انرژی جنبشی

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه بیست و سوم تیر ۱۴۰۰ | 20:16

چارچوب مرجع

سرعت و در نتیجه انرژی جنبشی یک جسم منفرد وابسته به قاب (نسبی) است: با انتخاب یک چارچوب مرجع مناسب اینرسیایی می تواند هر مقدار غیر منفی را بگیرد . به عنوان مثال ، گلوله ای که از یک ناظر عبور می کند دارای انرژی جنبشی در قاب مرجع این ناظر است. همان گلوله برای مشاهده گر در حال حرکت با همان سرعت گلوله ثابت است و از این رو دارای انرژی جنبشی صفر است. [10]در مقابل ، کل انرژی جنبشی سیستم اجسام را نمی توان با انتخاب مناسب قاب مرجع اینرسی به صفر رساند ، مگر اینکه همه اجسام سرعت یکسانی داشته باشند. در هر حالت دیگر ، کل انرژی جنبشی دارای حداقل غیر صفر است ، زیرا هیچ قاب مرجعی اینرسی که همه اجسام در آن ثابت باشند را نمی توان انتخاب کرد. این حداقل انرژی جنبشی به جرم ثابت سیستم که مستقل از قاب مرجع است ، کمک می کند.

کل انرژی جنبشی یک سیستم به چارچوب مرجع اینرسی بستگی دارد : این مجموع کل انرژی جنبشی در یک مرکز قاب حرکت و انرژی جنبشی کل جرم است اگر در مرکز جرم متمرکز شود .

این ممکن است به سادگی نشان داده شود: اجازه دهید $\ textstyle \ mathbf {V}$ سرعت نسبی مرکز قاب جرم i در قاب k باشد . از آنجا که

${\ displaystyle v ^ {2} = \ left (v_ {i} + V \ right) ^ {2} = \ left (\ mathbf {v} _ {i} + \ mathbf {V} \ right) \ cdot \ چپ (\ mathbf {v} _ {i} + \ mathbf {V} \ راست) = \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {v} _ {i} +2 \ mathbf {v} _ { i} \ cdot \ mathbf {V} + \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {V} = v_ {i} ^ {2} +2 \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {V} + V ^ {2} ،}$

سپس،

${\ displaystyle E _ {\ text {k}} = \ int {\ frac {v ^ {2}} {2}} dm = \ int {\ frac {v_ {i} ^ {2}} {2}} dm + \ mathbf {V} \ cdot \ int \ mathbf {v} _ {i} dm + {\ frac {V ^ {2}} {2}} \ int dm.}$

با این حال ، اجازه دهید $\ int {\ frac {v_ {i} ^ {2}} {2}} dm = E_ {i}$ انرژی جنبشی در مرکز قاب جرم ، $\ int \ mathbf {v} _ {i} dm$ به محض حرکت کلی خواهد بود که با تعریف صفر در مرکز قاب جرم قرار دارد و اجازه می دهد جرم کل: $\ int dm = M$ . با جایگزینی ، بدست می آوریم: [11]

${\ displaystyle E _ {\ text {k}} = E_ {i} + {\ frac {MV ^ {2}} {2}}.}$

بنابراین انرژی جنبشی یک سیستم کمترین تا مرکز فریم های مرجع حرکت است ، یعنی فریم های مرجعی که در آن مرکز جرم ثابت است (یا مرکز قاب جرم یا هر مرکز دیگر قاب حرکت ). در هر مرجع مختلف ، انرژی جنبشی اضافی متناظر با جرم کل درحال حرکت با سرعت مرکز جرم وجود دارد. انرژی جنبشی سیستم در مرکز قاب تکانه مقداری است که ثابت نیست (همه مشاهده کنندگان آن را یکسان می دانند).

چرخش در سیستم ها

گاهی اوقات تقسیم انرژی جنبشی کل بدن به مجموع انرژی جنبشی ترجمه جرم مرکز بدن و انرژی چرخش در اطراف مرکز جرم ( انرژی چرخشی ) راحت است :

${\ displaystyle E _ {\ text {k}} = E _ {\ text {t}} + E _ {\ text {r}} \،}$

جایی که:

E k کل انرژی جنبشی است

E t انرژی جنبشی ترجمه ای است

E R است انرژی چرخشی و یا انرژی جنبشی زاویه ای در قاب بقیه

بنابراین انرژی جنبشی یک توپ تنیس در پرواز ، انرژی جنبشی ناشی از چرخش آن است ، به علاوه انرژی جنبشی ناشی از ترجمه آن.

انرژی جنبشی نسبی اجسام صلب

همچنین نگاه کنید به: جرم در نسبیت خاص و آزمایش انرژی و حرکت نسبی

اگر سرعت بدن کسر قابل توجهی از سرعت نور است ، استفاده از مکانیک نسبی گرایی برای محاسبه انرژی جنبشی آن ضروری است. در نظریه نسبیت خاص ، عبارت برای حرکت خطی اصلاح می شود.

با m که جرم استراحت یک جسم است ، v و v سرعت و سرعت آن و c سرعت نور در خلاuum ، ما از عبارت برای حرکت خطی استفاده می کنیم ${\ displaystyle \ mathbf {p} = m \ gamma \ mathbf {v}}$ ، جایی که $\ gamma = 1 / \ sqrt {1 - v ^ 2 / c ^ 2}$ .

ادغام با بازده قطعات

${\ displaystyle E _ {\ text {k}} = \ int \ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {p} = \ int \ mathbf {v} \ cdot d (m \ gamma \ mathbf {v}) = m \ gamma \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v} - \ int m \ gamma \ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {v} = m \ gamma v ^ {2} - {\ frac {m} { 2}} \ int \ gamma d \ چپ (v ^ {2} \ راست)}$

از آنجا که ${\ displaystyle \ gamma = \ left (1-v ^ {2} / c ^ {2} \ right) ^ {- {\ frac {1} {2}}}}$ ،

${\ displaystyle {\ شروع {تراز شده} E _ {\ text {k}} & = m \ gamma v ^ {2} - {\ frac {-mc ^ {2}} {2}} \ int \ gamma d \ left (1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} \ راست) \\ & = m \ gamma v ^ {2} + mc ^ {2} \ سمت چپ (1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} \ راست) ^ {\ frac {1} {2}} - E_ {0} \ end {تراز شده}}}$

$E_ {0}$ یک ثابت از ادغام برای جدایی ناپذیر نامحدود .

ساده کردن عبارتی که به دست می آوریم

${\ displaystyle {\ start {تراز شده} E _ {\ متن {k}} و = m \ گاما \ چپ (v ^ {2} + c ^ {2} \ چپ) (1 - {\ frac {v ^ {2} } {c ^ {2}}} \ right) \ right) -E_ {0} \\ & = m \ gamma \ left (v ^ {2} + c ^ {2} -v ^ {2} \ right) -E_ {0} \\ & = m \ gamma c ^ {2} -E_ {0} \ end {تراز شده}}}$

$E_ {0}$ با مشاهده اینکه چه زمانی پیدا می شود ${\ displaystyle \ mathbf {v} = 0 ، \ \ gamma = 1}$ و ${\ displaystyle E _ {\ text {k}} = 0}$ ، دادن

$E_ {0} = mc ^ {2} \ ،$

در نتیجه فرمول

${\ displaystyle E _ {\ text {k}} = m \ gamma c ^ {2} -mc ^ {2} = {\ frac {mc ^ {2}} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ { 2}} {c ^ {2}}}}}} - mc ^ {2}}$

این فرمول نشان می دهد که کار شتاب بخشیدن به یک جسم از حالت استراحت با نزدیک شدن سرعت به سرعت نور به بی نهایت نزدیک می شود. بنابراین سرعت بخشیدن به جسمی در آن سوی مرز غیرممکن است.

محصول جانبی ریاضی این محاسبه فرمول معادل جرم-انرژی است - بدن در حالت استراحت باید دارای محتوای انرژی باشد

$E _ {\ text {rest}} = E_ {0} = mc ^ {2} \!$

در یک سرعت کم ( v ≪ c ) ، انرژی جنبشی نسبی گرایی به خوبی توسط انرژی جنبشی کلاسیک تقریبی می شود. این کار با تقریب دوجمله ای یا با در نظر گرفتن دو اصطلاح اول گسترش تیلور برای ریشه مربع متقابل انجام می شود:

${\ displaystyle E _ {\ text {k}} \ تقریبی mc ^ {2} \ سمت چپ (1 + {\ frac {1} {2}} {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}} } \ راست) -mc ^ {2} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}$

بنابراین ، انرژی کل $E_ {k}$ را می توان در انرژی کم بقیه به اضافه انرژی جنبشی نیوتنی با سرعت کم تقسیم کرد.

وقتی اجسام با سرعتی بسیار کندتر از نور حرکت می کنند (به عنوان مثال در پدیده های روزمره روی زمین) ، دو اصطلاح اول سری غالب است. اصطلاح بعدی در تقریب سری تیلور

${\ displaystyle E _ {\ text {k}} \ تقریبی mc ^ {2} \ سمت چپ (1 + {\ frac {1} {2}} {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}} } + {\ frac {3} {8}} {\ frac {v ^ {4}} {c ^ {4}}} \ سمت راست) -mc ^ {2} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} + {\ frac {3} {8}} m {\ frac {v ^ {4}} {c ^ {2}}}}$

برای سرعت پایین کم است. به عنوان مثال ، برای سرعت 10 کیلومتر در ثانیه (22000 مایل در ساعت) ، تصحیح انرژی جنبشی نیوتنی برابر است با 044/0 J4 / kg (با انرژی جنبشی نیوتنی 50 MJ / کیلوگرم) و برای سرعت 100 کیلومتر در ثانیه 417 J / kg (با انرژی جنبشی نیوتنی 5 GJ / kg).

رابطه نسبی بین انرژی جنبشی و حرکت توسط داده می شود

$E _ {\ text {k}} = {\ sqrt {p ^ {2} c ^ {2} + m ^ {2} c ^ {4}}} - mc ^ {2}$

این را می توان به عنوان یک سری تیلور نیز گسترش داد ، که اولین عبارت آن عبارت ساده مکانیک نیوتنی است: [12]

${\ displaystyle E _ {\ text {k}} \ تقریبی {\ frac {p ^ {2}} {2m}} - {\ frac {p ^ {4}} {8m ^ {3} c ^ {2}} }.}$

این نشان می دهد که فرمول های انرژی و حرکت ویژه و بدیهی نیستند ، بلکه مفاهیمی هستند که از معادل جرم و انرژی و اصول نسبیت بیرون می آیند.

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی

انرژی جنبشی

چارچوب مرجع

چرخش در سیستم ها

انرژی جنبشی نسبی اجسام صلب

مشخصات وب

موضوعات وب

پیوندها

پیوندهای روزانه

آرشیو وب

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین