ادامه انتگرال خط

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه یازدهم تیر ۱۴۰۰ | 1:26

انتگرال خط یک قسمت برداری [ ویرایش ]

تعریف [ ویرایش ]

برای یک میدان برداری F : U ⊆ R n → R n ، انتگرال خط در امتداد یک قطعه منحنی صاف C ⊂ U ، در جهت r ، به عنوان [2] تعریف شده است

${\ displaystyle \ int _ {C} \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) \ cdot \، d \ mathbf {r} = \ int _ {a} ^ {b} \ mathbf {F} (\ mathbf {r} (t)) \ cdot \ mathbf {r} '(t) \، dt}$

جایی که · نقطه نقطه است و r : [ a ، b ] → C یک پارامتر سازی ذهنی منحنی C است به طوری که r ( a ) و r ( b ) نقاط انتهایی C را می دهند .

انتگرال خطی یک میدان اسکالر یک انتگرال خطی یک میدان برداری است ، جایی که بردارها همیشه مماس با خط هستند.

انتگرال خط زمینه های بردار مستقل از پارامتری هستند تحقیق در ارزش مطلق است، اما آنها در آن بستگی دارد جهت گیری . به طور خاص ، یک برگشت در جهت پارامتری سازی ، نشانه انتگرال خط را تغییر می دهد. [3]

از نظر هندسه دیفرانسیل ، انتگرال خط یک میدان بردار در امتداد یک منحنی ، انتگرال فرم 1 متناظر با یکسان سازی موسیقی است (که میدان برداری را به میدان پوششی مربوطه می برد ) ، بیش از منحنی در نظر گرفته شده به عنوان یک غوطه وری 1-منیفولد.

اشتقاق [ ویرایش ]

مسیر حرکت یک ذره (به رنگ قرمز) در امتداد منحنی داخل یک میدان برداری. با شروع از a ، ذره مسیر C را در امتداد میدان بردار F دنبال می کند . محصول نقطه ای (خط سبز) بردار مماس آن (فلش قرمز) و بردار میدان (فلش آبی) ناحیه ای را در زیر منحنی مشخص می کند که معادل انتگرال خط مسیر است. (برای توضیحات دقیق بر روی تصویر کلیک کنید.)

انتگرال خطی یک قسمت برداری را می توان به روشی کاملاً مشابه مورد فیلد اسکالر بدست آورد ، اما این بار با درج محصول نقطه ای. مجدداً با استفاده از تعاریف فوق از F ، C و پارامتر سازی آن r ( t ) ، انتگرال را از یک جمع ریمان می سازیم . ما در بر پارتیشن فاصله [ ، ب ] (که طیف وسیعی از ارزش های پارامتر تی ) را به N فواصل طول Δ T = ( ب - /) N . اجازه دادن به tمن شودمنهفتم نقطه در[، ب ]، و سپس R ( T من )به ما می دهد موقعیتمنهفتم نقطه ای روی منحنی. با این حال ، به جای محاسبه فاصله بین نقاط بعدی ، بایدبردارهایجابجاییآنها،Δ r i را محاسبه کنیم . مانند قبل ، ارزیابی F در تمام نقاط منحنی و گرفتن محصول نقطه با هر بردار جابجایی ،کمترینسهم هر پارتیشن F را درCبه ما می دهد.. بگذارید اندازه پارتیشن ها به صفر برسد ، یک جمع به ما می دهد

${\ displaystyle I = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} (\ mathbf {r} (t_ {i})) \ cdot \ Delta \ mathbf {r} _ {i}}$

با قضیه مقدار میانگین ، می بینیم که بردار جابجایی بین نقاط مجاور منحنی است

${\ displaystyle \ Delta \ mathbf {r} _ {i} = \ mathbf {r} (t_ {i} + \ Delta t) - \ mathbf {r} (t_ {i}) \ تقریبی \ mathbf {r} ' (t_ {i}) \ ، \ دلتا t.}$

جایگزین کردن این در بازده مجموع ریمان فوق

${\ displaystyle I = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} (\ mathbf {r} (t_ {i})) \ cdot \ mathbf {r} '(t_ {i}) \، \ Delta t،}$

که مبلغ ریمان برای انتگرال تعریف شده در بالا است.

استقلال مسیر [ ویرایش ]

مقاله اصلی: قضیه گرادیان

اگر یک میدان برداری F است گرادیان یک میدان اسکالر G (به عنوان مثال اگر F است محافظه کار )، این است که،

${\ displaystyle \ mathbf {F} = \ nabla G ،}$

سپس توسط زنجیره ای چند متغیره حکومت مشتق از ترکیب از G و R ( T ) است

${\ frac {dG (\ mathbf {r} (t))} {dt}} = \ nabla G (\ mathbf {r} (t)) \ cdot \ mathbf {r} '(t) = \ mathbf {F } (\ mathbf {r} (t)) \ cdot \ mathbf {r} '(t)$

که اتفاقاً یکپارچه برای انتگرال خط F روی r ( t ) است. با توجه به مسیر C ، به شرح زیر است:

$\ int _ {C} \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) \ cdot \، d \ mathbf {r} = \ int _ {a} ^ {b} \ mathbf {F} (\ mathbf {r} (t)) \ cdot \ mathbf {r} '(t) \، dt = \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {dG (\ mathbf {r} (t))} {dt}} \ ، dt = G (\ mathbf {r} (b)) - G (\ mathbf {r} (a)).$

به عبارت دیگر ، انتگرال F بر C صرفاً به مقادیر G در نقاط r ( b ) و r ( a ) بستگی دارد و بنابراین از مسیر بین آنها مستقل است. به همین دلیل ، یک انتگرال خطی از یک بردار محافظه کار ، مسیر مستقل نامیده می شود .

برنامه ها [ ویرایش ]

انتگرال خط در فیزیک کاربردهای زیادی دارد. به عنوان مثال ، کار انجام شده بر روی ذره ای که روی یک منحنی C در داخل یک میدان نیرویی نشان داده می شود به عنوان یک میدان بردار F ، انتگرال خط F در C است . [4]

عبور از یک منحنی [ ویرایش ]

برای یک قسمت برداری ${\ displaystyle \ mathbf {F} \ colon U \ subseteq \ mathbb {R} ^ {2} \ به \ mathbb {R} ^ {2}}$ ، F ( X ، Y ) = ( P ( X ، Y )، Q ( x را ، Y )) از انتگرال خطی در سراسر یک منحنی C ⊂ U ، همچنین به نام جدایی ناپذیر شار است، در شرایط یک تعریف تکهای صاف پارامتری R : [ a ، b ] → C ، r ( t ) = ( x ( t )، y ( t )) ، مانند:

${\ displaystyle \ int _ {C} \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) \ cdot d \ mathbf {r} ^ {\ perp} = \ int _ {a} ^ {b} {\ start {bmatrix } P {\ big (} x (t)، y (t) {\ big)} \\ Q {\ big (} x (t)، y (t) {\ big)} \ end {bmatrix}} \ cdot {\ start {bmatrix} y '(t) \\ - x' (t) \ end {bmatrix}} ~ dt = \ int _ {a} ^ {b} -Q ~ dx + P ~ dy.}$

در اینجا • محصول نقطه است ، و ${\ displaystyle \ mathbf {r} '(t) ^ {\ perp} = (y' (t)، - x '(t))}}$ در جهت عمود بردار سرعت بردار است ${\ displaystyle \ mathbf {r} '(t) = (x' (t)، y '(t))}$ .

جریان به معنای گرا محاسبه می شود: منحنی C دارای یک جهت مشخص به جلو از r ( a ) به r ( b ) است و وقتی F ( r ( t )) در جهت عقربه های ساعت جریان قرار دارد ، جریان مثبت شمرده می شود. بردار سرعت جلو r ' ( t ) .

انتگرال خط پیچیده [ ویرایش ]

در آنالیز مختلط ، انتگرال خطی است از نظر تعریف ضرب و علاوه بر اعداد مختلط. فرض کنید U یک زیرمجموعه باز از صفحه پیچیده C است ، f : U → C یک تابع است ، و $L \ زیرمجموعه U$ یک منحنی با طول متناهی است که با γ پارامتری می شود : [ a ، b ] → L ، جایی که γ ( t ) = x ( t ) + iy ( t ) . انتگرال خط

$\ int _ {L} f (z) \، dz$

ممکن است با تقسیم فاصله [ a ، b ] به a = t 0 < t 1 <... < t n = b و در نظر گرفتن عبارت تعریف شود

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} f (\ gamma (t_ {k})) \ ، [\ gamma (t_ {k}) - \ gamma (t_ {k-1})] = \ sum _ {k = 1} ^ {n} f (\ gamma _ {k}) \، \ Delta \ gamma _ {k}.}$

انتگرال سپس مقدار این جمع ریمان است زیرا طول فواصل تقسیم به صفر نزدیک می شود.

اگر پارامتراسیون γ به طور مداوم قابل تغییر باشد ، انتگرال خط را می توان به عنوان یک انتگرال از تابع یک متغیر واقعی ارزیابی کرد: [2]

${\ displaystyle \ int _ {L} f (z) \، dz = \ int _ {a} ^ {b} f (\ gamma (t)) \ gamma '(t) \، dt.}$

وقتی L یک منحنی بسته است (نقاط اولیه و نهایی با هم مطابقت دارند) ، انتگرال خط اغلب نشان داده می شود ${\ textstyle \ oint _ {L} f (z) \، dz،}$ گاهی اوقات در مهندسی به عنوان انتگرال چرخه ای یاد می شود .

انتگرال خط با توجه به دیفرانسیل پیچیده مزدوج ${\ overline {dz}}$ تعریف شده است [5] باشد

${\ displaystyle \ int _ {L} f (z) {\ overline {dz}}: = {\ overline {\ int _ {L} {\ overline {f (z)}} \، dz}} = \ int _ {a} ^ {b} f (\ gamma (t)) {\ overline {\ gamma '(t)}} \، dt.}$

انتگرال های خطی توابع پیچیده را می توان با استفاده از تعدادی تکنیک ارزیابی کرد. مستقیم ترین تقسیم به بخشهای واقعی و خیالی است ، و مسئله را به ارزیابی دو انتگرال خط با ارزش واقعی کاهش می دهد. قضیه انتگرال کوشی ممکن است مورد استفاده برای برابر انتگرال خطی یک تابع تحلیلی به انتگرال همان بیش از یک منحنی راحت تر است. این همچنین نشان می دهد که بیش از یک منحنی بسته که منطقه ای را در آن f ( z ) تحلیلی و بدون تکینگی است ، مقدار انتگرال به سادگی صفر است ، یا در صورتی که منطقه شامل تکین باشد ، قضیه باقیمانده انتگرال را از نظر تکین محاسبه می کند.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Line_integral

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی