ادامه گروه دروغ (Lie )

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه هشتم آبان ۱۳۹۹ | 9:21

نقشه نمایی [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: مشتق نقشه نمایی و مختصات عادی

نقشه نمایی از جبر دروغ ${\ displaystyle M (n؛ \ mathbb {C})}$ از گروه خطی عمومی ${\ displaystyle GL (n؛ \ mathbb {C})}$ به ${\ displaystyle GL (n؛ \ mathbb {C})}$ توسط نماد ماتریس تعریف شده است ، داده شده توسط سری قدرت معمول:

${\ displaystyle \ exp (X) = 1 + X + {\ frac {X ^ {2}} {2!}} + {\ frac {X ^ {3}} {3!}} + \ cdots}$

برای ماتریس ها $ایکس$ . اگر $G$ یک زیر گروه بسته است ${\ displaystyle GL (n؛ \ mathbb {C})}$ ، سپس نقشه نمایی جبر دروغ را می گیرد $G$ به $G$ ؛ بنابراین ، ما یک نقشه نمایی برای همه گروه های ماتریسی داریم. هر عنصر از $G$ که به اندازه کافی به هویت نزدیک است ، نماد یک ماتریس در جبر دروغ است. [17]

تعریف بالا برای استفاده آسان است ، اما برای گروه های Lie که گروه ماتریسی نیستند ، تعریف نشده است و مشخص نیست که نقشه نمایی یک گروه Lie به نمایش آن به عنوان یک گروه ماتریس بستگی ندارد. ما می توانیم هر دو مسئله را با استفاده از تعریف انتزاعی تر از نقشه نمایی که برای همه گروه های دروغ کار می کند ، حل کنیم ، به شرح زیر.

برای هر بردار $ایکس$ در جبر دروغ ${\ mathfrak {g}}$ از $G$ (یعنی فضای مماس به $G$ در هویت) ، یکی ثابت می کند که یک زیر گروه منحصر به فرد با یک پارامتر وجود دارد ${\ displaystyle c: \ mathbb {R} \ rightarrow G}$ به طوری که ${\ displaystyle c '(0) = X}$ . گفتن $ج$ یک زیر گروه یک پارامتر است که به معنای ساده این است $ج$ یک نقشه صاف به $G$ و آن

$c (s + t) = c (s) c (t) \$

برای همه $s$ و $تی$ . عمل در سمت راست ضرب گروه در است $G$ . شباهت رسمی این فرمول با آنچه برای تابع نمایی معتبر است تعریف را توجیه می کند

${\ displaystyle \ exp (X) = c (1). \}$

به این نقشه نمایی گفته می شود ، و جبر Lie را ترسیم می کند ${\ mathfrak {g}}$ به گروه دروغ $G$ . این یک تفاوت در یک محله از 0 در فراهم می کند ${\ mathfrak {g}}$ و یک محله از $ه$ که در $G$ . این نقشه نمایی تعمیم تابع نمایی برای اعداد واقعی است (زیرا $\ mathbb {R}$ جبر دروغ از گروه دروغ اعداد مثبت مثبت با ضرب است) ، برای اعداد مختلط (زیرا $\ mathbb {C}$ جبر دروغ از گروه دروغ اعداد مختلط غیر صفر با ضرب است) و برای ماتریس ها (زیرا ${\ displaystyle M (n ، \ mathbb {R})}$ با کموتاتور عادی جبر دروغ از گروه دروغ است ${\ displaystyle GL (n، \ mathbb {R})}$ از همه ماتریس های برگشت پذیر).

از آنجا که نقشه نمایی در بعضی از محله ها تصنیفی است $ن$ از $ه$ ، معمولاً فراخوانی عناصر جبر Lie برای مولدهای بینهایت کوچک گروه است $G$ . زیر گروه $G$ تولید شده توسط $ن$ م componentلفه هویت است $G$ .

نقشه نمایی و جبر دروغ ، ساختار گروه محلی هر گروه دروغ متصل را تعیین می کند ، به دلیل فرمول Baker-Campbell-Hausdorff : محله ای وجود دارد $تو$ از عنصر صفر از ${\ mathfrak {g}}$ ، به طوری که برای ${\ displaystyle X، Y \ in U}$ ما داریم

${\ displaystyle \ exp (X) \ ، \ exp (Y) = \ exp \ left (X + Y + {\ tfrac {1} {2}} [X، Y] + {\ tfrac {1} {12}} [\، [X، Y]، Y] - {\ tfrac {1} {12}} [\، [X، Y]، X] - \ cdots \ right)،}$

جایی که اصطلاحات حذف شده شناخته شده اند و شامل براکت های دروغین از چهار یا چند عنصر هستند. در صورت $ایکس$ و $بله$ رفت و آمد ، این فرمول به قانون نمایی آشنا کاهش می یابد ${\ displaystyle \ exp (X) \ exp (Y) = \ exp (X + Y)}$

نقشه نمایی مربوط به همگونی های گروه دروغ است. یعنی اگر $\ phi: G \ به H$ یک همگونی گروه دروغ است و $\ phi _ {*}: {\ mathfrak {g}} \ به {\ mathfrak {h}}$ نقشه القا شده در جبرهای دروغ مربوطه ، سپس برای همه $x \ در {\ mathfrak {g}}$ ما داریم

$\ phi (\ exp (x)) = \ exp (\ phi _ {*} (x)). \ ،$

به عبارت دیگر ، نمودار زیر رفت و آمد می کند ، [توجه 1]

(به طور خلاصه ، exp یک تغییر طبیعی از functor Lie به functor identitet در گروه گروه Lie است.)

نقشه نمایی از جبر دروغ به گروه دروغ همیشه روی صفحه نیست ، حتی اگر گروه متصل باشد (اگرچه برای گروه های متصل که جمع و جور یا قدرت بالایی دارند ، روی گروه دروغ نقشه می کشد). به عنوان مثال ، نقشه نمایی SL (2 ، R ) اضافی نیست. همچنین، نقشه نمایی نه پوشا و نه تزریقی برای بی نهایت بعدی (پایین را ببینید) گروه های دروغ مدل در است C ∞ فضای فریشه ، حتی از محله کوچک دلخواه 0 تا محله از 1 مربوطه.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Lie_group

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی