ادامه جبر خارجی

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه هجدهم مهر ۱۳۹۹ | 12:23

ساختار دو جبر [ ویرایش ]

بین دو درجه بندی جبر درجه بندی شده Λ ( V ) و اشکال چند خطی متناوب در V مطابقت وجود دارد . جبر خارجی (و همچنین جبر متقارن ) یک ساختار دو جبری ، و در واقع ، یک ساختار جبر هاپف ، از جبر تنسور به ارث می برد . برای درمان دقیق موضوع ، به مقاله جبرهای تنسور مراجعه کنید .

محصول بیرونی اشکال چند خطی که در بالا تعریف شد ، نسبت به یک محصول مشترک تعریف شده در Λ ( V ) دوتایی است ، و ساختار یک لکه ذغال را می دهد . coproduct یک تابع خطی است Δ: Λ ( V ) → Λ ( V ) ⊗ Λ ( V ) است که با توجه به

${\ displaystyle \ Delta (v) = 1 \ otimes v + v \ otimes 1}$

بر عناصر پنجم ∈ V . نماد 1 مخفف عنصر واحد قسمت K است . K ⊂ Λ ( V ) را به یاد بیاورید ، بنابراین موارد فوق واقعاً در Λ ( V ) Λ ( V ) نهفته است . این تعریف از محصول مشترک توسط همگونی (خطی) به فضای کامل Λ ( V ) گسترش یافته است. شکل صحیح این همگونی ، چیزی نیست که فرد ساده لوحانه بنویسد ، بلکه باید همان چیزی باشد که در مقاله ذغال سنگ با دقت تعریف شده است . در این حالت ، شخص بدست می آورد

${\ displaystyle \ Delta (v \ wedge w) = 1 \ otimes (v \ wedge w) + v \ otimes ww \ otimes v + (v \ wedge w) \ otimes 1.}$

با گسترش این جزئیات ، یک عبارت زیر در مورد عناصر تجزیه به دست می آید:

${\ displaystyle \ Delta (x_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge x_ {k}) = \ sum _ {p = 0} ^ {k} \؛ \ sum _ {\ sigma \ in Sh (p + 1، kp)} \؛ \ operatorname {sgn} (\ sigma) (x _ {\ sigma (0)} \ wedge \ cdots \ wedge x _ {\ sigma (p)}) \ otimes (x _ {\ sigma (p + 1) } \ wedge \ cdots \ wedge x _ {\ sigma (k)}).}$

که در آن جمع دوم شامل همه تغییرات ( p +1 ، k - p ) است . موارد بالا با یک ترفند نمادین برای پیگیری عنصر زمینه 1 نوشته شده است: ترفند نوشتن است $x_ {0} = 1$ ، و این در طول گسترش مقدار جمع بیش از تغییر مکان به مکان های مختلف منتقل می شود. این اشتباه مستقیماً از اولین بدیهی یک جبر مشترک دنبال می شود: ترتیب نسبی عناصر $x_ {k}$ در شیف ریفل حفظ شده است : جابجایی ریفل صرفاً توالی مرتب را به دو توالی مرتب تقسیم می کند ، یکی در سمت چپ و دیگری در سمت راست.

مشاهده کنید که این محصول درجه بندی جبر را حفظ می کند. با گسترش فضای کامل Λ ( V ) ، یک نفر وجود دارد

${\ displaystyle \ Delta: {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} (V) \ to \ bigoplus _ {p = 0} ^ {k} {\ textstyle \ bigwedge} ^ {p} (V) \ otimes {\ سبک متن \ bigwedge} ^ {kp} (V)}$

نماد تانسور ⊗ مورد استفاده در این بخش باید با احتیاط درک کرد: آن است نه نماد تانسور همان یکی که در تعریف کالا متناوب استفاده می شود. بصری ، شاید ساده ترین آن باشد که فقط به عنوان یک محصول کششی متفاوت ، اما متفاوت ، تصور کنید: همچنان که باید محصولات تنسور (دو) خطی باشد ، اما این محصول مناسب تعریف دوجبر است ، است ، برای ایجاد شی Λ ( V ) ⊗ Λ ( V ). با تامل در برابرها (1 ⊗ v ) ∧ (1 ⊗ w ) = 1 ⊗ ( v ∧ w ) و ( v ⊗ 1) Any (1 Any) می توان هر شک طولانی را لرزاند.w ) = v ⊗ w ، كه در تعريف ذغال سنگ ذكر شده است ، در مقابل دستكاري ساده لوحانه شامل علائم تنسور و گوه. این تمایز با جزئیات بیشتر در مقاله جبرهای تنسور ارائه شده است. در اینجا ، مسئله بسیار کمتری وجود دارد ، از این جهت که محصول متناوب Λ به وضوح با ضرب در دو جبر مطابقت دارد ، و نماد را برای استفاده در تعریف bialgebra آزاد می گذارد. در عمل ، این مسئله مشکلی خاصی ایجاد نمی کند ، به شرطی که فرد از دام مرگبار جایگزینی مبالغ متناوب ⊗ با نماد گوه جلوگیری کند ، به استثنای یک مورد. می توان یک محصول متناوب از construc ساخت ، با این درک که در فضای دیگری کار می کند. بلافاصله در زیر ، یک مثال آورده شده است: محصول متناوب برای فضای دوتایی را می توان از نظر محصول مشترک ارائه کرد. ساخت دو جبر در اینجا تقریباً دقیقاً به موازات ساخت در مقاله جبر تنسور است ، بجز نیاز به ردیابی صحیح علائم متناوب برای جبر خارجی.

از نظر کالای مشترک ، محصول خارجی در فضای دوتایی فقط دو درجه بندی شده کالای مشترک است:

${\ displaystyle (\ alpha \ wedge \ beta) (x_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge x_ {k}) = (\ alpha \ otimes \ beta) \ left (\ Delta (x_ {1} \ wedge \ cdots \ گوه x_ {k}) \ راست)}$

جایی که محصول تنسور در سمت راست از نقشه های خطی چند خطی برخوردار است (با عناصر با درجه همگن ناسازگار با صفر گسترش می یابد: دقیق تر ، α ∧ β = ε ∘ ( α ⊗ β ) Δ ، جایی که ε کشور است ، به عنوان در حال حاضر تعریف شده)

counit همریخت است ε : Λ ( V ) → K که بازده جزء 0-مدرج استدلال خود را. coproduct و counit، همراه با محصول خارجی، تعریف ساختار یک bialgebra در جبر بیرونی.

با آنتی پد تعریف شده بر روی عناصر همگن توسط

${\ displaystyle S (x) = (- 1) ^ {\ binom {{\ text {deg}} \، x \، + 1} {2}} x}$ ، جبر خارجی علاوه بر این یک جبر هاپف است . [15]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Exterior_algebra

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی