ریاضیات

5. حداقل ویژگیهای مربعات ماتریس های ضریب متعامد

خصوصیات بهینه سازی ماتریس های متقارن Rayleigh Quentient اساس روش مشهور RayleighRitz را تشکیل می دهند ، به عنوان مثال ، [30،34]. در این بخش خصوصیات مربوط به ماتریس های ضریب متعامد را بدست می آوریم. همانطور که خواهیم دید ، ماتریس های متعامد متعامد ماتریس های متقارن ریلی را به همان روشی که ضرایب مستطیل ضرایب ریلی را گسترش می دهند ، گسترش می دهند.

قضیه 11 بگذارید

و 

یک جفت ماتریس مشخص با ستونهای متعادل باشد ، و اجازه دهید

(5.1)

ماتریس ضریب متعامد مربوطه را نشان می دهد. سپس  سه مشکل زیر را حل می کند.

(5.2)

(5.3)

و

(5.4)

اثبات تکمیل ستون ها  به عنوان یک قاعده طبیعی از  یک  ماتریس متعامد ، که اولین  ستون های آن ستون ها است ، می دهد . به طور مشابه یک  ماتریس متعامد وجود دارد که اولین آن است  ستون ها ستون های . بنابراین ، از آنجا که هنجار Frobenius بطور واحدی ثابت نیست ،

(5.5)

جایی که

(5.6)

اعتبار آخرین برابری با ذکر این نکته که  ماتریس  از اولین  ستون های  ماتریس هویت تشکیل شده است ، به راحتی تأیید می شود ، در حالی که  ماتریس  از اولین  ردیف های  ماتریس هویت. همچنین توجه داشته باشید که زیر متغیر اصلی مربوط به  است . از این رو انتخاب به  حداقل می رسد .

دو مسئله دیگر با استفاده از برابری با استدلال های مشابه حل می شوند

(5.7)

و

(5.8)

جایی که

(5.9)

تذکر بازرسی بیشتر از روابط (5.7) - (5.9) نشان می دهد که  مشکلات (5.3) و (5.4) را حل می کند حتی اگر هنجار Frobenius با هر یک از هنجارهای ماتریس منحصر به فرد دیگری جایگزین شود. با این حال آخرین ادعا برای مسئله معتبر نیست (5.2) ، زیرا "مشت زدن" یک ماتریس ممکن است هنجار آن را افزایش دهد. برای دیدن این نکته ماتریس ها را در نظر بگیرید

و هنجارهای ردیابی آنها به ترتیب 2 و است. یعنی مشت زدن  هنجار کمیاب آن را افزایش می دهد. با این وجود ، مشت زدن به یک ماتریس همیشه هنجار Frobenius را کاهش می دهد. از این رو اثبات قضیه 11 به نتایج قدرتمند زیر منجر می شود.

نتیجه گیری 12 اجازه دهید  مجموعه تمام  ماتریس های واقعی که الگوی صفر خاصی دارند را نشان دهیم. (به عنوان مثال ، مجموعه تمام ماتریس های سه ضلعی) اجازه دهید ماتریس  از  طریق تنظیم صفر در مکان های مربوطه بدست آید . سپس قضیه 11 وقتی معتبر باقی می ماند  و با  آنها جایگزین می شود  و به ترتیب                  

نتیجه 13 فرض کنید  و اجازه دهید

مجموعه تمام  ماتریس های مورب واقعی را نشان می دهد . اجازه دهید  و  یک جفت ماتریس مشخص با ستونهای متعادل باشد. سپس ماتریس

(5.10)

سه مشکل زیر را حل می کند.

(5.11)

(5.12)

و

(5.13)

همانند مورد اسکالر ، توابع باقیمانده ، و ما را قادر می سازد تا "فاصله" بین مقادیر منفرد  و . برای لحظه ای فرض کنید  و بگذارید  مقادیر واحد را نشان دهد . آنگاه یک جایگشت وجود دارد  از  جمله که

(5.14)

رجوع شود به [2،21]. روابط (5.7) - (5.9) نشان می دهد که حداقل مقادیر برابر  و برابر هنجار Frobenius بلوک های خارج مورب متناظر در ماتریس . مشاهدات بعدی مربوط به حداقل مقدار .

منبع

https://file.scirp.org/Html/2-5300515_41122.htm