فضاهای باناخ( 1)

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه پنجم خرداد ۱۴۰۰ | 10:14

در ریاضیات ، به طور خاص در تجزیه و تحلیل عملکرد ، یک فضای باناخ (تلفظ می شود)[ˈbanax] ) یک فضای برداری کاملاً هنجاری شده است. بنابراین ، یک فضای باناخ یک فضای بردار با متریک است که امکان محاسبه طول و فاصله بردار بین بردارها را فراهم می کند و کامل است به این معنا که یک دنباله کاکتور از بردارها همیشه به یک حد مشخص شده درون فضاهمگرا میشود.

فضاهای باناخ به نام ریاضیدان لهستانی استفان باناخ نامگذاری شده است ، كه این مفهوم را معرفی كرد و آن را به طور سیستماتیک در 1920-1922 همراه با هانس هان و ادوارد هلی مطالعه كرد . [1] موریس رنه فرشه اولین نفری بود که از اصطلاح "فضای باناخ" استفاده کرد و بناخ نیز به نوبه خود اصطلاح " فضای فرشت " را ابداع کرد . [2] فضاهای باناخ در اصل از مطالعه فضاهای عملکردی توسط هیلبرت ، فرشته و ریش در اوایل قرن رشد کرد. فضاهای باناخ نقش اصلی را در تحلیل عملکردی بازی می کنند. در زمینه های دیگر تجزیه و تحلیل، فضاهای مورد مطالعه اغلب فضاهای باناخ هستند.

فهرست

تعریف [ ویرایش ]

فضای باناخ است کامل فضای نرمدار ${\ displaystyle (X ، \ | \ cdot \ |).}$ یک فضای هنجاری شده یک جفت است [توجه 1] $(X ، \ | \ cdot \ |)$ متشکل از یک فضای برداری است $ایکس$ بیش از یک میدان اسکالر K (جایی که K است $\ mathbb {R}$ یا ${\ displaystyle \ mathbb {C})}$ ) همراه با هنجار برجسته [یادداشت 2] ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |: X \ به \ mathbb {R}.}$ مانند همه هنجارها ، این هنجار باعث ایجاد یک تابع فاصله ثابت [توجه 3] می شود ، که به آن متریک متداول یا ( هنجار ) می گویند ، تعریف شده توسط [یادداشت 4]

${\ displaystyle d (x، y): = \ | yx \ | = \ | xy \ |}$

برای همه بردارها ${\ displaystyle x ، y \ in X.}$ این باعث می شود $ایکس$ به یک فضای متریک ${\ displaystyle (X ، d).}$ یک سکانس { ${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ چپ (x_ {n} \ راست) _ {n = 1} ^ {\ نامعتبر}}$ نامیده میشود $د$ -کوشی یا کوشی در $(X ، d)$ [یادداشت 5] یا $\ | \ cdot \ |$ کوشی اگر و فقط اگر برای هر واقعی باشد ${\ displaystyle r> 0،}$ برخی از شاخص ها وجود دارد $N$ به طوری که

${\ displaystyle d \ چپ (x_ {n} ، x_ {m} \ راست) = \ چپ \ | x_ {n} -x_ {m} \ راست \ | <r}$

هر زمان که $متر$ و $n$ بزرگتر از هستند ${\ displaystyle N.}$ معیار متعارف $د$ در صورت جفت شدن معیار کامل نامیده می شود $(X ، d)$ یک فضای متریک کامل است که طبق تعریف برای همه معنی می شود $د$ - سکانس کوشی ${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ چپ (x_ {n} \ راست) _ {n = 1} ^ {\ نامعتبر}}$ که در ${\ displaystyle (X ، d) ،}$ برخی وجود دارد $x \ در X$ به طوری که

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ left \ | x_ {n} -x \ right \ | = 0}$

که چون ${\ displaystyle \ چپ \ | x_ {n} -x \ راست \ | = d \ چپ (x_ {n} ، x \ راست) ،}$ همگرایی این توالی را می توان به طور معادل بیان کرد:

$\ lim _ {n \ to \ infty} x_ {n} = x$ که در ${\ displaystyle (X ، d).}$

طبق تعریف ، فضای هنجاری شده $(X ، \ | \ cdot \ |)$ یک فضای Banach است اگر و فقط اگر $(X ، d)$ یک فضای متریک کامل است ، یا اگر فقط اگر معیار متعارف باشد ، متفاوت گفته می شود $د$ یک معیار کامل است . عرف $\ | \ cdot \ |$ یک فضای هنجاری شده $(X ، \ | \ cdot \ |)$ a نامیده می شود هنجار کامل اگر و فقط اگر

$(X ، \ | \ cdot \ |)$ یک فضای Banach است.

محصول نیمه درونی L

برای هر فضای هنجاری شده ${\ displaystyle (X ، \ | \ cdot \ |) ،}$ یک محصول نیمه درونی L وجود دارد ("L" مربوط به Günter Lumer است ) $\ langle \ cdot ، \ cdot \ rangle$ بر $ایکس$ به طوری که ${\ textstyle \ | x \ | = {\ sqrt {\ langle x، x \ rangle}}}$ برای همه $x \ در X$ ؛ به طور کلی ، ممکن است بی نهایت محصولات نیمه داخلی L وجود داشته باشد که این شرایط را برآورده می کنند. محصولات نیمه درونی L عبارتند از تعمیم محصولات درونی ، همان چیزی است که اساساً فضاهای هیلبرت را از سایر فضاهای باناخ متمایز می کند. این نشان می دهد که تمام فضاهای هنجار شده (و از این رو تمام فضاهای باناخ) را می توان تعمیم فضاهای (قبل) هیلبرت دانست.

توپولوژی

معیار متعارف $د$ یک فضای هنجاری شده $(X ، \ | \ cdot \ |)$ توپولوژی متریک معمول را القا می کند ${\ displaystyle \ tau _ {d}}$ بر $ایکس،$ جایی که این توپولوژی ، که به عنوان توپولوژی متعارف یا هنجار ناشی می شود ، ایجاد می کند ${\ displaystyle \ چپ (X ، \ tau _ {d} \ راست)}$ به یک فضای توپولوژیکی قابل هوسدورف تبدیل شود . هر فضای هنجاری شده به طور خودکار حامل این توپولوژی فرض می شود ، مگر اینکه خلاف آن مشخص شده باشد. با این توپولوژی ، هر فضای باناخ یک فضای Baire است ، اگرچه فضاهای هنجاری وجود دارد که Baire هستند اما باناخ نیستند. [3] این توپولوژی ناشی از هنجارها ، هنجارها را همیشه به یک نقشه پیوسته تبدیل می کند ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |: \ left (X، \ tau _ {d} \ right) \ to \ mathbb {R}.}$

این توپولوژی ناشی از هنجارها نیز ایجاد می کند ${\ displaystyle \ چپ (X ، \ tau _ {d} \ راست)}$ [چیزی که به عنوان یک فضای برداری توپولوژیکی (TVS) شناخته می شود ، [یادداشت 6] که طبق تعریف ، یک فضای برداری است که دارای توپولوژی است و باعث می شود عملیات جمع و ضرب اسکالر مداوم باشد. تأکید شده است که TVS ${\ displaystyle \ چپ (X ، \ tau _ {d} \ راست)}$ است تنها با هم فضای برداری با نوع خاصی از توپولوژی؛ این است که می گویند، زمانی که به عنوان یک تلویزیون در نظر گرفته، آن است که نه با همراه هر هنجار خاص و یا متریک (که هر دو " فراموش ").

کامل بودن [ ویرایش ]

هنجارهای کامل و هنجارهای معادل آن

دو هنجار در یک فضای بردار معادل نامیده می شوند اگر و فقط در صورت القای توپولوژی یکسان. [4] اگر $پ$ و $س$ دو هنجار معادل در یک فضای برداری هستند $ایکس$ سپس ${\ displaystyle (X ، p)}$ یک فضای باناخ است اگر و فقط اگر ${\ displaystyle (X ، q)}$ یک فضای باناخ است. برای نمونه ای از هنجارهای پیوسته در فضای باناخ که با هنجار داده شده فضای باناخ برابر نیست ، این پاورقی را مشاهده کنید . [یادداشت 7] [4] تمام هنجارها در یک فضای بردار بعدی محدود معادل هستند و هر فضای هنجاردار متناهی محدود ، یک فضای باناخ است. [5]

هنجارهای کامل در مقابل سنجه های کامل

یک معیار $د$ روی یک فضای بردار $ایکس$ توسط یک هنجار در القا می شود $ایکس$ اگر و تنها اگر $د$ است ترجمه ثابت [توجه داشته باشید 3] و کاملا همگن ، به این معنی که ${\ displaystyle D (sx، sy) = | s | D (x، y)}$ برای همه اسکالرها $s$ و همه ${\ displaystyle x ، y \ in X ،}$ در این صورت تابع ${\ displaystyle \ | x \ |: = D (x ، 0)}$ یک هنجار را در تعریف می کند $ایکس$ و متریک متعارف ناشی از $\ | \ cdot \ |$ برابر است با $د$

فرض کنید که $(X ، \ | \ cdot \ |)$ یک فضای هنجاری شده است و $\ تاو$ توپولوژی هنجار القا شده در است $ایکس.$ فرض کنید که $د$ آیا هر متری روشن است $ایکس$ به طوری که توپولوژی که $د$ القا می کند $ایکس$ برابر است با $\ تاو$ اگر $د$ است ترجمه ثابت [توجه داشته باشید 3] پس از آن $(X ، \ | \ cdot \ |)$ یک فضای باناخ است اگر و فقط اگر ${\ displaystyle (X، D)}$ یک فضای متریک کامل است. [6] اگر $د$ است نه ثابت ترجمه، پس از آن ممکن است ممکن است برای $(X ، \ | \ cdot \ |)$ یک فضای باناخ باشد اما ${\ displaystyle (X، D)}$ به نمی شود یک فضای متریک کامل [7] (این پاورقی را ببینید [توجه داشته باشید 8] برای مثال). در مقابل ، قضیه Klee ، [8] [9] [یادداشت 9] که در مورد تمام فضاهای برداری توپولوژیکی قابل اندازه گیری نیز اعمال می شود ، بیانگر این است که در صورت وجود هر [متغیر 10] متریک کامل $د$ بر $ایکس$ که توپولوژی هنجار را القا می کند $ایکس،$ سپس $(X ، \ | \ cdot \ |)$ یک فضای باناخ است.

هنجارهای کامل در مقابل فضاهای برداری توپولوژیکی کامل

مفهوم دیگری علاوه بر کامل بودن متریک از کامل بودن وجود دارد و آن مفهوم یک فضای برداری برداری توپولوژیک کامل (TVS) یا کامل بودن TVS است که از تئوری فضاهای یکنواخت استفاده می کند . به طور خاص ، مفهوم کامل بودن TVS از یکنواختی منحصر به فرد ترجمه-ثابت ، به نام یکنواختی متعارف ، استفاده می کند که فقط به تفریق برداری و توپولوژی بستگی دارد $\ تاو$ که فضای بردار از آن برخوردار است ، و به طور خاص ، این مفهوم کامل بودن TVS مستقل از هر هنجار ناشی از توپولوژی است $\ تاو$ (و حتی در مورد TVS هایی که حتی قابل اندازه گیری نیستند نیز صدق می کند ). هر فضای باناخ یک TVS کامل است. علاوه بر این ، یک فضای هنجاری شده یک فضای باناخ است (یعنی متریک القا شده توسط هنجار آن کامل است) اگر و فقط اگر به عنوان یک فضای برداری توپولوژیکی کامل باشد. اگر $(X ، \ tau)$ یک فضای بردار توپولوژیکی قابل اندازه گیری است (در اینجا توجه داشته باشید که هر توپولوژی ناشی از هنجارها قابل اندازه گیری است) ، $(X ، \ tau)$ یک TVS کامل است اگر و فقط اگر یک TVS متوالی کامل باشد ، به این معنی که کافی است بررسی کنید که هر دنباله کوشی در $(X ، \ tau)$ در همگرایی می کند $(X ، \ tau)$ تا حدی از $ایکس$ (یعنی نیازی به در نظر گرفتن مفهوم عام تری از شبکه های دلخواه کوشی نیست ).

اگر $(X ، \ tau)$ یک فضای برداری توپولوژیکی که است توپولوژی است ناشی از برخی (احتمالا ناشناخته) هنجار ، و سپس $(X ، \ tau)$ یک فضای برداری برداری توپولوژیک کامل است اگر و فقط اگر $ایکس$ ممکن است یک هنجار اختصاص داده شود $\ | \ cdot \ |$ که باعث می شود $ایکس$ توپولوژی $\ تاو$ و همچنین می سازد $(X ، \ | \ cdot \ |)$ به یک فضای باناخ وارد شوید. یک فضای بردار توپولوژیک محدب Hausdorff به صورت محلی است $ایکس$ است normable اگر و تنها اگر آن فضای دو قوی ${\ displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}$ هنجار پذیر است ، [10] که در این صورت ${\ displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}$ یک فضای باناخ است ( ${\ displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}$ نشان دهنده فضای دوگانه قوی از است $ایکس،$ که توپولوژی آن تعمیم توپولوژی ناشی از هنجار دوگانه در فضای دوتایی پیوسته است ${\ displaystyle X ^ {\ prime}}$ ؛ برای جزئیات بیشتر به این پاورقی مراجعه کنید [یادداشت 11] . اگر $ایکس$ بنابراین ، یک TVS محدب محلی قابل اندازه گیری است $ایکس$ قابل قبول است اگر و فقط اگر ${\ displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}$ فضایی Fréchet – Urysohn است . [11] این نشان می دهد که در گروه TVS های محدب محلی ، فضاهای باناخ دقیقاً همان فضاهای کاملی هستند که هم قابل اندازه گیری هستند و هم دارای فضای دوتایی قوی قابل متغیر .

شخصیت پردازی از نظر سریال

ساختار فضایی بردار به شخص اجازه می دهد رفتار توالی کوشی را با رفتار بردارهای همگرا مرتبط کند . یک فضای هنجاری شده $ایکس$ یک فضای باناخ است اگر و فقط اگر هر سری کاملاً همگرا باشد $ایکس$ در همگرایی می کند $ایکس،$ [12]

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ | v_ {n} \ | <\ infty \ quad {\ text {دلالت بر این دارد که}} \ quad \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} v_ {n} \ \ {\ text {همگرا در}} \ \ X.}$

تکمیل [ ویرایش ]

هر فضای هنجاری را می توان به صورت ایزومتریک بر روی یک فضای کوچک بردار متراکم از برخی فضای باناخ جاسازی کرد ، جایی که این فضای باناخ را تکمیل فضای هنجارنشده می نامند . این اتمام هاوسدورف از نظر هم شکل گیری ایزومتریک بی نظیر است.

دقیق تر ، برای هر فضای هنجار شده $ایکس،$ یک فضای باناخ وجود دارد $بله$ و نقشه برداری ${\ displaystyle T: X \ به Y}$ به طوری که $تی$ یک نقشه ایزومتریک است و $T (X)$ متراکم است در $ی$ اگر $ز$ یک فضای دیگر باناخ است به گونه ای که یک انحنای ایزومتریک از وجود دارد $ایکس$ بر روی یک زیر مجموعه متراکم از $Z ،$ سپس $ز$ از نظر ایزومتریک یکدست است به $ی$ این فضای باناخ $بله$ است تکمیل از فضای نرمدار $ایکس.$ فضای متریک اساسی برای $بله$ همان تکمیل متریک است $ایکس،$ با عملیات فضایی برداری از $ایکس$ به $ی$ تکمیل $ایکس$ اغلب با نشان داده می شود ${\ displaystyle {\ widehat {X}}.}$

https://en.wikipedia.org/wiki/Banach_space

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی