ادامه نظریه میدان کوانتومی توپولوژیکی

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیستم مرداد ۱۳۹۹ | 9:59

مدل های خاص [ ویرایش ]

تئوری های شناخته شده میدان توپولوژیک در دو کلاس کلی قرار می گیرند: TQFT های نوع شوارتز و TQFT های نوع ویتن. ویتن TQFT ها گاهی اوقات به عنوان نظریه های زمینه کوهشناسی نیز شناخته می شوند. ببینید ( شوارتز 2000 ).

TQFT های نوع شوارتز [ ویرایش ]

در TQFT های نوع شوارتز ، توابع همبستگی یا توابع پارتیشن سیستم توسط انتگرال مسیر عملکردهای عملکرد مستقل متریک محاسبه می شوند. به عنوان مثال ، در مدل BF ، فضا زمان یک مانیفولد دو بعدی M است ، مشاهدات از یک F شکل دو ، یک مقیاس B کمکی و مشتقات آنها ساخته می شوند. عمل (که انتگرال مسیر را تعیین می کند) است

$\ displaystyle S = \ int _ {M} BF$

متریک فضایی در هیچ کجای تئوری ظاهر نمی شود ، بنابراین این تئوری صریحاً از نظر topologically بی ثبات است. نمونه اول در سال 1977 ظاهر شد و مربوط به A. شوارتز است . عملکرد آن عملکرد زیر است:

$\ int _ {M} A \ wgege dA.$

نمونه مشهور دیگر نظریه چرن-سیمونز است که می تواند برای متغیرهای گره اعمال شود . به طور کلی ، توابع پارتیشن به یک متریک بستگی دارد اما مثالهای فوق مستقل از متریک هستند.

TQFT های نوع Witten [ ویرایش ]

اولین نمونه TQFT های از نوع Witten در سال 1988 در مقاله Witten ( Witten 1988a ) ظاهر شد ، یعنی نظریه توپولوژی Yang-Mills در چهار بعد. اگرچه عملکرد آن شامل متریک فضایی g αβ است ، اما پس از پیچش توپولوژیکی مستقل از متریک است. استقلال تانسور تنش انرژی T Tβ از سیستم از متریک بستگی به بسته بودن اپراتور BRST دارد. به دنبال مثال ویتن ، بسیاری از نمونه های دیگر را می توان در نظریه رشته یافت .

TQFT از نوع Witten در صورت رضایت از شرایط زیر ایجاد می شود:

عمل $س$ از TQFT تقارن دارد ، یعنی اگر $\ دلتا$ سپس یک تقارن تقارن را نشان می دهد (بعنوان مثال مشتقات دروغ ) $\ delta S = 0$ دارای.
دگرگونی تقارن دقیق است ، یعنی $\ delta ^ {2} = 0$
مشاهدات موجود وجود دارد $O_ {1} ، \ نقطه ، O_ {n$ که رضایت بخش $\ delta O_ {i} = 0$ برای همه $من \ در \ {1 ، \ نقطه ، n \$ .
تنشور-فشار-انرژی (یا مقادیر بدنی مشابه) از این شکل است $T ^ {{\ alpha \ beta}} = \ delta G ^ {{\ alpha \ beta}$ برای یک تنسور دلخواه $G ^ {{\ alpha \ beta}}$ .

به عنوان نمونه ( Linker 2015 ): با توجه به یک فیلد 2-شکل $ب$ با اپراتور دیفرانسیل $\ دلتا$ $\ delta ^ {2} = 0$ ، پس از آن عمل $S = \ int _ {M} B \ wedge \ delta B$ اگر تقارن دارد $\ delta B \ wedge \ delta B = 0$ از آنجا که

$\ delta S = \ int _ {M} \ delta (B \ wedge \ delta B) = \ int _ {M} \ delta B \ wedge \ delta B + \ int _ {M} B \ wedge \ delta ^ {2 B = 0$ .

علاوه بر این ، موارد زیر (تحت این شرط) برگزار می شود $\ دلتا$ مستقل است $ب$ و به طور مشابه با یک مشتق عملکردی عمل می کند ):

$\ displaystyle {\ frac {\ delta} {\ delta B ^ {\ alpha \ beta}}} S = \ int _ {M} {\ frac {\ delta} {\ delta B ^ {\ alpha \ beta} B \ wedge \ delta B + \ int _ {M} B \ wedge \ delta {\ frac {\ delta} {\ delta B ^ {\ alpha \ beta}}} B = \ int _ {M} {\ frac \ delta} {\ delta B ^ {\ alpha \ beta}}} B \ wedge \ delta B- \ int _ {M} \ delta B \ wedge {\ frac {\ delta} {\ delta B ^ {\ alpha \ beta}}} B = -2 \ int _ {M} \ delta B \ wedge {\ frac {\ delta} {\ delta B ^ {\ alpha \ beta}}} B$ .

بیان $\ frac {\ delta} {\ delta B ^ {{\ alpha \ beta}}}} S$ متناسب با $\ دلتا G$ با دو شکل دیگر $ج$ .

در حال حاضر هر نوع مشاهدات $\ displaystyle \ left \ langle O_ {i} \ Right \ rangle: = \ int d \ mu O_ {i} e ^ {iS}$ برای اندازه گیری هار مربوطه $\ مو$ در زمینه "هندسی" مستقل هستند $ب$ و بنابراین توپولوژیکی هستند:

$\ displaystyle {\ frac {\ delta} {\ delta B}} \ left \ langle O_ {i} \ Right \ rangle = \ int d \ mu O_ {i} i {\ frac {\ delta} {\ delta B }} Se ^ {iS} \ propto \ int d \ mu O_ {i} \ delta Ge ^ {iS} = \ delta \ left (\ int d \ mu O_ {i} Ge ^ {iS} \ Right) = 0 }$ .

برابری سوم از این واقعیت استفاده می کند $\ delta O_ {i} = \ delta S = 0$ و ثابت بودن اندازه گیری هار تحت تحولات تقارن. از آنجا که $\ int d \ mu O_ {i} Ge ^ {{iS}$ فقط یک عدد است ، مشتق آن دروغ محو می شود.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Topological_quantum_field_theory

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی