ریاضیات

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد
پرش به ناوبریپرش به جستجو
برای محصول اسکالر یا نقطه تولید بردارهای مختصات، ضرب  نقطه را ببینید .
همچنین نگاه کنید به: قانون پارل لورام و هویت قطبی سازی

تفسیر هندسی زاویه بین دو بردار تعریف شده با استفاده از یک ضرب  درونی

فضاهای محصول اسکالر، بیش از هر رشته، "ضرب اسکالر" دارند که در اولین آرگومان متقارن و خطی هستند. فضاهای ضرب  Hermitian محدود به حوزه اعداد پیچیده و دارای ضرب  "Hermitian" هستند که در اولین استدلال متقارن متقارن و خطی هستند. فضاهای داخلی ممکن است بر روی هر زمینه تعریف شود، دارای "ضرب  درونی" است که در اولین استدلال خطی، متقارن متقارن، و قطعی مثبت است. بر خلاف ضرب  درونی، ضرب  اسکالر وضرب Hermitian نیاز به تعریف مثبت ندارند.
در جبر خطی ، یک فضای ضرب  درونی یک فضای بردار با ساختار اضافی است که به نام یکضرب درونی است . این ساختار اضافی هر جفت بردارها را در فضا با یک مقدار اسکالر معروف به محصول درونی بردارها مرتبط می کند.ضرب  داخلی اجازه می دهد معرفی دقیق از مفاهیم هندسی بصری مانند طول بردار و یا زاویه بین دو بردار. آنها همچنین ابزار تعریف متعامد بین بردارها (محصول داخلی صفر) را فراهم می کنند. فضاهای داخلی ضرب  کردن فضاهای اقلیدسی(که در آن ضرب  داخلی محصول نقطه است، همچنین به عنوان محصول اسکالر شناخته می شود) به فضاهای بردار هر (احتمالا بی نهایت) بعد ، و در تجزیه و تحلیل عملکرد مطالعه شده است . اولین استفاده از مفهوم فضای بردار با یک محصول درونی به دلیل Peano در سال 1898 است. [1]
یک محصول درونی به طور طبیعی باعث ایجاد یک عنصر مرتبط می شود ، بنابراین یک فضای محصول درونی نیز یکفضای برداری ساده است . فضای کامل با محصول داخلی است که به نام فضای هیلبرت . فضای (ناقص) با یک محصول درونی ، فضای قبل از هیلبرت نامیده می شود ، زیرا تکمیل آن با توجه به نوشتار ناشی از محصول درونی، یک فضای هیلبرت است . فضاهای داخلی داخلی در حوزه تعداد پیچیده گاهی اوقات به عنوان فضاهای واحد شناخته می شوند .
 فهرست1تعریف1.1خواص اولیه1.2تعاریف جایگزین، نشانه ها و اظهارات2نمونه2.1تعداد واقعی2.2فضای اقلیدسی2.3مختصات مجتمع فضایی2.4فضای هیلبرت2.5متغیرهای تصادفی2.6ماتریس های واقعی2.7فضاهای برداری با فرم ها3استانداردهای فضاهای محصول داخلی4توالی Orthonormal5اپراتورها در فضاهای محصول داخلی6مقررات6.1محصولات درونی تولید شده6.2شکلهای متقارن غیر وابسته به زنجیره تولید نشده7محصولات مرتبط8همچنین ببینید9یادداشت10منابع11منبعتعریف [ ویرایش ]
در این مقاله، درست از اسکالرهای نشان داده F یا زمینه است اعداد حقیقی R یا زمینه اعداد مختلط C .
به طور رسمی یک فضای محصول درونی یک فضای بردار V بر روی فیلد F همراه با یک محصول درونی است ، یعنی با یک نقشه
که ارضا در بر داشت زیر سه بدیهیات برای همه بردار X ، Y ، Z ∈ V و همه اسکالرهای ∈ F : [2] [3]مزدوج تقارن: [توجه داشته باشید 1]
خطی در اولین استدلال:
خواص اولیه [ ویرایش ]
هنگامی که F = R ، تقارن همبند به تقارن کاهش می یابد. این است که، 〈 X ، Y 〉 = 〈 Y ، X 〉 برای F = R . در حالی که برای F = C ، 〈 X ، Y 〉 به برابر است مزدوج مختلط .
توجه داشته باشید که تقارن مزدوج نشان می دهد که 〈 X ، X 〉 واقعی برای همه است X ، از آنجایی که ما را داشته باشد:
علاوه بر این، تناوبی (به زیر) نشان می دهد که
تقارن همبستگی و خطی بودن در متغیر اول می دهد
بنابراین یک محصول درونی یک شکل سیسیکلی نیار است ، به این معنا که استدلال دوم خطی است . تقارن همجوشی نیز نامتقارن Hermitian نامیده می شود، و شکل سیسیکلیینار متقارن همجوشی است که به شکل Hermitian نامیده می شود . در حالی که معیارهای فوق بیشتر از نظر ریاضی مقرون به صرفه هستند، یک تعریف کلامی جمع و جور از یک محصول درونی یک شکل خاص Hermitian قطعی است .
در مورد F = R ، تقارن کنترلی به تقارن کاهش می یابد و سیگنالینار به بیلیارین کاهش می یابد. بنابراین یک محصول درونی بر روی یک فضای بردار واقعی، یک فرم دوتایی خطی متقارن مثبت است .
ترکیبی از خطی بودن محصول درونی در اولین استدلال و تقارن کنجدی، تعمیم مهم زیر را از گسترش مربع آشنا می دهد:
فرض کنید زمینه زمینه R باشد ، محصول درونی متقارن می شود، و ما به دست می آوریم
اموال یک فضای محصول داخلی V که
همچنین به عنوان افزودنی شناخته شده است .تعاریف جایگزین،

نشانه ها و اظهارات [ ویرایش ]
یک مورد خاص معمول از محصول درونی، محصول اسکالر یا محصول نقطه ، با نقطه مرکزی نوشته شده است.
بعضی از نویسندگان، به ویژه در جرم فیزیک و ماتریس ، ترجیح می دهند که محصول درونی و شکل سسکوی لی لیار را با خطی بودن در استدلال دوم تعریف کنند نه اولین. سپس آرگومان اول، به جای دوم، به صورت خطی متصل می شود. در آن رشته ما ارسال کالا 〈 X ، Y 〉 عنوان 〈 Y | X 〉 (به نشانگذاری برا-کت از مکانیک کوانتومی )، به ترتیب Y † X (محصول نقطه به عنوان یک مورد این کنوانسیون تشکیل ماتریس AB به عنوان ضرب نقطه از ردیفبا ستون های ب ). در اینجا کیت ها و ستون ها با بردارهای V و سینه ها و ردیف ها با کاراکترهای خطی (covectors) فضای دوگانه V * ، با همپوشانی با دوگانگی، شناسایی می شوند. این را به صورت برعکس در حال حاضر گاهی اوقات در ادبیات انتزاعی تر به دنبال آن، [4] گرفتن 〈 X ، Y 〉 باشد، خطی مزدوج در X به جای Y . بعضی از آنها به جای یافتن زمین میانی با تشخیص هر دو · · · · ·، و · · · · ·> به عنوان مظاهر متمایز تنها در آن استدلال متفاوت است که خطی است.
دلایل فنی مختلفی وجود دارد که لازم است محدودیت میدان پایه به R و C در تعریف محدود شود. به طور مختصر، فیلد پایه باید حاوی یک زیر فیلد مرتب باشد تا غیر منفی باشد (5) و بنابراین بایدمشخصه ای برابر با 0 باشد (از آنجا که هر فیلد مرتب باید چنین خصوصیاتی داشته باشد). این بلافاصله زمینه های محدود را حذف می کند. فیلد پایه باید دارای ساختار اضافی مانند یک automorphism مشهور باشد. به طور کلی، هر زیرمجموعه چهارگانه بسته R یا C برای این منظور کافی خواهد بود، به عنوان مثال، اعداد جبری یا اعداد ساختاری. با این حال در این موارد، زمانی که یک فیلد مناسب (یعنی نه R و نه C )، حتی فضاهای محصول در فضای مجزا، به طور متریک کامل نخواهند شد. در مقابل تمام ابعاد محدود فضای ضرب داخلی بیش از R و یا C ، مانند کسانی که مورد استفاده در محاسبات کوانتومی ، به صورت خودکار سقوط metrically کامل و از این رو فضاهای هیلبرت .
در بعضی موارد ما نیاز به فرم های نیمه معین غیر سیگنال نهایی را در نظر می گیریم . این به این معنی است که 〈 X ، X 〉 تنها مورد نیاز به غیر منفی است. ما نشان می دهیم که چگونه با این موارد زیر روبرو شویم.مثالها [ ویرایش ]اعداد واقعی [ ویرایش ]
یک مثال ساده، عدد واقعی با ضرب استاندارد به عنوان محصول درونی است
فضای اقلیدسی [ ویرایش ]
به طور کلی، واقعی N فضا- R N با ضرب یک فضای ضرب داخلی، نمونه ای از یک است اقلیدسی N فضا- .
که در آن X T است ترانهاده از X .فضایی مجتمع [ ویرایش ]
شکل کلی یک محصول درونی در C n به شکل فرمتی شناخته می شود و توسط آن داده می شود
که در آن M هر است هرمیتی مثبت قطعی ماتریس و Y † است ترانهاده مزدوج از Y . برای واقعیت واقعی این مربوط به نقطه تولید نتایج مقیاس جهت متفاوت دو بردار، با مقیاس مقیاس مثبت و جهت مقطع مقیاس. تا به یک تحول متعامد آن است وزن حاصل جمع نسخه از محصول از نقطه، با وزن مثبت است.فضای هیلبرت [ ویرایش ]
مقاله در فضای هیلبرت دارای چندین نمونه از فضاهای محصول داخلی است که در آن متریک القا شده توسط محصول درونی، یک فضای متریک کامل را ایجاد می کند. یک مثال از یک محصول درونی که الگوریتم ناقص را ایجاد می کند با فضای C ([ a ، b ]) توابع ثابت پیوسته در بازه [ a ، b ] رخ می دهد . محصول داخلی است
این فضای کامل نیست برای مثال، برای بازه [-1،1] توالی از عمل "step" مداوم، { f k } k را در نظر بگیرید  ، تعریف شده توسط:
این توالی یک توالی کوشی برای هنجار القا شده توسط محصول داخلی قبلی است که به یک تابع پیوسته همگرا نیست .متغیرهای تصادفی [ ویرایش ]
برای متغیرهای تصادفی واقعی X و Y ، مقدار انتظار می رود از محصول آنها
یک محصول درونی است. [6] [7] [8] در این مورد، 〈 X ، X 〉 = 0 اگر و تنها اگر روابط عمومی ( X = 0) = 1 (یعنی X = 0 مطمئنا ). این تعریف از انتظار به عنوان محصول درونی می تواند به بردارهای تصادفی نیز گسترش یابد .ماتریسهای واقعی [ ویرایش ]
برای ماتریس مربع واقعی به همان اندازه، 〈 ، B 〉: = TR ( AB T ) با عنوان مزدوج ترانهاده
{\ displaystyle \ left {\ langle A، B \ rangle = \ left \ langle B ^ {\ mathrm {T}}، A ^ {\ mathrm {T}} \ right \ rangle \ right)}
یک محصول درونی است.فضاهای برداری با فرمها [ ویرایش ]
در یک فضای ضرب داخلی یا به طور کلی یک فضای برداری با یک فرم nondegenerate (بنابراین ریخت V → V * ) بردار را می توان به covectors (در مختصات، از طریق ترانهاده) فرستاده می شود، بنابراین می توان محصول داخلی و محصول خارجی را دو بردار، نه تنها یک بردار و یک covector.استانداردهای فضای محصول داخلی [ ویرایش ]
یک فضای خطی با یک عنصر مانند:
یک فضای رو هنجار اما نه یک فضای ضرب داخلی، چرا که این هنجار می کند راضی نیست برابری متوازی الاضلاع مورد نیاز یک هنجار به یک محصول داخلی مرتبط با آن. [9] [10]
با این حال، فضای ضرب داخلی یک به طور طبیعی تعریف هنجار بر اساس محصول داخلی از فضای خود را می کند که برآورده برابری متوازی الاضلاع است:
این به وضوح توسط معیار غیرقابل تعریف تعریف فضای محصول درونی تعریف شده است. این عدد به عنوان طول بردار x محاسبه می شود . به طور مستقیم از معیارها می توانیم موارد زیر را ثابت کنیم:نابرابری کوشی-شوارتز : برای x ، y عناصر V
با برابری اگر و فقط اگر x و y به طور خطی وابسته باشند . این یکی از مهمترین نابرابری ها در ریاضیات است. همچنین در ادبیات ریاضی روسیه به عنوان نابرابری کوشی-بنیاکوفسکی-شوارتز شناخته شده است .Orthogonality : تفسیر هندسی از محصول درونی از نظر زاویه و طول، بسیاری از اصطلاحات هندسی را که ما در رابطه با این فضاها استفاده می کنیم، تشویق می کنیم. در واقع، یک نتیجه فوری از نابرابری کوشی-شوارتز این است که توجیه کردن تعریف زاویه بین دو بردار غیر صفر x و y ( یعنی ∠ ) در مورد F = R توسط هویت
ما فرض می کنیم که مقدار زاویه در بازه [0، π] انتخاب می شود . این در مقایسه با وضعیت در فضای اقلیدسی دو بعدی است .
در مورد F = C ، زاویه در بازه [0،  π/2 ] معمولا توسط
به این ترتیب، ما خواهیم گفت که بردارهای غیر صفر x و y از V بصورت متعامد هستند اگر و فقط اگر محصول درونی آنها صفر باشد.همگنی : برای x یک عنصر از V و r اسکالر است
اموال همگنی برای اثبات کاملا بی اهمیت است.نابرابری مثلث : برای x ، y عناصر V
دو ویژگی جدید نشان می دهد که تابع تعریف شده در واقع یک عنصر است.
به دلیل نابرابری مثلث و به دلیل axiom 2، ما می بینیم که || · || یک عنصر است که V را به یک فضای بردار نوری تبدیل می کند و از این رو به یک فضای متریک نیز تبدیل می شود .مهمترین فضاهای محصول درونی آنهایی هستند که با توجه به این متریک کامل هستند ؛ آنها فضاهای هیلبرت نامیده می شوند . هر فضای داخلی محصول V یک زیر فضای متراکم از برخی از فضای هیلبرت است. این فضای هیلبرت اساسا به وضوح توسط V تعیین شده است و با تکمیل V ساخته شده است .قضیه فیثاغورث : هر گاه X ، Y در می V و 〈 X ، Y 〉 = 0 ، آنگاه
اثبات هویت فقط بیان تعریفی از هنجار را از لحاظ محصول درونی و ضرب کردن آن، با استفاده از ویژگی ادغام هر یک از اجزای تشکیل می دهد.
قضیه فیثاغورث نامی از تفسیر هندسی این نتیجه به عنوان آنالوگ قضیه هندسه مصنوعی حاصل می شود . توجه داشته باشید که اثبات قضیه فیثاغورث در هندسه مصنوعی به علت کمبود ساختار زیرزمینی، بسیار دقیق است. در این معنا، قضیه فیثاغورث مصنوعی، اگر درست نشان داده شود، عمیق تر از نسخه ارائه شده در بالا است.
القایی در بازده قضیه فیثاغورث:اگر X 1 ، ...، X n را می متعامد بردار، است که، 〈 X J ، X K 〉 = 0 برای شاخص های متمایز J ، K ، پس از آن
با توجه به نابرابری کوشی-شوارتز، ما همچنین توجه داشته باشیم که 〈·، ·〉 از V × V به F پیوسته است . این اجازه می دهد تا ما را به گسترش قضیه فیثاغورس به تعداد بسیار زیادی از جملات:هویت پارسوال: فرض کنید V یک فضای محصول کامل درونی است. اگر { X K } بردار متعامد در V پس از آن
مجموعه سری بی نهایت در سمت چپ همگرا است . تکمیل فضای مورد نیاز برای اطمینان از دنباله ای از مبالغ جزئی است
که به راحتی نشان داده می شود توالی کوشی است ، همگرا است.قانون پارلگرافی : برای x ، y عناصر V ،
قانون پارل لوراما در واقع یک شرط لازم و کافی برای وجود یک محصول درونی است که مربوط به یک عادت داده شده است. اگر آن را نگه دارد، محصول درونی با هویت قطبی تعریف میشود :
که یک شکل از قانون کوسینوس است .

توالی های Orthonormal [ ویرایش ]
اجازه دهید V یک فضای محصول داخلی در ابعاد بعدی ابعاد n باشد. به یاد بیاورید که هر اساس از V دقیقا شامل N خطی بردارها مستقل است. با استفاده از فرآیند گرام اشمیت می توانیم با یک مبنای دلخواه آغاز کنیم و آن را به صورت منظم تبدیل کنیم. به این معنی که پایه ای است که تمام عناصر متعامد هستند و دارای یک واحد واحد هستند. در کاراکتر، یک اساس { E 1 ، ...، E N }orthonormal است اگر 〈 الکترونیکی من ، الکترونیکی J 〉 = 0 برای هر من ≠ j را و〈 الکترونیکی من ، الکترونیکی من 〉 = || e i || = 1 برای هر من .
این تعریف از مبنای ارزیابی دقیق به موارد فضای محصول بی نهایت در روش زیر تعمیم می دهد. اجازه دهید V هر فضای محصول درونی باشد. سپس یک مجموعه
یک اساس برای V اگر فضا از V تولید شده توسط ترکیب خطی متناهی از عناصر E متراکم در V (در هنجار ناشی از محصول داخلی). ما می گوییم که E یک مبنای ارزیابی برای V استاگر پایه و اساس باشد
اگر α ≠ بتا و 〈 الکترونیکی α ، E α 〉 = || e α || = 1 برای همه α ، بتا ∈ .
با استفاده از یک آنالوگ بی نهایت از فرآیند گرام اشمیت می توان گفت:
قضیه هر فضای V محصول جداگانه ای V دارای پایه ای است.
با استفاده از اصل حداقلی Hausdorff و این واقعیت است که در یک فضای کامل محصول درونی فضای متعامد بر روی زیرموهای خطی به خوبی تعریف شده است، همچنین ممکن است نشان دهد که
قضیه هر فضای محصول کامل درونی محصول V دارای پایه واریانس است.
دو قاعده قبلی، این پرسش را مطرح می کند که آیا تمام فضاهای محصول درونی به صورت منظم هستند. پاسخ، معلوم است منفی است. این یک نتیجه بی اهمیت است و در زیر ثابت شده است. اثبات زیر از کتاب مشکل فضایی هیلبث Halmos گرفته شده است (مراجعه کنید). [ نیازمند منبع ]نشان می دهداثبات
هویت پارسوال بلافاصله به قضیه زیر پی می برد:
قضیه اجازه دهیم V یک فضای محصول جداکننده درونی باشد و  یک مبنای ارگونومیک  V است . سپس نقشه
یک نقشه خطی ایزومتریک V → L 2 با یک تصویر متراکم است.
این قضیه را می توان به عنوان یک شکل انتزاعی از سری فوریه تلقی کرد ، که در آن یک پایگاه رسمی دلخواه نقش توالی چندجمله ای مثلثاتی را بازی می کند . توجه داشته باشید که فهرست شاخص زیر را می توان به هر مجموعه شمرداری (و در واقع هر کدام از مجموعه های مورد نظر، در صورتی که L 2 به درستی تعریف شده باشد، همانطور که در مقاله هیلبرت توضیح داده شده است ). به طور خاص نتیجه ی زیر را در نظریه ی سری فوریه بدست آوریم:
قضیه بگذارید V فضای محصول درونی C [-π، π] باشد. سپس توالی (در مجموعه ای از تمام اعداد صحیح) از توابع پیوسته
اساس orthonormal از فضایی است C [-π، π] با L 2 داخلی است. نقشه برداری
یک نقشه خطی ایزومتریک با تصویر متراکم است.
Orthogonality دنباله { e k } k به سرعت از این واقعیت پیروی می کند که اگر k ≠ j ، سپس
نرمال توالی توسط طراحی است، یعنی ضرایب به طوری انتخاب می شوند که نهایتا به 1 برسد. در نهایت واقعیت این است که دنباله دارای طول جبری متراکم است، در محدوده محصول درونی ، از این واقعیت پیروی می کند که دنباله دارای طول جبری متراکم است، این بار در فضای توابع پیوسته پیوسته در [-π، π] با یکنواخت یکنواخت. این محتوای قضیه وایرشتراس بر روی چگالی یکنواخت چندجمله ای مثلثاتی است.

اپراتورها در فضاهای محصول داخلی [ ویرایش ]
چندین نوع از نقشه های خطی A از یک فضای محصول درونی V به یک فضای محصول داخلی W مربوط می شوند:نقشه خطی مداوم ، یعنی A ، خطی و مستمر با توجه به متریک تعریف شده در بالا یا معادل آن، A خطی است و مجموعه ای از reals غیر منفی {|| Ax ||} ، جایی که x بر روی توپ واحد بسته V قرار دارد ، محدود است.اپراتورهای خطی متقارن، یعنی خطی است و 〈 تبر ، Y 〉 = 〈 X ، آی 〉 برای همه X ، Y در V .Isometries، یعنی خطی است و 〈 تبر ، آی 〉 = 〈 X ، Y 〉 برای همه X ، Y در V ، یا به طور برابر، خطی است و || تبر || = || x || برای همه X در V . همه ایزومترها انعقاددارند Isometries مورفیزم بین فضاهای محصول درونی است، و مورفیزم های فضای محصول واقعی درونی تحولات متعامد هستند (نسبت به ماتریس متعامد ).ایزومورفیسم های ایزومتریک، یعنی A ، ایزومتری است که از نظر جبری (و به همین ترتیب bijective ) است. ایزومورفیسم های ایزومتریک همچنین به عنوان اپراتورهای واحد شناخته می شوند (نسبت به ماتریس واحد ).
از نقطه نظر نظريه فضاي محصول دروني، نياز نيست بين دو فضايي که ايزومتريک ايزومورفيک هستند را تعيين کنيم. قضیه طیفی اشکال متعارف برای متقارن، واحد و به طور کلی فراهم می کنداپراتورهای طبیعی در فضاهای محدود داخلی بعدی. تعمیم قضیه طیفی برای اپراتورهای پیوسته عادی در فضاهای هیلبرت وجود دارد.

کلیات [ ویرایش ]
هر یک از محورهای یک ضرب درونی ممکن است ضعیف شود و مفاهیم عمومی را به دست آورد. تعمیم هایی که نزدیک به ضرب  هایدرونی هستند، جایی که دوقطبی بودن و تقارن همگرا حفظ می شوند، اما قطعیت مثبت ضعیف است.

محصولات درونی تولید شده [ ویرایش ]
اگر V یک فضای بردار است و 〈·، ·〉 یک شکل سیگنال نهایی نیمه تعریف شده است، سپس تابع:
معنی می دهد و تمام خواص هنجار را به جز اینکه || x || = 0 به این معنی نیست که x = 0 باشد (بنابراین یک عملکرد یک نیمه نویسی نامیده می شود ). ما می توانیم یک فضای محصول داخلی را با در نظر گرفتن نسبت W = V / { x  : || x || = 0 }. فرم sesquilinear 〈·، ·〉 عوامل از طریق W .
این ساخت و ساز در زمینه های مختلف استفاده می شود. ساخت و ساز گلفاند-Naimark-سگال یک مثال مهم در استفاده از این روش است. مثال دیگر نمایندگی هسته های نیمه قطعی در مجموعه دلخواه است.اشکال متقارن ناپایدار [ ویرایش ]
مقاله اصلی: فضای شبه اقلیدسی
روش دیگر، یک ممکن است لازم باشد جفت شدن یک فرم nondegenerate ، به این معنی که برای همه غیر صفر X وجود دارد برخی وجود دارد Y به طوری که 〈 X ، Y 〉 ≠ 0 ، هر چند Yنیاز برابر نیست X ؛ به عبارت دیگر، نقشه القا شده به فضای دوگانه V → V * تزریقی است. این تعمیم در هندسه دیفرانسیل مهم است : یک چندجمله ای که فضاهای مماس آنها یک ضرب درونی است، یک چندجمله ریمانی است ، در حالی که اگر این مربوط به شکل متقارن ناپایدار است، چند فیشل یک چندجمله شبه ریمانی. توسط قانون لختی سیلوستر ، فقط به عنوان هر محصول داخلی شبیه به ضرب نقطه با وزن مثبت بر مجموعه ای از بردار است، هر مزدوج فرم متقارن nondegenerate مشابه محصول از نقطه با غیر صفر وزن در مجموعه ای از بردار، و تعداد وزن مثبت و منفی به ترتیب شاخص مثبت و شاخص منفی نامیده می شود. محصول بردارها در فضای Minkowski نمونه ای از محصول داخلی نامحدود است، اگرچه از لحاظ فنی، محصول داخلی نیست با توجه به تعریف استاندارد بالا. فضای Minkowski دارای چهار بعد و شاخص 3 و 1 است (تخصیص "+" و "-" به آنها بسته به نوع کنوانسیون متفاوت است ).
اظهارات جبری خالص (آنهایی که از مثبت استفاده نمی کنند) معمولا تنها بر عدم فرآیند (homomorphism تزریقی V → V * ) تکیه می کنند و به این ترتیب کلی تر را نگه می دارند.محصولات مرتبط [ ویرایش ]
اصطلاح "ضرب درونی" با ضرب بیرونی مخالف است ، که به طور کلی مخالف است. به سادگی، در مختصات، محصول درونی محصول یک covector 1 × n با یک بردار n × 1 است که یک ماتریس 1 × 1 (یک اسکالر) را تولید می کند، در حالی که ضرب بیرونی ضرب یک بردار m × 1 با یک 1 × n covector، تولید یک ماتریس m × n . توجه داشته باشید که ضرب بیرونی برای ابعاد مختلف تعریف شده است، در حالی که ضرب درونی نیاز به ابعاد مشابه دارد. اگر ابعاد یکسان باشند، پس محصول درونی ردیابی استاز ضرب بیرونی (ردیابی تنها به درستی برای ماتریس مربع تعریف شده است). در یک quip: "درونی افقی بارها عمودی است و کاهش می یابد، بیرون بارهای عمودی افقی است و گسترش می یابد".
بیشتر انتزاعی است، ضرب بیرونی یک نقشه بیلیار W × V * → Hom ( V ، W ) ارسال یک بردار و یک covector به تبدیل خطی رتبه 1 ( تانسور ساده نوع (1،1))، در حالی که ضرب درونی ارزیابی بیلیار V * × V → F با ارزیابی یک covector بر روی یک بردار؛ ترتیب فضاهای بردار دامنه در اینجا بیانگر تمایز covector / vector است.
ضرب درونی و ضرب بیرونی نباید با ضرب داخلی و ضرب بیرونی اشتباه گرفته شود ، که در عوض بر روی زمینه های بردار و فرم های دیفرانسیل انجام می شود یا به طور کلی بر رویجبر بیرونی .
به عنوان پیچیدگی بیشتر، در جبر هندسی ، محصول درونی و خارج (Grassmann) محصول در محصول هندسی (ضرب کلیفورد در جبر Clifford ) ترکیب - ضرب درونی می فرستد دو بردار (1-vectors) به یک اسکالر (a 0-vector)، در حالی که محصول بیرونی دو بردار را به یک دوچرخه (2 بردار) می فرستد - و در این زمینه ضرب بیرونی معمولا "ضرب بیرونی(گاو یا کالای دیگر)" نامیده می شود. ضرب داخلی به درستی به عنوان یک ضرب اسکالر در این زمینه نامگذاری شده است، زیرا فرم الگوریتمی غیر زاویه ای مورد بحث نباید قطعی مثبت باشد (نباید یک ضرب درونی باشد).

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Inner_product_space