منحنی جبری

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه بیست و سوم مرداد ۱۳۹۹ | 7:44

فضای منحنی های پروژکتور [ ویرایش ]

غالباً مطلوب است که منحنی ها را در فضای پروژکتور در نظر بگیریم . منحنی جبری در صفحه یا فضای منحنی های پروژکتور مجموعه ای از نقاط در یک صفحه پروژکتور است که مختصات پروژکتور صفر یک چندجمله همگن در سه متغیر( P ( x ، y ، z است.

هر منحنی جبری وابسته به معادله p ( x ، y ) = 0 ممکن است به منحنی پیش بینی معادله تکمیل شود $^ اسب بخار (x ، y ، z) = 0 ،$ جایی که

$^ hp (x، y، z) = z ^ {\ deg (p)} p (\ tfrac {x} {z} ، \ tfrac {y} {z})$

نتیجه است همگن از ص . برعکس ، اگر P ( x ، y ، z ) = 0 معادله همگن یک منحنی پروژکتور باشد ، P ( x ، y ، 1) = 0 معادله یک منحنی affine است که از نقاط منحنی پروژکتور تشکیل شده است. سومین مختصات پیش بینی شده صفر نیست. این دو عملیات مانند یک دیگر ، متقابل هستند $^ hp (x، y، 1) = p (x، y)$ و اگر p توسط تعریف شده باشد $p (x، y) = P (x، y، 1)$ ، سپس $^ hp (x، y، z) = P (x، y، z)،$ ، به محض اینکه چند جملهای همگن P توسط z قابل تقسیم نیست .

به عنوان مثال ، منحنی پروژکتور معادله x 2 + y 2 - z 2 تکمیل تخمینی دایره واحد معادله x 2 + y 2 - 1 = 0 است.

این بدان معناست که یک منحنی میل و تکمیل پروژکتور آن همان منحنی ها هستند ، یا به طور دقیق تر ، منحنی عود بخشی از منحنی پروژکتور است که به اندازه کافی بزرگ است تا بتواند منحنی "کامل" را به خوبی تعریف کند. این نقطه نظر معمولاً با فراخوانی "نقاط در بینهایت" از منحنی عاطفه نقاط (به تعداد محدود) از اتمام پروژکتور که متعلق به قسمت وابسته نیست ، بیان می شود.

منحنی های پروژه ای اغلب برای خودشان مورد مطالعه قرار می گیرند. آنها همچنین برای مطالعه منحنی های میل مفید هستند. به عنوان مثال ، اگر p ( x ، y ) چند جملهای است که منحنی میل را تعریف می کند ، در کنار مشتقات جزئی $p'_x$ و $p'_y$ ، در نظر گرفتن مشتق در بینهایت مفید است

$p '_ \ infty (x، y) = {^ hp'_z (x، y، 1).$

به عنوان مثال ، معادله مماس منحنی آفیین معادله p ( x ، y ) = 0 در یک نقطه ( a ، b ) است

$xp'_x (a، b) + yp'_y (a، b) + p '_ \ infty (a، b) = 0.$

فضا ینقاط قابل توجه منحنی [ ویرایش ]

همچنین ببینید: منحنی فضا

در این بخش ، یک منحنی جبری هواپیما را که توسط یک چند جملهای دو متغیره p ( x ، y ) و تکمیل پروژکتور آن تعریف شده است ، در نظر می گیریم. $P (x ، y ، z) = {} ^ اسب بخار (x ، y ، z)$ ازP .

تقاطع با یک خط [ ویرایش ]

دانستن نقاط تقاطع یک منحنی با یک خط مشخص ، غالباً مفید است. تقاطع با محور مختصات و مجانب برای ترسیم منحنی مفید است. تقاطع با یک خط به موازات محورها اجازه می دهد تا حداقل در هر شاخه از منحنی نقطه ای پیدا شود. اگر یک الگوریتم کارآمد برای یافتن ریشه موجود باشد ، این امکان را فراهم می آورد که با ترسیم نقطه تقاطع با تمام خطوط موازی با y -axis و عبور از هر پیکسل روی x -axis ، منحنی را ترسیم کنید .

اگر چند جمله ای که منحنی را تعیین می کند دارای درجه d باشد ، هر خط منحنی را در اکثر نقاط D کاهش می دهد. قضیه بزو است ادعا میکند که این تعداد دقیقا د ، اگر نقاط در هواپیما تصویری بیش از یک جستجو جبری بسته درست (به عنوان مثال اعداد مختلط )، و شمارش با خود تعدد . روش محاسبه ای که در زیر می آید ، این قضیه را دوباره اثبات می کند ، در این مورد ساده.

برای محاسبه تقاطع منحنی چند جمله ای تعریف شده توسط P با خط معادله تبر + توسط + C = 0، یکی را حل معادله خط برای ایکس (یا برای Y اگر = 0). با جایگزین کردن نتیجه در p ، یک معادله یک متغیره q ( y ) = 0 (یا q ( x ) = 0) حاصل می شود ، اگر معادله خط در y حل شده باشد) ، که هر یک از ریشه های آنها یکی از مختصات یک نقطه تقاطع است. مختصات دیگر از معادله خط استنباط می شود. تعدد یک نقطه تقاطع ، تعدد ریشه مربوطه است. اگر درجه q پایین تر از درجه p باشد ، نقطه تقاطع در بی نهایت وجود دارد . تعدد چنین نقطه تقاطع در بینهایت تفاوت درجه های p و q است .

مماس در یک نقطه [ ویرایش ]

مماس در نقطه ( a ، b ) منحنی خط معادله است $(xa) p'_x (a، b) + (yb) p'_y (a، b) = 0$ مانند هر منحنی متفاوت که توسط یک معادله ضمنی تعریف شده است. در مورد چند جمله ها ، فرمول دیگری برای مماس دارای اصطلاح ثابت ساده تر و متقارن تر است:

$xp'_x (a، b) + yp'_y (a، b) + p '_ \ infty (a، b) = 0،$

جایی که $p '_ \ infty (x، y) = P'_z (x، y، 1)$ مشتق بی نهایت است. هم ارزی بودن دو معادله از قضیه عملکرد همگن اویلر اعمال شده در P حاصل می شود .

اگر ، $p'_x (a، b) = p'_y (a، b) = 0،$ مماس تعریف نشده است و نکته یک نقطه مفرد است .

این بلافاصله در مورد پروژکتور گسترش می یابد: معادله مماس نقطه در نقطه ی مختصات پیش بینی شده ( a : b : c ) از منحنی پیش بینی کننده معادله P ( x ، y ، z ) = 0 است.

$xP'_x (a، b، c) + yP'_y (a، b، c) + zP'_z (a، b، c) = 0،$

و نقاط منحنی های مفرد نقاطی هستند به گونه ای که

$P'_x (a، b، c) = P'_y (a، b، c) = P'_z (a، b، c) = 0.$

(شرط P ( a ، b ، c ) = 0 با این شرایط ضمنی است ، با قضیه عملکرد همگن اویلر.)

مجانب [ ویرایش ]

هر شاخه نامتناهی از یک منحنی جبری مطابق با نقطه ای در بینهایت روی منحنی است ، آن نقطه ای از اتمام طرح ریزی منحنی است که به قسمت وابسته آن تعلق ندارد. مجسمه مربوطه مماس منحنی در آن نقطه است. فرمول کلی برای یک مماس به یک منحنی پیش بینی ممکن است اعمال شود ، اما ارزش آن را دارد که در این مورد صریح باشد.

اجازه دهید $p = p_d + \ cdots + p_0$ تجزیه چند جملهای است که منحنی را در قسمتهای همگن آن تعریف می کند ، جایی که p i مجموع اسمی از p از درجه i است . نتیجه می شود که

$P = {^ hp} = p_d + zp_ {d-1} + \ cdots + z ^ dp_0$

$P'_z (a، b، 0) = p_ {d-1} (a، b).$

نقطه ای در نامحدودی منحنی ، صفر از p فرم است ( a ، b ، 0). معادل ، ( a ، b ) صفر از p d است . قضیه اساسی جبر نشان می دهد که، بیش از یک میدان بسته جبری (معمولا، رشته ای از اعداد مختلط)، ص د عوامل را به یک محصول از عوامل خطی. هر یک از عوامل یک نقطه در بی نهایت بر روی منحنی تعریف می کند: اگر BX - AY عامل چنین است، سپس آن را نقطه در بی نهایت (تعریف ، ب ، 0). بیش از واقعیت ها ، ص دعوامل موثر در عوامل خطی و درجه دوم. غیر قابل تقلیل عوامل درجه دوم نقاط غیر واقعی تعریف در بی نهایت، و نقاط واقعی توسط عوامل خطی داده شده است. اگر ( a ، b ، 0) نقطه ای در بی نهایت منحنی باشد ، فرد می گوید: ( a ، b ) جهت مجانبی است . معادله عدم تقارن مربوطه q = p d را تنظیم می کند

$xq'_x (a، b) + yq'_y (a، b) + p_ {d-1} (a، b) = 0.$

اگر $q'_x (a، b) = q'_y (a، b) = 0$ و \ ، $p_ {d-1} (a، b) \ neq 0،$ asymptote خط در بینهایت است ، و در حالت واقعی ، منحنی دارای شاخه ای است که شبیه پارابولا است . در این حالت فرد می گوید منحنی دارای یک شاخه parabolic است . اگر

$q'_x (a، b) = q'_y (a، b) = p_ {d-1} (a، b) = 0،$

منحنی دارای نقطه منحصر به فرد در بینهایت است و ممکن است دارای چندین مجانب باشد. آنها ممکن است با روش محاسبه مخروط مماس از یک نقطه واحد محاسبه شوند.

امتیازهای مفرد [ ویرایش ]

نقاط تکین از یک منحنی درجه D تعریف شده توسط یک چند جمله ای ص ( X ، Y ) از درجه د راه حل سیستم معادلات عبارتند از:

$p'_x (x، y) = p'_y (x، y) = p (x، y) = 0.$

در صفر مشخصه ، این سیستم معادل است

$p'_x (x، y) = p'_y (x، y) = p '_ \ infty (x، y) = 0،$

جایی که ، با ذکر بخش قبلی ، $p '_ \ infty (x، y) = P'_z (x، y، 1).$ سیستمها به دلیل قضیه عملکرد همگن اویل معادل هستند . سیستم دوم این مزیت را دارد که چند جملهای سوم خود از درجه d -1 به جای d داشته باشد.

به طور مشابه ، برای یک منحنی پروژکتور تعریف شده توسط چند جمله ای همگن P ( x ، y ، z ) درجه d ، نقاط مفرد راه حل های سیستم را دارند

${\ displaystyle P '_ {x} (x، y، z) = P' _ {y} (x، y، z) = P '_ {z} (x، y، z) = 0$

به عنوان مختصات همگن . (در ویژگی مثبت ، معادله $P (x ، y ، z)$ باید به سیستم اضافه شود.)

این بدان معنی است که تعداد نقاط مفرد محدود است تا زمانی که p ( x ، y ) یا P ( x ، y ، z ) به صورت مربع باشد. قضیه Bzzout بدین معناست که تعداد نقاط مفرد حداکثر ( d -1) 2 است ، اما این حد تیز نیست زیرا سیستم معادلات بیش از حد تعیین شده است . اگر چندجمله ای قابل تقلیل مجاز باشد ، نوک تیز d ( d -1) / 2 است ، این مقدار وقتی حاصل می شود که چند جمله ای در عوامل خطی باشد ، یعنی اگر منحنی اتحادیه d باشد.خطوط برای منحنی های غیرقابل برگشت و چند جمله ای ها ، تعداد نقاط مفرد حداکثر ( d -1) ( d- 2) / 2 است ، زیرا فرمول بیان کننده جنس از نظر تکین هاست (شکل زیر را ببینید). حداکثر توسط منحنیهای جنس صفر حاصل می شود که همه تکین های آن دارای تعدد دو و مماس مشخص هستند (در زیر مراجعه کنید).

بخشی معادله مماسها در یک نقطه مفرد توسط قسمت غیر هموژنی ناهمگن با کمترین درجه در سری تیلور چند جمله ای در نقطه مفرد ارائه شده است. وقتی کسی مختصات را تغییر می دهد تا نقطه مفرد را در مبدأ قرار دهد ، معادله مماس ها در نقطه مفرد بدین ترتیب است که بخش غیر هموژنی یکنواخت پایین ترین درجه چند جملهای است و تعدد نقطه مفرد درجه این همگن است.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_curve

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی