مسیر پیوسته (بی نهایت تکان دهنده) ، که سر پیکان سیرپینسکی نامیده می شود ، دنبال می کند . [8] در واقع ، هدف مقاله اصلی سیرپینسکی در سال 1915 ، نشان دادن نمونه ای از منحنی (منحنی کانتوریایی) بود ، همانطور که از عنوان مقاله مشخص است. [9] [2]

اتوماتای ​​سلولی [ ویرایش ]

مثلث سیرپینسکی نیز در برخی از خودکارهای سلولی (مانند قانون 90 ) ظاهر می شود ، از جمله موارد مربوط به بازی زندگی کانوی . به عنوان مثال ، اتومات سلولی B1/S12 شبیه به زندگی وقتی روی یک سلول واحد اعمال می شود ، چهار تقریب مثلث سیرپینسکی را تولید می کند. [10] یک خط ضخیم یک سلولی بسیار طولانی در زندگی استاندارد دو مثلث سیرپینسکی آینه ای ایجاد می کند. نمودار زمان و مکان الگوی تکرار کننده در یک خودکار سلولی نیز اغلب به مثلث سیرپینسکی شبیه است ، مانند شبیه ساز رایج در HighLife. [11] مثلث سیرپینسکی را می توان در اتومات Ulam-Warburton و اتومات Hex-Ulam-Warburton نیز یافت.[12]

مثلث پاسکال [ ویرایش ]

تقریب سطح 5 به مثلث سیرپینسکی با سایه زدن 2 5 (32) سطح اول مثلث پاسکال به رنگ سفید در صورتی که ضریب دو جمله ای زوج و سیاه باشد ، بدست می آید.

اگر مثلث پاسکال را با 2 ردیف n گرفته و اعداد زوج را سفید و اعداد فرد را سیاه بدانید ، نتیجه تقریبی مثلث سیرپینسکی است. بطور دقیقتر، حد به عنوان نفر نزدیک بی نهایت از این برابری -colored 2 نفر جریحه مثلث پاسکال مثلث سیرپینسکی برای است. [13]

برجهای هانوی [ ویرایش ]

برج هانوی پازل شامل انتقال دیسک با اندازه های مختلف بین سه گیره، حفظ اموال است که هیچ دیسک است که تا کنون در بالای یک دیسک کوچکتر قرار داده. کشورهای یک نفر پازل نیم دیسک، و حرکت مجاز از حالتی به حالت دیگر، تشکیل یک گراف بدون جهت از نمودار هانوی ، که می تواند هندسی به عنوان نمایندگی نمودار تقاطع از مجموعه ای از مثلث باقی مانده پس از N هفتم گام در ساخت مثلث سیرپینسکی بنابراین ، در محدوده ای که n به بی نهایت می رسد ، این دنباله نمودارها را می توان به عنوان آنالوگ گسسته مثلث سیرپینسکی تفسیر کرد. [14]

خواص [ ویرایش ]

برای عدد صحیح از ابعاد د ، هنگامی که دو برابر یک طرف از یک شی، 2 D کپی از آن ایجاد می کند، به عنوان مثال 2 نسخه برای شی 1 بعدی، 4 نسخه برای 2 بعدی شی و 8 نسخه برای شی 3 بعدی است. برای مثلث سیرپینسکی ، دو برابر شدن ضلع آن 3 نسخه از خود ایجاد می کند. بنابراین مثلث سیرپینسکی دارای بعد هاسدورف است ورود (3)/ورود (2) = log 2  3 ≈ 1.585 ، که از حل 2 d  = 3 برای d حاصل می شود . [15]

مساحت مثلث سیرپینسکی صفر است (در اندازه لبگ ). مساحت باقی مانده پس از هر تکرار برابر است3/4مساحت از تکرار قبلی ، و تعداد نامحدود تکرارها منجر به نزدیک شدن منطقه به صفر می شود. [16]

نقاط مثلث سیرپینسکی دارای ویژگی ساده ای در مختصات بارسنتریک هستند . [17] اگر نقطه دارای مختصات (0. u 1 u 2 u 3 … ، 0. v 1 v 2 v 3 … ، 0. w 1 w 2 w 3 …) باشد که بصورت اعداد دوتایی بیان می شود ، آن نقطه در مثلث سیرپینسکی اگر و فقط اگر u i + v i + w i = 1 برای همه i .

تعمیم به سایر معیارها [ ویرایش ]

در صورت استفاده از مدولو متفاوت ، می توان با استفاده از مثلث پاسکال تعمیم مثلث سیرپینسکی را ایجاد کرد . تکرار n را می توان با گرفتن مثلث پاسکال با سطرهای P n و رنگ آمیزی اعداد بر حسب مقدار آنها برای x  mod  P ایجاد کرد . با نزدیک شدن n به بی نهایت ، یک فراکتال تولید می شود.

همان فراکتال می توان با تقسیم یک مثلث را به یک موزاییک کاری از دست P 2 مثلث های مشابه و از بین بردن مثلث که وارونه از اصل، پس از آن تکرار این مرحله با هر مثلث کوچکتر است.

برعکس ، فراکتال را می توان با شروع با یک مثلث ، کپی و ترتیب آن نیز تولید کرد n ( n + 1)/2از شکل های جدید در جهت مشابه به مثلث مشابه بزرگتر با رئوس شکلهای قبلی که لمس کرده و سپس آن مرحله را تکرار می کنند. [18]

آنالوگ در ابعاد بالاتر [ ویرایش ]

پیشرفت هرم سیرپینسکی (7 مرحله)

هرم بر اساس مثلث سیرپینسکی همانطور که در بالا مشاهده می شود (4 بخش اصلی برجسته شده است). به شباهت خود در این نمای دو بعدی پیش بینی شده توجه کنید ، به طوری که مثلث حاصل می تواند به خودی خود یک فراکتال دو بعدی باشد.

چهار ضلعی سیرپینسکی با یا تتریکس  آنالوگ سه بعدی از مثلث سیرپینسکی برای است، تشکیل شده توسط بارها و بارها به طور منظم کاهش چهار ضلعی به یکی از نیمی ارتفاع اصلی آن، کنار هم قرار دادن چهار نسخه از این چهار ضلعی با گوشه دست زدن، و سپس تکرار این روند.

یک تتریکس ساخته شده از یک چهار ضلعی اولیه با طول L دارای این ویژگی است که مساحت کل سطح با هر تکرار ثابت می ماند. سطح اولیه از (تکرار-0) چهار ضلعی به طول ضلع L است L 2 √ 3 . تکرار بعدی شامل چهار نسخه با طول جانبی استال/2، بنابراین کل مساحت 4 است (ال/2) 2 √ 3  = 4 L 2 ·3 پوند/4 = L 2 √ 3 دوباره. در همین حال ، حجم ساختمان در هر مرحله نصف می شود و بنابراین به صفر نزدیک می شود. محدودیت این فرآیند نه حجم دارد و نه سطح ، اما مانند واشر سیرپینسکی یک منحنی پیچیده متصل است. بعد هاسدورف آن استورود (4)/ورود (2) 2 - اگر همه نقاط بر روی صفحه ای موازی دو لبه بیرونی قرار گرفته باشند ، دقیقاً یک مربع از طول طرف را پر می کنند ال/√ 2بدون همپوشانی [19]

انیمیشن تتریکس سطح 4 که نشان می دهد چگونه برخی از پیش بینی های تتریکس می توانند صفحه را پر کنند-در این SVG تعاملی ، برای چرخاندن مدل سه بعدی ، به چپ و راست بر روی تتریکس حرکت کنید.

تاریخچه [ ویرایش ]

این Wacław Sierpinski با مثلث سیرپینسکی با در سال 1915. توصیف با این حال، به نظر می رسد الگوهای مشابهی در حال حاضر در 13th قرن کاسماتی موزاییک در کلیسای جامع از اناگنی ، ایتالیا ، [20] و مکان های دیگر از مرکز ایتالیا، فرش در بسیاری از نقاط مانند شبستان از باسیلیکای رومی سانتا ماریا در کاسمدین ، [21] و برای مثلث های جداگانه که در rotae در چندین کلیسا و باسیلیکا قرار گرفته است. [1] [2] در مورد مثلث جدا شده ، تکرار حداقل سه سطح است.

اخیراً یک مثلث قرون وسطایی با قدمت تاریخی مشخص [2] مورد مطالعه قرار گرفته است. این در برگ پورفیری و طلایی ، جدا شده ، تکرار سطح 4 است

واشر آپولونی برای اولین بار توسط توصیف شد آپولونیوس برج (قرن 3 قبل از میلاد) و بیشتر توسط تجزیه و تحلیل گوتفرید لایبنیتس (قرن 17)، و پیش منحنی از 20 قرن مثلث سیرپینسکی برای است. [22]

ریشه شناسی [ ویرایش ]

استفاده از کلمه "واشر" برای اشاره به مثلث سیرپینسکی با اشاره به انواع واشر مانند در یافت موتور ، و که گاهی از ویژگی های یک سری از سوراخ کاهش اندازه، شبیه به فراکتال؛ این استفاده توسط ابداع شد بنوا مندلبرو ، که فکر فراکتال شبیه به "بخش است که مانع از نشت در موتور". [23]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

• واشر آپولونی ، مجموعه ای از دایره های مماس متقابل با ساختار ترکیبی مشابه مثلث سیرپینسکی
• فهرست فراکتال ها بر اساس بعد هاسدورف
• فرش سیرپینسکی ، فراکتالی دیگر به نام سیرپینسکی و با برداشتن مکرر مربع ها از یک مربع بزرگتر تشکیل شده است
• Triforce ، یادگار در سری Legend of Zelda

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Sierpi%C5%84ski_triangle