طرح جاذبه لورنز برای مقادیر r = 28 ، σ = 10 ، b = 8/3
انیمیشن آونگ دو میله با انرژی متوسط که رفتار پر هرج و مرج را نشان می دهد. شروع آونگ از یک شرایط اولیه کمی متفاوت باعث مسیر بسیار متفاوت خواهد شد. آونگ دو میله یکی از ساده ترین سیستم های دینامیکی با محلول های هرج و مرج است.
نظریه آشوب شاخه ای از ریاضیات است که بر مطالعه حالت های هرج و مرج سیستم های دینامیکی تمرکز دارد که حالت ظاهراً تصادفی از اختلال و بی نظمی ها اغلب توسط قوانین قطعی کنترل می شود که نسبت به شرایط اولیه بسیار حساس هستند . [1] [2] نظریه آشوب یک نظریه بین رشته ای است که می گوید ، در تصادف ظاهری سیستم های پیچیده هرج و مرج ، الگوهای اساسی ، بهم پیوسته ، حلقه های بازخورد ثابت ، تکرار ، خود-شباهت ، فراکتال ها و خود سازماندهی وجود دارد . [3] اثر پروانه، یک اصل اساسی از هرج و مرج ، شرح می دهد که چگونه یک تغییر کوچک در یک حالت از یک سیستم غیر قطعی قطعی می تواند منجر به اختلافات بزرگ در حالت بعدی شود (به این معنی که وابستگی حساس به شرایط اولیه وجود دارد). [4] استعاره برای این رفتار این است که پروانه ای که بالهای خود را در چین می پیچد می تواند طوفانی را در تگزاس ایجاد کند. [5]
اختلافات كوچك در شرايط اوليه ، مانند موارد ناشي از خطاها در اندازه گيري ها و يا به دليل خطاي گرد در محاسبات عددي ، مي تواند نتيجه هاي واگراي گسترده اي براي چنين سيستم هاي ديناميكي به بار آورد ، و پيش بيني بلند مدت از رفتار آنها بطور كلي غيرممكن است. [6] این می تواند رخ دهد حتی اگر این سیستم ها قطعی باشند ، به این معنی که رفتار آینده آنها تحول بی نظیری را دنبال می کند [7] و کاملاً با شرایط اولیه آنها تعیین می شود ، بدون اینکه عناصر تصادفی در آن دخیل باشد. [8] به عبارت دیگر ، ماهیت قطعی این سیستم ها ، آنها را قابل پیش بینی نمی کند. [9] [10] این رفتار به عنوان آشوب قطعی یا به سادگی شناخته می شودهرج و مرج . این نظریه توسط ادوارد لورنز به صورت خلاصه خلاصه شد : [11]
هرج و مرج: وقتی حال آینده را تعیین می کند ، اما حال تقریبی آینده را تقریبا مشخص نمی کند.
رفتار پر هرج و مرج در بسیاری از سیستم های طبیعی ، از جمله جریان سیال ، بی نظمی ضربان قلب ، آب و هوا و آب و هوا وجود دارد . [12] [13] [7] همچنین در بعضی از سیستم ها با اجزای مصنوعی ، مانند بورس سهام و ترافیک جاده ، به صورت خودجوش اتفاق می افتد . [14] [3] این رفتار را می توان از طریق تجزیه و تحلیل یک مدل ریاضی آشفته ، یا از طریق تکنیک های تحلیلی مانند توطئه های عود و نقشه های Poincaré مورد مطالعه قرار داد . نظریه آشوب کاربردهایی در رشته های مختلفی دارد ، از جمله هواشناسی ، [7] انسان شناسی ، [15] جامعه شناسی ، فیزیک ، [16] علوم محیط زیست ، علوم کامپیوتر ، مهندسی ، اقتصاد ، زیست شناسی ، اکولوژی ، مدیریت بحران همه گیر ، [17] [18] و فلسفه . این تئوری پایه و اساس زمینه های مطالعه مانند سیستم های پیچیده دینامیکی ، لبه تئوری آشوب و فرآیندهای خود مونتاژ را تشکیل می دهد.
فهرست
- 1مقدمه
- 2پویایی هرج و مرج
- 3سفارش خود به خود
- 4تاریخ
- 5برنامه های کاربردی
- 6همچنین ببینید
- 7منابع
- 8خواندن بیشتر
- 9لینک های خارجی
مقدمه [ ویرایش ]
نظریه آشوب مربوط به سیستم های قطعی است که رفتار آنها در اصل قابل پیش بینی است. سیستم های هرج و مرج برای مدتی قابل پیش بینی هستند و سپس "به نظر می رسد" به صورت تصادفی در می آیند. میزان زمانی که می توان رفتار یک سیستم هرج و مرج را به طور موثر پیش بینی کرد بستگی به سه چیز دارد: میزان عدم اطمینان در پیش بینی چقدر قابل تحمل است ، چگونه می توان وضعیت فعلی آن را با دقت اندازه گیری کرد و مقیاس زمانی بستگی به پویایی سیستم دارد. ، به نام زمان لیاپانوف . برخی از نمونه های زمان لیاپونوف عبارتند از: مدارهای الکتریکی هرج و مرج ، حدود 1 میلی ثانیه. سیستم های هواشناسی ، چند روز (تایید نشده)؛ منظومه شمسی داخلی ، 4 تا 5 میلیون سال است. [19] در سیستم های هرج و مرج ، عدم اطمینان در یک پیش بینی بصورت نمایی افزایش می یابدبا گذشت زمان از این رو ، از نظر ریاضی ، دو برابر شدن زمان پیش بینی بیشتر از مربعات عدم قطعیت متناسب در پیش بینی. این بدان معنی است که ، در عمل ، پیش بینی معنادار نمی تواند بیش از دو یا سه برابر زمان لیاپونف انجام شود. هنگامی که پیش بینی های معنی دار نمی توان انجام داد ، سیستم تصادفی به نظر می رسد. [20]
دینامیک هرج و مرج [ ویرایش ]
نقشه تعریف شده توسط x → 4 x (1 - x ) و y → ( x + y) mod 1 حساسیت را در موقعیت های x اولیه نشان می دهد. در اینجا ، دو سری از مقادیر x و y به طور قابل توجهی با اختلاف زمان تفاوت زیادی دارند.
در کاربردهای رایج ، "هرج و مرج" به معنای "وضعیت بی نظمی" است. [21] [22] اما ، در نظریه آشوب ، این اصطلاح دقیق تر تعریف شده است. اگرچه هیچ تعریف ریاضی پذیرفته ای از هرج و مرج وجود ندارد ، یک تعریف متداول که ابتدا توسط رابرت ال دیوانی فرموله شده است ، می گوید که برای طبقه بندی یک سیستم پویا به عنوان هرج و مرج ، باید این ویژگی ها را داشته باشد: [23]
- باید نسبت به شرایط اولیه حساس باشد ،
- باید از نظر توپولوژیکی گذرا باشد ،
- باید مدارهای دوره ای متراکم داشته باشد .
در بعضی موارد ، دو ویژگی آخر در واقع نشانگر حساسیت به شرایط اولیه است. [24] [25] در مورد زمان گسسته ، این برای همه نقشه های مداوم در فضاهای متریک صادق است. [26] در این موارد ، در حالی که اغلب عملی ترین خاصیت است ، "حساسیت به شرایط اولیه" در تعریف لازم نیست.
اگر توجه به فواصل محدود شود ، ویژگی دوم دلالت بر دو مورد دیگر دارد. [27] یک جایگزین و تعریف معمولاً ضعیف از هرج و مرج فقط از دو ویژگی اول در لیست بالا استفاده می کند. [28]
هرج و مرج به عنوان یک شکست خود به خود از تقارن توپولوژیکی [ ویرایش ]
مقاله اصلی: نظریه فوق متقارن پویایی تصادفی
در سیستم های دینامیکی مداوم زمان ، هرج و مرج پدیده تجزیه خود به خودی از ابرقارنای توپولوژیکی است که یک ویژگی ذاتی اپراتورهای تکامل همه معادلات دیفرانسیل تصادفی و قطعی (جزئی) است. [29] [30] این تصویر از هرج و مرج پویا نه تنها برای مدل های جبرگرایی بلکه برای مدل هایی با سر و صدای خارجی کار می کند که یک تعمیم مهم از دیدگاه فیزیکی است ، زیرا در واقعیت ، همه سیستم های دینامیکی از محیط های تصادفی خود تأثیر می گذارند. . در این تصویر ، رفتار دینامیکی دوربرد مرتبط با دینامیک هرج و مرج (به عنوان مثال ، اثر پروانه ) نتیجه نظریه گلدستون استدر برنامه شکستن تقارن سنجی موضعی خودبخودی استفاده کنید.
حساسیت به شرایط اولیه [ ویرایش ]
مقاله اصلی: اثر پروانه
معادلات لورنز برای تولید توطئه برای متغیر y استفاده می شود. شرایط اولیه برای X و Z همان نگاه داشته شد اما کسانی که برای Y بین تغییر شد 1.001 ، 1.0001 و 1.00001 . مقادیر برای
حساسیت به شرایط اولیه بدین معنی است که هر نقطه از یک سیستم پر هرج و مرج به طور دلخواه با سایر نقاط نزدیک می شود ، با مسیرها یا مسیرهای آینده به طور قابل توجهی متفاوت است. بنابراین ، یک تغییر یا اختلال دلخواه از مسیر فعلی ممکن است منجر به رفتارهای متفاوتی در آینده شود. [3]
حساسیت نسبت به شرایط اولیه از محبوبیت زیادی به عنوان " اثر پروانه ای " برخوردار است ، به اصطلاح به دلیل عنوان مقاله ای که توسط ادوارد لورنز در سال 1972 به انجمن آمریکایی پیشرفت علم در واشنگتن دی سی داده شد ، با عنوان پیش بینی: فلپ. از بال های پروانه ای در برزیل یک گردباد در تگزاس را راه اندازی کرد؟ . [31] بال فلپ نشان دهنده تغییر کوچکی در وضعیت اولیه سیستم است ، که باعث ایجاد زنجیره ای از وقایع می شود که از پیش بینی پدیده های در مقیاس بزرگ جلوگیری می کند. اگر پروانه بالهای خود را نپوشاند ، مسیر سیستم کلی می توانست بسیار متفاوت باشد.
نتیجه حساسیت به شرایط اولیه این است که اگر با مقدار محدودی از اطلاعات در مورد سیستم شروع کنیم (همانطور که معمولاً در عمل اتفاق می افتد) ، پس از آن زمان بیش از یک زمان مشخص ، دیگر سیستم قابل پیش بینی نخواهد بود. این بیشتر در مورد آب و هوا است که به طور کلی فقط حدود یک هفته پیش بینی می شود. [32] این بدان معنا نیست که نمی توان چیزی را در مورد وقایع بسیار دور در آینده اثبات کرد - فقط محدودیت هایی در سیستم وجود دارد. به عنوان مثال ، ما با آب و هوا می دانیم که دمای هوا به طور طبیعی به 100 درجه سانتیگراد نمی رسد یا تا 130 درجه سانتیگراد در زمین (در دوره زمین شناسی کنونی ) سقوط نخواهد کرد ، اما این بدان معنی نیست که ما می توانیم دقیقاً پیش بینی کنیم کدام روز خواهد بود گرم ترین دما سال
از نظر ریاضی تر ، نماینده لیاپانوف حساسیت به شرایط اولیه را به شکل میزان واگرایی نمایی از شرایط اولیه آشفته اندازه گیری می کند. [33] به طور خاص ، با توجه به دو مسیر شروع در فضای فاز که بی نهایت از هم نزدیک هستند ، با جدایی اولیه
جایی که
علاوه بر خاصیت فوق ، سایر خواص مربوط به حساسیت شرایط اولیه نیز وجود دارد. اینها ، به عنوان مثال ، اختلاط نظری اندازه گیری (همانطور که در تئوری ارگدیک مورد بحث قرار گرفته است) و خصوصیات یک سیستم K است . [10]
منبع
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.