سری هیلبرت و چند جمله ای هیلبرت(3)

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه پانزدهم مرداد ۱۴۰۰ | 16:44

درجه تنوع فرافکنی و قضیه بیزوت [ ویرایش ]

سری هیلبرت به ما این امکان را می دهد که درجه انواع جبری را به عنوان مقدار 1 از شمارنده سری هیلبرت محاسبه کنیم. این نیز اثبات نسبتاً ساده ای از قضیه بیزوت ارائه می دهد .

برای نشان دادن رابطه بین درجه یک مجموعه جبری فرافکنی و سری هیلبرت ، یک مجموعه جبری پیش بینی شده V را در نظر بگیرید ، که به عنوان مجموعه ای از صفرهای یک ایده آل همگن تعریف شده است. $من \ زیرمجموعه k [x_ {0} ، x_ {1} ، \ ldots ، x_ {n}]$ ، جایی که k یک میدان است ، و اجازه دهید ${\ displaystyle R = k [x_ {0} ، \ ldots ، x_ {n}]/I}$ حلقه توابع منظم در مجموعه جبری باشد.

در این بخش ، نیازی به کاهش ناپذیری مجموعه های جبری و مقدمات ایده آل ها نیست. همچنین ، از آنجا که سری هیلبرت با گسترش میدان ضرایب تغییر نمی کند ، میدان k بدون هیچ گونه عمومیت ، جبری بسته می شود.

بعد d از V برابر با بعد Krull منهای R است و درجه V تعداد نقاط تقاطع شمارش شده با ضربهای متعدد از V با تقاطع $د$ ابرصفحات در موقعیت عمومی . این نشان می دهد که در R یک دنباله منظم وجود دارد ${\ displaystyle h_ {0} ، \ ldots ، h_ {d}}$ از d + 1 چند جمله ای همگن درجه یک. تعریف دنباله منظم دلالت بر وجود توالی های دقیق دارد

${\ displaystyle 0 \ longrightarrow \ left (R/\ langle h_ {0}، \ ldots، h_ {k-1} \ rangle \ right)^{[1]} {\ stackrel {h_ {k}} {\ longrightarrow }} R/\ langle h_ {1}، \ ldots، h_ {k-1} \ rangle \ longrightarrow R/\ langle h_ {1}، \ ldots، h_ {k} \ rangle \ longrightarrow 0،}$

برای ${\ displaystyle k = 0 ، \ ldots ، d.}$ این بدان معناست که

${\ displaystyle HS_ {R/\ langle h_ {0}، \ ldots، h_ {d-1} \ rangle} (t) = (1-t)^{d} \، HS_ {R} (t) = { \ frac {P (t)} {1-t}}،}$

جایی که $P (t)$ محاسبه کننده سری هیلبرت R است .

حلقه ${\ displaystyle R_ {1} = R/\ langle h_ {0} ، \ ldots ، h_ {d-1} \ rangle}$ دارای بعد کرال یک است و حلقه توابع منظم مجموعه جبری پیش بینی شده است $V_ {0}$ از بعد 0 شامل تعداد محدودی از نقاط است که ممکن است چندین نقطه باشد. مانند ${\ displaystyle h_ {d}}$ متعلق به یک دنباله منظم است ، هیچ یک از این نقاط متعلق به ابر صفحه معادله نیست ${\ displaystyle h_ {d} = 0.}$ مکمل این ابر هواپیما فضایی متصل به هم است که حاوی آن است ${\ displaystyle V_ {0}.}$ این باعث می شود $V_ {0}$ مجموعه جبری و affine ، که دارای ${\ displaystyle R_ {0} = R_ {1}/\ langle h_ {d} -1 \ rangle}$ به عنوان حلقه عملکردهای معمولی آن. چند جمله ای خطی ${\ displaystyle h_ {d} -1}$ در صفر تقسیم کننده نیست $R_ {1} ،$ و یکی دارای یک دنباله دقیق است

${\ displaystyle 0 \ longrightarrow R_ {1} {\ stackrel {h_ {d} -1} {\ longrightarrow}} R_ {1} \ longrightarrow R_ {0} \ longrightarrow 0،}$

که دلالت بر آن دارد

${\ displaystyle HS_ {R_ {0}} (t) = (1-t) HS_ {R_ {1}} (t) = P (t).}$

در اینجا ما از سری جبرهای فیلتر شده هیلبرت استفاده می کنیم و این واقعیت که سری هیلبرت یک جبر درجه بندی شده نیز سری هیلبرت آن به عنوان جبر فیلتر شده است.

بدین ترتیب $R_ {0}$ یک حلقه آرتینی است ، که یک فضای بردار k با ابعاد P (1) است ، و قضیه اردن -هولدر ممکن است برای اثبات اینکه P (1) درجه مجموعه جبری V است استفاده شود . در واقع ، تعدد یک نقطه ، تعداد وقوع حداکثر ایده آل مربوطه در یک سری ترکیب است .

برای اثبات قضیه بیزوت ، می توان به طور مشابه عمل کرد. اگر $f$ یک درجه چند جمله ای همگن است $\ دلتا$ ، که در R تقسیم صفر نیست ، ترتیب دقیق

${\ displaystyle 0 \ longrightarrow R^{[\ delta]} {\ stackrel {f} {\ longrightarrow}} R \ longrightarrow R/\ langle f \ rangle \ longrightarrow 0،}$

نشان میدهد که

${\ displaystyle HS_ {R/\ langle f \ rangle} (t) = \ left (1-t^{\ delta} \ right) HS_ {R} (t).}$

با نگاهی به اعداد و ارقام ، این امر تعمیم کلی قضیه بیزوت را ثابت می کند:

قضیه - اگر f چند جمله ای درجه همگن باشد $\ دلتا$ ، که در R تقسیم کننده صفر نیست ، سپس درجه تقاطع V با سطح فوقانی تعریف شده توسط $f$ محصول درجه است V توسط ${\ displaystyle \ delta.}$

در شکل هندسی تر ، این ممکن است به صورت زیر بیان شود:

قضیه - اگر یک سطح فوقانی درجه d شامل هیچ جزء تقلیل ناپذیری از مجموعه جبری درجه δ نباشد ، درجه تقاطع آنها dδ است .

قضیه معمول بیزوت را می توان با شروع از یک سطح فوقانی و قطع آن با n - 1 سطح فوقانی یکی پس از دیگری به راحتی استنباط کرد .

تقاطع کامل [ ویرایش ]

یک مجموعه جبری نمایشی یک تقاطع کامل است اگر ایده آل تعیین کننده آن توسط یک دنباله منظم ایجاد شود . در این مورد ، یک فرمول صریح ساده برای سری هیلبرت وجود دارد.

اجازه دهید $f_ {1} ، \ ldots ، f_ {k}$ be k چند جمله ای همگن در ${\ displaystyle R = K [x_ {1} ، \ ldots ، x_ {n}]}$ ، درجات مربوطه ${\ displaystyle \ delta _ {1}، \ ldots، \ delta _ {k}.}$ تنظیمات ${\ displaystyle R_ {i} = R/\ langle f_ {1} ، \ ldots ، f_ {i} \ rangle ،}$ یکی دنباله های دقیق زیر را دارد

${\ displaystyle 0 \؛ \ rightarrow \؛ R_ {i-1}^{[\ delta _ {i}]} \؛ {\ xrightarrow {f_ {i}}} \؛ R_ {i-1} \؛ \ rightarrow \؛ R_ {i} \؛ \ rightarrow \؛ 0 \ ،.}$

افزودنی بودن سری هیلبرت به این معنی است

${\ displaystyle HS_ {R_ {i}} (t) = (1-t^{\ delta _ {i}}) HS_ {R_ {i-1}} (t) \ ،.}$

یک بازگشت ساده می دهد

${\ displaystyle HS_ {R_ {k}} (t) = {\ frac {(1-t^{\ delta _ {1}}) \ cdots (1-t^{\ delta _ {k}})} { (1-t)^{n}}} = {\ frac {(1+t+\ cdots+t^{\ delta _ {1}}) \ cdots (1+t+\ cdots+t^{\ delta _ { k}})} {(1-t)^{nk}}} \ ،.}$

این نشان می دهد که تقاطع کامل تعریف شده توسط یک دنباله منظم از چند جمله ای k دارای ابعاد k است و درجه آن حاصل درجات چند جمله ای های دنباله است.

ارتباط با قطعنامه های آزاد[ ویرایش ]

هر ماژول درجه بندی شده M بر روی حلقه معمولی R دارای رزولوشن آزاد درجه بندی شده است ، به این معنی که یک دنباله دقیق وجود دارد

${\ displaystyle 0 \ to L_ {k} \ to \ cdots \ to L_ {1} \ to M \ to 0،}$

جایی که $L_i$ ماژول های رایگان درجه بندی می شوند و فلش ها نقشه های خطی درجه صفر درجه بندی می شوند.

افزودنی بودن سریال هیلبرت دلالت بر این دارد

${\ displaystyle HS_ {M} (t) = \ sum _ {i = 1}^{k} (-1)^{i-1} HS_ {L_ {i}} (t).}$

اگر ${\ displaystyle R = k [x_ {1} ، \ ldots ، x_ {n}]}$ یک حلقه چند جمله ای است و اگر کسی درجه عناصر اصلی آن را بداند ${\ displaystyle L_ {i} ،}$ سپس فرمولهای بخشهای قبل امکان استنباط را می دهد ${\ displaystyle HS_ {M} (t)}$ از جانب ${\ displaystyle HS_ {R} (t) = 1/(1-t)^{n}.}$ در واقع، این فرمول نشان می دهد که، اگر یک ماژول رایگان مدرج L دارای یک اساس ساعت عناصر همگن از درجه ${\ displaystyle \ delta _ {1}، \ ldots، \ delta _ {h}،}$ سپس سری هیلبرت آن است

${\ displaystyle HS_ {L} (t) = {\ frac {t^{\ delta _ {1}} +\ cdots +t^{\ delta _ {h}}} {(1-t)^{n} }}.}$

این فرمولها ممکن است راهی برای محاسبه سری هیلبرت تلقی شوند. این به ندرت اتفاق می افتد ، زیرا در الگوریتم های شناخته شده ، محاسبه سری هیلبرت و محاسبه رزولوشن رایگان از همان مبنای Gröbner شروع می شود ، که از آن سری هیلبرت ممکن است به طور مستقیم با پیچیدگی محاسباتی که بالاتر نیست محاسبه شود. از این پیچیدگی محاسبه رزولوشن رایگان.

محاسبه سری هیلبرت و چند جمله ای هیلبرت [ ویرایش ]

چند جمله ای هیلبرت به راحتی از سری هیلبرت قابل استنتاج است (به بالا مراجعه کنید ). این بخش نحوه محاسبه سری هیلبرت در مورد ضریب حلقه چند جمله ای ، فیلتر شده یا درجه بندی شده را توضیح می دهد.

بنابراین اجازه دهید K یک میدان ، $R = K [x_1 ، \ ldots ، x_n]$ یک حلقه چند جمله ای باشید و من در R ایده آل باشم . بگذارید H ایده آل همگن باشد که توسط قسمتهای همگن با بالاترین درجه از عناصر I ایجاد می شود . اگر من همگن است، پس از آن H = من . در نهایت B یک پایه گروبنر از من برای یک سفارش اصطلاحی پالایش کل درجه سفارش جزئی و G (به همگن) ایده آل تولید شده توسط تکجملهای، دوجملهای پیشرو عناصر B .

محاسبه سری هیلبرت بر اساس این واقعیت است که جبر فیلتر شده R/I و جبرهای درجه بندی شده R/H و R/G دارای سری هیلبرت یکسانی هستند .

بنابراین محاسبه سری هیلبرت ، از طریق محاسبه مبنای گروبنر ، به همان مشکل برای ایده آل تولید شده توسط مونومالها کاهش می یابد ، که معمولاً بسیار ساده تر از محاسبه مبنای گروبنر است. پیچیدگی محاسباتی از کل محاسبات بستگی دارد نظم است که به درجه ای از صورت کسر از سری هیلبرت. در واقع مبنای گربنر ممکن است با جبر خطی بر روی چند جمله ای های درجه ای که با نظم محدود شده اند محاسبه شود.

محاسبه سری های هیلبرت و چند جمله ای های هیلبرت در اکثر سیستم های جبری رایانه ای موجود است . برای مثال در Maple و Magma این توابع HilbertSeries و HilbertPolynomial نامیده می شوند .

تعمیم به دانه های منسجم [ ویرایش ]

در هندسه جبری ، حلقه های درجه بندی شده تولید شده توسط عناصر درجه 1 ، طرح های نمایشی را با ساخت Proj تولید می کنند ، در حالی که ماژول های درجه بندی شده تولید شده نهایی با بردهای منسجم مطابقت دارند. اگر ${\ mathcal {F}}$ یک برش منسجم بر روی طرح نمایشی X است ، ما چند جمله ای هیلبرت را تعریف می کنیم ${\ mathcal {F}}$ به عنوان یک تابع ${\ displaystyle p _ {\ mathcal {F}} (m) = \ chi (X ، {\ mathcal {F}} (m))}$ ، که در آن χ است مشخصه اویلر از بافه منسجم و ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (متر)}$ پیچ و تاب و Serre ساخته . مشخصه اویلر در این مورد یک عدد کاملاً مشخص توسط قضیه محدودیت گروتندیک است .

این تابع در واقع چند جمله ای است. [1] برای m بزرگ با dim dim موافق است ${\ displaystyle H^{0} (X ، {\ mathcal {F}} (متر))}$ توسط قضیه ناپدید شدن سر . اگر M یک ماژول درجه بندی شده تولید نهایی باشد و ${\ tilde {M}}$ برگه منسجم مربوط به دو تعریف چند جمله ای هیلبرت موافق است.

وضوح وضوح رایگان [ ویرایش ]

از آنجایی که دسته های منسجم بر روی انواع پیش بینی شده قرار دارند $ایکس$ معادل دسته مدولهای درجه بندی شده تعداد محدود قطعات درجه بندی شده است ، ما می توانیم از نتایج در بخش قبل برای ساخت چند جمله ای هیلبرت از بردهای منسجم استفاده کنیم. به عنوان مثال ، یک تقاطع کامل $ایکس$ از چند درجه ${\ displaystyle (d_ {1} ، d_ {2})}$ دارای رزولوشن است

${\ displaystyle 0 \ به {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^{n}} (-d_ {1} -d_ {2}) {\ xrightarrow {\ begin {bmatrix} f_ {2} \\-f_ {1} \ end {bmatrix}}} {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^{n}} (-d_ {1}) \ oplus {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^{n}} (-d_ {2}) {\ xrightarrow {\ begin {bmatrix} f_ {1} & f_ {2} \ end {bmatrix}}} {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^{n}} \ به {\ mathcal {O}} _ {X} \ به 0}$

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_series_and_Hilbert_polynomial

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی