ادامه قضیه واگرایی ( قضیه گاوس یا قضیه استروگرادسکی )

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه دهم تیر ۱۴۰۰ | 20:14

نتیجه گیری [ ویرایش ]

با جایگزینی F در قضیه واگرایی با اشکال خاص ، می توان سایر هویت های مفید را استخراج کرد (ر.ک: هویت برداری ). [4]

با ${\ displaystyle \ mathbf {F} \ rightarrow \ mathbf {F} g}$ برای یک تابع اسکالر g و یک قسمت بردار F ،

${\ displaystyle \ iiint _ {V} \ left [\ mathbf {F} \ cdot \ left (\ nabla g \ right) + g \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {F} \ right) \ right] \ mathrm {d} V =}$ $\ oiint$ $\ scriptstyle S$ ${\ displaystyle g \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {n} \ mathrm {d} S.}$

مورد خاص این است ${\ displaystyle \ mathbf {F} = \ nabla f}$ ، در این صورت قضیه مبنای هویت های گرین است .

با ${\ displaystyle \ mathbf {F} \ rightarrow \ mathbf {F} \ times \ mathbf {G}}$ برای دو قسمت برداری F و G ، که $\بار$ نشان دهنده یک ضرب متقابل است ،

${\ displaystyle \ iiint _ {V} \ nabla \ left (\ mathbf {F} \ times \ mathbf {G} \ right) \ mathrm {d} V = \ iiint _ {V} \ left [\ mathbf {G} \ cdot \ left (\ nabla \ times \ mathbf {F} \ right) - \ mathbf {F} \ cdot \ left (\ nabla \ times \ mathbf {G} \ right) \ right] \، \ mathrm {d} V =}$ $\ oiint$ $\ scriptstyle S$ ${\ displaystyle (\ mathbf {F} \ times \ mathbf {G}) \ cdot \ mathbf {n} \ mathrm {d} S.}$

با ${\ displaystyle \ mathbf {F} \ rightarrow \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {G}}$ برای دو قسمت برداری F و G ، که $\ cdot$ نشانگر یک ضرب نقطه ای است ،

${\ displaystyle \ iiint _ {V} \ nabla \ left (\ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {G} \ right) \ mathrm {d} V = \ iiint _ {V} \ left [\ mathbf {F} \ cdot \ چپ (\ nabla \ cdot \ mathbf {G} \ راست) + \ چپ (\ nabla \ cdot \ mathbf {F} \ راست) \ cdot \ mathbf {G} \ راست] \ ، \ mathrm {d} V =}$ $\ oiint$ $\ scriptstyle S$ ${\ displaystyle (\ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {G}) \ cdot \ mathbf {n} \ mathrm {d} S.}$

با ${\ displaystyle \ mathbf {F} \ rightarrow f \ mathbf {c}}$ برای یک تابع اسکالر f و فیلد بردار c : [6]

${\ displaystyle \ iiint _ {V} \ mathbf {c} \ cdot \ nabla f \، \ mathrm {d} V =}$ $\ oiint$ $\ scriptstyle S$ ${\ displaystyle (\ mathbf {c} f) \ cdot \ mathbf {n} \ mathrm {d} S- \ iiint _ {V} f (\ nabla \ cdot \ mathbf {c}) \، \ mathrm {d} V.}$

آخرین اصطلاح در سمت راست برای ثابت از بین می رود $\ mathbf {c}$ یا هر زمینه بردار آزاد واگرا (برقی) ، به عنوان مثال جریان غیر قابل فشردگی بدون منابع یا غرق مانند تغییر فاز یا واکنش های شیمیایی و غیره به ویژه مصرف $\ mathbf {c}$ ثابت بودن:

${\ displaystyle \ iiint _ {V} \ nabla f \ ، \ mathrm {d} V =}$ $\ oiint$ $\ scriptstyle S$ ${\ displaystyle f \ mathbf {n} \ mathrm {d} S.}$

با ${\ displaystyle \ mathbf {F} \ rightarrow \ mathbf {c} \ times \ mathbf {F}}$ برای میدان برداری F و بردار ثابت c : [6]

${\ displaystyle \ iiint _ {V} \ mathbf {c} \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {F}) \، \ mathrm {d} V =}$ $\ oiint$ $\ scriptstyle S$ ${\ displaystyle (\ mathbf {F} \ times \ mathbf {c}) \ cdot \ mathbf {n} \ mathrm {d} S.}$

با مرتب سازی مجدد محصول سه گانه در سمت راست و خارج کردن بردار ثابت انتگرال ،

${\ displaystyle \ iiint _ {V} (\ nabla \ times \ mathbf {F}) \، \ mathrm {d} V \ cdot \ mathbf {c} =}$ $\ oiint$ ${\ displaystyle \ scriptstyle S}$ ${\ displaystyle (\ mathrm {d} \ mathbf {S} \ times \ mathbf {F}) \ cdot \ mathbf {c}.}$

از این رو ،

${\ displaystyle \ iiint _ {V} (\ nabla \ times \ mathbf {F}) \ ، \ mathrm {d} V =}$ $\ oiint$ ${\ displaystyle \ scriptstyle S}$ ${\ displaystyle \ mathbf {n} \ times \ mathbf {F} \ mathrm {d} S.}$

مثال [ ویرایش ]

قسمت برداری مربوط به مثال نشان داده شده است. ناقلین ممکن است به حوزه یا خارج از حوزه اشاره کنند.

از قضیه واگرایی می توان برای محاسبه شار از طریق یک سطح بسته که یک حجم را کاملا محصور می کند ، مانند هر یک از سطوح سمت چپ. آن را می توانید نه به طور مستقیم استفاده شود، برای محاسبه شار از طریق سطوح با مرزهای، مانند کسانی که در سمت راست. (سطوح آبی ، مرزها قرمز است)

فرض کنید می خواهیم ارزیابی کنیم

$\ oiint$ $\ scriptstyle S$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {n} \ ، \ mathrm {d} S ،}$

که در آن S است واحد حوزه های تعریف شده

${\ displaystyle S = \ left \ {(x، y، z) \ in \ mathbb {R} ^ {3} \: \ x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1 \ درست\}،}$

و F قسمت برداری است

${\ displaystyle \ mathbf {F} = 2x \ mathbf {i} + y ^ {2} \ mathbf {j} + z ^ {2} \ mathbf {k}.}$

محاسبه مستقیم این انتگرال بسیار دشوار است ، اما ما می توانیم استخراج نتیجه را با استفاده از قضیه واگرایی ساده کنیم ، زیرا قضیه واگرایی می گوید انتگرال برابر است با:

${\ displaystyle \ iiint _ {W} (\ nabla \ cdot \ mathbf {F}) \، \ mathrm {d} V = 2 \ iiint _ {W} (1 + y + z) \، \ mathrm {d} V = 2 \ iiint _ {W} \ mathrm {d} V + 2 \ iiint _ {W} y \، \ mathrm {d} V + 2 \ iiint _ {W} z \، \ mathrm {d} V ، }$

جایی که W توپ واحد است:

${\ displaystyle W = \ left \ {(x، y، z) \ in \ mathbb {R} ^ {3} \: \ x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} \ leq 1 \درست\}.}$

از آنجا که تابع y در یک نیمکره W مثبت و منفی در نیم دیگر است ، به روشی برابر و مخالف ، انتگرال کل آن بر W صفر است. در مورد z نیز چنین است :

${\ displaystyle \ iiint _ {W} y \، \ mathrm {d} V = \ iiint _ {W} z \، \ mathrm {d} V = 0.}$

از این رو،

$\ oiint$ $\ scriptstyle S$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {n} \، \ mathrm {d} S = 2 \ iiint _ {W} \، dV = {\ frac {8 \ pi} {3}}،}$

زیرا واحد واحد W دارای حجم است 4 π/3.

برنامه ها [ ویرایش ]

شکل افتراقی و شکل انتگرالی قوانین فیزیکی [ ویرایش ]

در نتیجه قضیه واگرایی ، می توان مجموعه ای از قوانین فیزیکی را هم به صورت دیفرانسیل (جایی که یک مقدار واگرایی مقدار دیگر است) و هم به صورت یکپارچه (که شار یک مقدار از طریق یک سطح بسته برابر با دیگری باشد) نوشت. تعداد). سه مثال قانون گاوس (در الکترواستاتیک ) ، قانون گاوس برای مغناطیس و قانون گاوس برای گرانش است .

معادلات تداوم [ ویرایش ]

مقاله اصلی: معادله تداوم

معادلات پیوستگی نمونه های بیشتری از قوانین را با دو شکل دیفرانسیل و انتگرال ارائه می دهند که با قضیه واگرایی به یکدیگر مربوط می شوند. در دینامیک سیالات ، مغناطیس الکترومغناطیسی ، مکانیک کوانتوم ، تئوری نسبیت و تعدادی از زمینه های دیگر ، معادلات پیوستگی وجود دارد که حفظ جرم ، حرکت ، انرژی ، احتمال یا سایر کمیت ها را توصیف می کند. به طور کلی ، این معادلات بیان می کنند که واگرایی جریان مقدار ذخیره شده برابر با توزیع منابع یا غرق ها استاز آن مقدار قضیه واگرایی بیان می کند که هرگونه معادله پیوستگی را می توان به صورت دیفرانسیل (از نظر واگرایی) و شکل انتگرال (از نظر شار) نوشت. [7]

قوانین مربع معکوس [ ویرایش ]

در عوض هر قانون مربع معکوس می تواند در فرم نوع قانون گاوس (با فرم دیفرانسیل و انتگرال ، همانطور که در بالا توضیح داده شد) نوشته شود. دو نمونه قانون گاوس (در الکترواستاتیک) است که از قانون کولن با مربع معکوس و قانون گرانش گاوس ناشی می شود که از قانون جاذبه جهانی نیوتن در مربع معکوس ناشی می شود . استخراج معادله نوع قانون گاوس از فرمول مربع معکوس یا بالعکس در هر دو مورد دقیقاً یکسان است. برای جزئیات به هر یک از این مقاله ها مراجعه کنید. [7]

تاریخچه [ ویرایش ]

جوزف لوئیس لاگرانژ مفهوم انتگرال های سطحی را در 1760 و بار دیگر با اصطلاحات کلی تر در 1811 ، در چاپ دوم کتاب Mécanique Analytique خود ، معرفی کرد . لاگرانژ در کارهای خود در زمینه مکانیک سیالات از انتگرال های سطحی استفاده کرده است. [8] او قضیه واگرایی را در سال 1762 کشف کرد. [9]

کارل فردریش گاوس همچنین در هنگام کار بر روی جاذبه کره کره بیضوی در سال 1813 ، هنگام اثبات موارد خاص قضیه واگرایی ، از انتگرال های سطحی استفاده می کرد. [10] [8] او موارد خاص دیگری را در سال 1833 و 1839 ثابت کرد. [11] اما این میخائیل استروگرادسکی بود که اولین اثبات قضیه عمومی را در سال 1826 به عنوان بخشی از تحقیق در مورد جریان گرما ارائه داد. [12] موارد خاص توسط ثابت شد جورج سبز در سال 1828 در مقاله در استفاده از تحلیل ریاضی در نظریههای الکتریسیته و مغناطیس ، [13] [11] سیمون دنی پواسون در سال 1824 در یک مقاله در کشش، وفردریک ساروس در سال 1828 در کار خود بر روی اجسام شناور. [14] [11]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Divergence_theorem

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی