ادامه نظریه هاج

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه دوم شهریور ۱۳۹۹ | 1:0

نظریه هاج برای منیفولدهای واقعی [ ویرایش ]

جامعه شناسی د رام [ ویرایش ]

نظریه هاج از مجموعه د رام اشاره دارد . اجازه دهید M یک منیفولد صاف . برای یک عدد طبیعی k ، بگذارید Ω k ( M ) فضای بردار واقعی اشکال دیفرانسیل صاف از درجه k در M باشد. مجموعه de Rham دنباله عملگرهای دیفرانسیل است

$\ displaystyle 0 \ to \ Omega ^ {0} (M) \ xrightarrow d_ {0}} \ امگا ^ {1} (M) \ xrightarrow d_ {1}} \ cdots \ xrightarrow {d_ {n-1 }} \ امگا ^ {n} (M) \ xrightarrow {d_ {n}} 0 ،$

که در آن د ک نشان دهنده مشتق بیرونی در Ω K ( M ). این یک مجموعه کوهی است به این معنا که d k +1 ∘ d k = 0 (همچنین نوشته شده d 2 = 0 ). قضیه De Rham می گوید که زیست شناسی مفرد M با ضرایب واقعی توسط مجموعه De Rham محاسبه می شود:

$\ displaystyle H ^ {k} (M، \ mathbf {R}) \ civ {\ frac {\ ker d_ {k}} {\ operatorname {im} d_ {k-1}}}.$

اپراتورها در تئوری هاج [ ویرایش ]

یک متریک ریمانی انتخاب گرم در M و به یاد آورید که:

$\ displaystyle \ Omega ^ {k} (M) = \ گاما \ سمت چپ (\ bigwedge \ nolimits ^ {k} T ^ {*} (M) \ Right).$

متریک محصول داخلی را بر روی هر فیبر تولید می کند $\ displaystyle \ bigwedge \ nolimits ^ {k} (T_ {p} ^ {*} (M))$ با گسترش (به ماتریس گرمیان ) محصول داخلی ناشی از g از هر فیبر $\ displaystyle T_ {p} ^ {*} (M)$ به آن $k ^ {{th}}$ محصول خارجی : $\ displaystyle \ bigwedge \ nolimits ^ {k} (T_ {p} ^ {*} (M))$ . $\ امگا ^ {k} (م)$ سپس محصول داخلی به عنوان انتگرال محصول داخلی نقطه ای از یک جفت معین از k -form از M با توجه به فرم حجم تعریف می شود $\ سیگما$ مرتبط با g . به صراحت ، با توجه به برخی $\ displaystyle \ omega ، \ tau \ in \ Omega ^ {k} (M)$ ما داریم

$\ displaystyle \ langle \ omega، \ tau \ rangle \ mapsto \ int _ {M} \ langle \ omega (p)، \ tau (p) \ rangle _ {p} \ sigma.$

به طور طبیعی محصول داخلی فوق القاء می کند ، هنگامی که این استاندارد در برخی از k -form های محدود محدود باشد :

$\ displaystyle \ langle \ امگا ، \ امگا \ rangle = \ | \ امگا \ | ^ {2} <in infty ،$

پس از آن انتگرال واقعی ارزش، انتگرال مربع است M ، در یک نقطه داده از طریق هنجارهای نقطه عاقلانه آن ارزیابی،

${\ displaystyle \ | \ omega (p) \ | _ {p}: M \ to \ mathbf {R} \ در L ^ {2} (M).$

در نظر بگیرید اپراتور الحاقی از د با توجه به این محصولات داخلی:

$\ displaystyle \ delta: \ Omega ^ {k + 1} (M) \ to \ Omega ^ {k} (M).$

سپس Laplacian روی فرم ها توسط تعریف می شود

$\ displaystyle \ Delta = d \ delta + \ delta d.$

این یک اپراتور دیفرانسیل خطی مرتبه دوم است ، Laplacian را برای توابع R n تعمیم می دهد . با این تعریف، یک فرم در M است هارمونیک اگر لاپلاس آن صفر است:

$\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ Delta} ^ {k} (M) = \ {\ alpha \ in \ Omega ^ {k} (M) \ وسط \ Delta \ alpha = 0 \}.$

لاپلاسیان برای اولین بار در فیزیک ریاضی ظاهر شد . به طور خاص ، معادلات ماکسول می گویند که پتانسیل الکترومغناطیسی در خلاء یک فرم A است که مشتق خارجی dA = F است ، 2-شکل که نمایانگر میدان الکترومغناطیسی است به گونه ای که Δ A = 0 در زمان فضایی ، به عنوان فضای مینکوفسکی ابعاد مشاهده می شود. 4

هر فرم هارمونیک α در بسته ریمانی است بسته به این معنی که dα = 0 . در نتیجه ، یک نقشه برداری متعارف انجام می شود\ $\ displaystyle \ varphi: {\ mathcal {H}} _ {\ Delta} ^ {k} (M) \ to H ^ {k} (M، \ mathbf {R})}$ . قضیه هاج چنین می گوید $\ واریفی$ ایزومورفیسم فضاهای برداری است. [4] به عبارت دیگر ، هر کلاس زندگی مشترک در M دارای یک نماینده هارمونیک منحصر به فرد است. بطور مشخص ، نماینده هارمونیک شکل بسته ای منحصر به فرد از حداقل هنجار L 2 است که نشان دهنده یک کلاس زندگی مشترک است. قضیه هاج با استفاده از تئوری معادلات دیفرانسیل جزئی بیضوی ، با استدلال های اولیه هاج به اثبات رسیده توسط Kodaira و دیگران در دهه 1940 اثبات شد .

به عنوان مثال ، قضیه هاج حاکی از آن است که گروه های زیست شناسی با ضرایب واقعی یک منیفولد بسته ، بصورت محدود و محدود هستند . (مسلماً ، روش های دیگری نیز برای اثبات این امر وجود دارد.) در واقع ، اپراتورها Δ بیضوی هستند و هسته یک اپراتور بیضوی روی یک منیفولد بسته همیشه یک فضای بردار متناسب است. نتیجه دیگر قضیه هاج این است که یک متریک ریمانیایی روی مانیفولد M بسته شده ، محصولی درونی با ارزش واقعی را در گروه شناسی انتگرال پیچش M مدولو تعیین می کند . این زیر، برای مثال، که تصویر از گروه همسان از M در عمومی گروه خطی GL ( H ∗ ( M ، Z ) محدود است (زیرا گروه ایزومترهای یک شبکه محدود است).

یک نوع از قضیه هاج ، تجزیه هوج است . این می گوید که یک شکل منحصر به فرد از هر شکل دیفرانسیل ω بر روی منیفولد بسته ریمانی به عنوان مجموع سه قسمت در فرم وجود دارد.

$\ displaystyle \ omega = d \ alpha + \ delta \ beta + \ gamma،$

که در آن γ هارمونیک است: دلتا γ = 0 . [5] از نظر متریک L 2 در اشکال دیفرانسیل ، این یک تجزیه مستقیم مستقیم متعامد است :

$\ displaystyle \ Omega ^ {k} (M) \ kong \ operatorname {im} d_ {k-1} \ oplus \ operatorname {im} \ delta _ {k + 1} \ oplus {\ mathcal {H}} _ \ دلتا} ^ {k} (م).$

نظریه هاج از مجتمع های بیضوی [ ویرایش ]

عطیه و ها Bott تعریف مجتمع بیضوی به عنوان یک کلیت از د Rham پیچیده است. قضیه هاج به شرح زیر است. اجازه دهید ${\ displaystyle E_ {0} ، E_ {1} ، \ ldots ، E_ {N}}$ شود بسته نرم افزاری بردار ، مجهز به متریک، در چند برابر صاف بسته M با یک فرم حجم DV . فرض کنید که

${\ displaystyle L_ {i}: \ گاما (E_ {i}) \ به \ گاما (E_ {i + 1})}$

خطی هستند اپراتورهای دیفرانسیل اقدام در C ∞ بخش از این بسته نرم افزاری بردار، و این که دنباله ناشی از

$\ displaystyle 0 \ to \ Gamma (E_ {0}) \ to \ Gamma (E_ {1}) \ to \ cdots \ to \ Gamma (E_ {N}) \ to 0$

یک مجموعه بیضوی است. مبلغ مستقیم را معرفی کنید:

$\ displaystyle {\ fill {تراز شده} {\ mathcal {E}} ^ {\ bullet} & = \ bigoplus \ nolimits _ {i} \ گاما (E_ {i}) \\ L & = \ bigoplus \ nolimits _ {i L_ {i}: {\ mathcal {E}} ^ {\ bullet} \ to {\ mathcal E}} ^ {\ bullet} \ end {تراز شده}}}$

و اجازه دهید L * شود الحاقی از L . عملگر بیضوی Δ = LL ∗ + L ∗ L را تعریف کنید . مانند مورد د رام ، این فضای بردار بخشهای هارمونیک را به دست می آورد

$\ mathcal H = \ {e \ in \ mathcal E ^ \ bullet \ mid \ Delta e = 0 \.$

اجازه دهید $\ displaystyle H: {\ mathcal {E}} ^ {\ bullet} \ to {\ mathcal {H}}}$ شود طرح متعامد، و اجازه دهید G شود اپراتور سبز برای Δ. قضیه هاج سپس ادعا میکند به شرح زیر است: [6]

H و G به خوبی تعریف شده اند.
Id = H + Δ G = H + G Δ
LG = GL ، L * G = GL *
جامعه شناسی این مجموعه بطور عادی از نظر فواصل مقطع هارمونیک ، به طور همسان است. $ح (E_j) \ civ \ mathcal H (E_j)$ به این معنا که هر کلاس زندگی مشترک دارای یک نماینده هارمونیک منحصر به فرد است.

همچنین در این شرایط تجزیه هوج نیز وجود دارد که عبارت فوق را برای مجموعه د رام تعمیم داده است.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Hodge_theory

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی