در ریاضیات ، امضای ( v ، p ، r ) یک سنسور متریک g (یا معادل آن ، یک فرم درجه دوم واقعی که به عنوان یک فرم دو خطی متقارن واقعی در یک فضای بردار بعدی متناهی تصور می شود ) عدد (شمارش با ضرب) است مقادیر ویژه مثبت ، منفی و صفر ماتریس متقارن واقعی g ab تنسور متریک با توجه به مبنا . در فیزیک ، v نشان دهنده زمان یا بعد مجازی ، و p برای فضا و بعد فیزیکی است. متناوباً ، می توان آن را به عنوان ابعاد حداکثر فضای خالی مثبت و پوچ تعریف کرد. طبق قانون اینرسی سیلوستر ، این اعداد به انتخاب مبنا بستگی ندارند. بنابراین امضا معیار را تا انتخاب مبنایی طبقه بندی می کند. امضا اغلب با یک جفت عدد صحیح ( v ، p ) نشان داده می شود که r = 0 را نشان می دهد ، یا به عنوان یک لیست صریح از نشانه های مقادیر ویژه مانند (+ ، - ، - ، -) یا (- ، + ، + ، +) برای امضاها (به ترتیب 1 ، 3 ، 0) و (3 ، 1 ، 0) . [1]

اگر v و p هر دو غیر صفر باشند ، امضا نامشخص است یا مخلوط و اگر r غیر صفر باشد ، انحطاط دارد. متریک ریمانی یک متریک با یک است مثبت قطعی امضا ( V ، 0) . لورنتزی متریک متریک با امضا ( V ، 1) ، و یا (1، ص ) .

است یکی دیگر از مفاهیم وجود دارد امضای یک تانسور متریک nondegenerate داده شده توسط یک عدد بازدید کنندگان تعریف شده به عنوان ( V - P ) ، که در آن V و P همانطور که در بالا هستند، که معادل به تعریف بالا را هنگام بعد N = V + P داده شده است یا ضمنی به عنوان مثال ، s = 1 - 3 = −2 برای (+ ، - ، - ، -) و آینه آن s ' = - s = +2 برای (- ، + ، + ، +) .

 

فهرست

تعریف [ ویرایش ]

امضای یک سنسور متریک به عنوان امضای فرم درجه دوم مربوطه تعریف می شود . [2] این تعداد ( v ، p ، r ) مقادیر ویژه مثبت و صفر هر ماتریسی است (یعنی در هر مبنایی برای فضای برداری اصلی) که فرم را نشان می دهد ، با کثرات جبری آنها محاسبه می شود . معمولاً r = 0 لازم است ، یعنی همان گفتن اینکه یک تانسور متریک باید غیرتولید شود ، یعنی هیچ بردار غیر صفر نسبت به همه بردارها متعامد نیست.

طبق قانون اینرسی سیلوستر ، اعداد ( v ، p ، r ) اساساً مستقل هستند.

خصوصیات [ ویرایش ]

امضا و بعد [ ویرایش ]

با توجه به قضیه طیفی ، یک ماتریس n  ×  n متقارن بر روی واقعی ها همیشه مورب است و بنابراین دقیقاً n مقادیر ویژه واقعی دارد (با کثرت جبری شمارش می شود ). بنابراین v + p = n = کم نور ( V ) .

قانون سکون سیلوستر: استقلال انتخاب مبنا و وجود مبانی متعادل [ ویرایش ]

مطابق قانون سکون سیلوستر ، امضای محصول اسکالر (یا همان شکل دو خطی متقارن واقعی) ، g به انتخاب اساس بستگی ندارد. علاوه بر این ، برای هر متریک g امضا ( v ، p ، r ) مبنایی وجود دارد که g ab = +1 برای a = b = 1 ، ... ، v ، g ab = -1 برای a = b = v + 1 ، ... ، v + p و g abدر غیر این صورت 0 نتیجه می شود که یک ایزومتری ( V 1 ، g 1 ) → ( V 2 ، g 2 ) وجود دارد در صورتی که فقط اگر امضای g 1 و g 2 برابر باشد. به همین ترتیب امضا برای دو ماتریس همخوان برابر است و یک ماتریس را تا همخوانی طبقه بندی می کند. بدین ترتیب در امضای ثابت در مدار است گروه کلی خطی GL ( V ) در فضای رتبه متقارن 2 دارای contravariant تانسورها S 2 V * و طبقه بندی هر مدار.

تفسیر هندسی شاخص ها [ ویرایش ]

عدد v (resp. p ) حداکثر بعد یک فضای خلفی است که محصول اسکالر g بر آن مثبت است (نسبت منفی-قطعی) و r بعد رادیکال محصول اسکالر g یا null است فضا از ماتریس متقارن گرم AB از حاصلضرب عددی . بنابراین یک محصول اسکالر نوپا دارای امضا ( v ، p ، 0) با v + p = n است . دوگانگی موارد خاص ( v ،p ، 0) مربوط به دو مقادیر ویژه مقیاسی است که می تواند با آینه سازی متقابل به یکدیگر تبدیل شود.

مثالها [ ویرایش ]

ماتریس ها [ ویرایش ]

امضای نفر  ×  N ماتریس همانی است ( N ، 0، 0) . امضای ماتریس مورب تعداد اعداد مثبت ، منفی و صفر بر روی مورب اصلی آن است .

ماتریس های زیر هر دو امضای یکسانی دارند (1 ، 1 ، 0) ، بنابراین به دلیل قانون اینرسی سیلوستر با هم سازگار هستند :

\ start {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix} ، \ quad \ start {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}.

محصولات اسکالر [ ویرایش ]

محصول اسکالر استاندارد تعریف شده در\ mathbb {R} ^ {n}دارای امضای n- بعدی ( v ، p ، r ) است ، جایی که v + p = n و رتبه r = 0 .

در فیزیک ، فضای مینکوفسکی یک منیفولد زمان-زمان است\ R ^ 4با v = 1 و p = 3 باز ، و دارای یک محصول اسکالر است که توسط هر دو تعریف شده است{\ displaystyle {\ check {g}}} ماتریس:

{\ displaystyle {\ check {g}} = {\ start {pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}

که دارای امضا است {\ displaystyle (1،3،0) ^ {-}}و به عنوان برتری فضا یا فضا مانند شناخته می شود. یا امضای آینه{\ displaystyle (1،3،0) ^ {+}}، معروف به برتری مجازی یا مانند زمان با \ کلاه g ماتریس

{\ displaystyle {\ hat {g}} = {\ start {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \ end {pmatrix}} = - {\ بررسی {g}}}

نحوه محاسبه امضا [ ویرایش ]

برخی روشها برای محاسبه امضای ماتریس وجود دارد.

  • برای هر گونه nondegenerate متقارن از N  ×  N ماتریس، diagonalize آن (و یا پیدا کردن همه از مقادیر ویژه از آن) و تعداد نشانه های مثبت و منفی است.
  • برای یک ماتریس متقارن ، چند جمله ای مشخصه دارای تمام ریشه های واقعی است که علائم آنها در برخی موارد ممکن است به طور کامل توسط قانون نشانه های دکارت تعیین شود .
  • الگوریتم لاگرانژ راهی برای محاسبه مبنای متعامد ، و در نتیجه محاسبه ماتریس مورب متقارن (بنابراین با همان امضا) به دیگری می دهد: امضای ماتریس مورب تعداد عناصر مثبت ، منفی و صفر در مورب آن است .
  • مطابق معیار ژاکوبی ، ماتریس متقارن مثبت و مشخص است اگر و فقط در صورت مثبت بودن تمام عوامل تعیین کننده خردسالان اصلی آن باشد.

امضا در فیزیک [ ویرایش ]

در ریاضیات ، عرف معمول برای هر منیفولد ریمانی استفاده از یک سنسور متریک مثبت و مشخص است (به این معنی که پس از مورب سازی ، عناصر روی مورب همه مثبت هستند).

در فیزیک نظری ، زمان-زمان توسط یک منیفولد شبه-ریمانی مدل سازی می شود . امضا تعداد معنوی شخصیت ها را در زمان-زمان یا فضا مانند می داند ، به تعبیری که توسط نسبیت خاص تعریف شده است : همانطور که در فیزیک ذرات استفاده می شود ، متریک دارای یک مقدار ویژه در زیر فضایی مانند زمان است و ارزش ویژه آینه آن در فضای فرعی مانند فضا. در مورد خاص معیار مینکوفسکی ،

ds ^ 2 = c ^ 2 dt ^ 2 - dx ^ 2 - dy ^ 2 - dz ^ 2  ،

امضای متریک است {\ displaystyle (1،3،0) ^ {+}} یا (+ ، - ، - ، -) اگر مقدار ویژه آن در جهت زمان تعریف شده باشد ، یا {\ displaystyle (1،3،0) ^ {-}}یا (- ، + ، + ، +) اگر مقدار ویژه در سه جهت فضایی x ، y و z تعریف شده باشد. (گاهی اوقات در مقابل نشانه کنوانسیون استفاده شده است، اما با یک داده شده در اینجا مشاهده مستقیم اندازه گیری زمان مناسب .)

تغییر امضا [ ویرایش ]

اگر یک معیار در همه جا منظم باشد ، امضای معیار ثابت است. با این حال اگر کسی اجازه اندازه گیری متلاشی شده یا متناوب در برخی از ابر سطوح را بدهد ، ممکن است امضای متریک در این سطوح تغییر کند. [3] این معیارهای تغییر امضا احتمالاً در کیهان شناسی و گرانش کوانتومی کاربرد دارند .

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید