اصل کاوالیری

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و هفتم تیر ۱۳۹۹ | 20:28

دو پشته سکه های انگلیس با همان حجم ، که اصل کاوالیری را در سه بعد نشان می دهد

در هندسه ، اصل کاوالیری ، اجرای مدرن از روش indivisibles ، به نام Bonaventura Cavalieri ، به شرح زیر است: [1]

مورد 2 بعدی : فرض کنید دو منطقه در یک هواپیما بین دو خط موازی در آن هواپیما قرار دارد. اگر هر خط به موازات این دو خط ، هر دو منطقه را در بخش های با طول مساوی تقاطع کند ، دو منطقه دارای مساوی هستند.
مورد 3 بعدی : فرض کنید دو منطقه در سه فضا (جامدات) بین دو هواپیمای موازی قرار دارند. اگر هر هواپیما به موازات این دو هواپیما ، هر دو منطقه را در مقطع مساحت مساوی تقاطع کند ، دو منطقه دارای حجم برابر هستند.

امروزه اصل کاوالیری به عنوان گامی اولیه در جهت حسابگر انتگرال تلقی می شود ، و در حالی که از بعضی اشکال مانند تعمیم آن در قضیه فوبینی استفاده می شود ، نتایج با استفاده از اصل کاوالیری اغلب می تواند مستقیماً از طریق ادغام نشان داده شود. در جهت دیگر ، اصل کاوالیری از روش یونانی باستان فرسودگی خارج شد ، که از محدودیتهایی استفاده می کرد اما از infinitesimals استفاده نمی کرد .

فهرست

تاریخچه [ ویرایش ]

Bonaventura Cavalieri ، ریاضیدان این اصل نام دارد.

اصل کاوالیری در ابتدا به روش غیرقابل تقسیم نامگذاری می شد ، نامی که در اروپای رنسانس شناخته می شد . کاوالیری تئوری کاملی از غیرقابل توصیف را توسعه داد ، که در Geometria indivisibilibus continorum nova quadam ratione promota ( Geometry ، به روش جدیدی توسط indivisibles of the Continua ، 1635) و Exercitationes Geometae جنس خود توضیح داد ( شش تمرین هندسی ، 1647). [2] در حالی که کار کاوالیری این اصل را بنا نهاده بود ، در انتشارات خود او را تکذیب کرد که زنجیره ای از جزء به منظور اجتناب از پارادوکس های مرتبط و مشاجرات مذهبی ساخته شده است و او از آن برای یافتن نتایج قبلاً ناشناخته استفاده نمی کند. [3]

در قرن 3 قبل از میلاد ، ارشمیدس با استفاده از روشی که شبیه به اصل کاوالیری است ، [4] با توجه به حجم یک مخروط و استوانه در کار خود با عنوان روش مضامین مکانیکی ، توانست حجم یک کره را پیدا کند . در قرن 5 میلادی ، زو چونگزی و پسرش زو چنگشی روش مشابهی برای یافتن جلوی کره ایجاد کردند. [5] انتقال از قرار indivisibles کاوالیری به اوانجلیستا توریچلی را و جان والیس را بینهایت یک پیشرفت عمده در تاریخ بود حساب دیفرانسیل و انتگرال . افراد غیرقابل مشاهده اشخاص تجسمی بودند1 ، به طوری که تصور می شد شکل هواپیما از بینهایت خطوط 1 بعدی ساخته شده است. در همین حال ، infinitesimals موجوداتی با همان ابعادی بودند که شکل می دهند. بنابراین ، یک شکل هواپیما می تواند از "موازی" از عرض نامتناهی ساخته شود. با استفاده از فرمول جمع حاصل از پیشرفت حسابی ، والیس مساحت یک مثلث را با تقسیم آن در موازی های نامتناهی از عرض 1 / uted محاسبه کرد.

مثالها [ ویرایش ]

کره [ ویرایش ]

سطح مقطع دیسک شکل کره همان ناحیه با سطح مقطع حلقه شکل آن قسمت از استوانه را دارد که در خارج از مخروط قرار دارد.

اگر کسی بداند که حجم مخروط است ${\ frac {1} {3}} \ سمت چپ ({\ متن {پایه}} \ بار {\ متن {ارتفاع}} \ سمت راست)$ سپس می توان از اصل کاوالیری استفاده کرد تا این واقعیت را داشته باشد که حجم یک کره است ${\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}$ ، جایی که $r$ شعاع است

که به شرح زیر انجام می شود: حوزه ای از شعاع را در نظر بگیرید $r$ و یک سیلندر شعاع $r$ و قد $r$ . درون سیلندر مخروطی است که جلوی آن در مرکز یک پایه استوانه است و پایه آن پایه دیگر استوانه است. توسط قضیه فیثاغورسی ، این هواپیما واقع شده است $ی$ واحدهای بالاتر از "استوا" در یک کره از حلقه در منطقه قرار دارند $\ pi \ سمت چپ (r ^ {2} -y ^ {2} \ سمت راست)$ . مساحت تقاطع هواپیما با بخشی از استوانه که خارج از مخروط است نیز قرار دارد $\ pi \ سمت چپ (r ^ {2} -y ^ {2} \ سمت راست)$ . همانطور که می بینیم مساحت هر تقاطع دایره با صفحه افقی که در هر بلندی واقع شده است $ی$ مساحت تقاطع هواپیما با بخشی از استوانه که خارج از مخروط است برابر است. بنابراین ، با استفاده از اصل کاوالیری ، می توان گفت که حجم کره نیم برابر است با حجم بخشی از استوانه که "خارج" مخروط است. حجم فوق مخروط فوق است $\ frac {1} 3}}$ از حجم استوانه ، بنابراین حجم خارج از مخروط است

$\ frac {2} 3}}$ حجم سیلندر بنابراین حجم نیمه بالایی کره است $\ frac {2} 3}}$ حجم سیلندر حجم سیلندر است

$\ متن {پایه}} \ بار {\ متن {ارتفاع}} = \ pi r ^ {2} \ cdot r = \ pi r ^ {3$

("پایگاه" در واحد مساحت است ؛ "ارتفاع" در واحدهای مسافت است . مساحت × فاصله = حجم.)

بنابراین حجم نیمه فوقانی است $\ displaystyle {\ frac {2} {3}} \ pi r ^ {3}$ و کل کره است ${\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}$ .

مخروط و هرم [ ویرایش ]

این واقعیت که حجم هر هرم ، صرف نظر از شکل پایه ، چه دایره ای شکل در مورد مخروط ، یا مربع مانند در مورد اهرام مصر ، یا هر شکل دیگر ، (1/3) پایه × ارتفاع ، می تواند با اصل کاوالیری برقرار شود ، اگر کسی فقط می داند که در یک مورد صادق است. ممکن است ابتدا با تقسیم فضای داخلی یک منشور مثلثی به سه مؤلفه هرمی با حجم مساوی ، آن را در یک مورد واحد ایجاد کند. ممکن است با استفاده از اصل کاوالیری برابری آن سه جلد را نشان دهد.

در واقع، استدلال بینهایت اصل یا مشابه کاوالیری است لازم برای محاسبه حجم مخروط و حتی اهرام است که اساسا محتوای، مشکل سوم هیلبرت - اهرام چند وجهی و مخروط نمی تواند قطع و دوباره مرتب به شکل استاندارد، و به جای آن باید مقایسه شود به معنی بی نهایت (بی نهایت) یونانیان باستان از روشهای مختلف پیش ساز مانند استدلالهای مکانیکی Archimedes یا روش فرسودگی برای محاسبه این حجمها استفاده می کردند.

مشکل حلقه دستمال [ ویرایش ]

مقاله اصلی: مشکل حلقه دستمال

اگر یک سوراخ از ارتفاع h مستقیماً از طریق مرکز یک کره حفر شود ، حجم باند باقی مانده به اندازه کره بستگی ندارد. برای یک حوزه بزرگتر ، باند نازک تر اما طولانی تر خواهد بود.

در آنچه که حلقه حلقه دستمال نامیده می شود ، با اصل کاوالیری نشان داده می شود که وقتی یک سوراخ مستقیم از مرکز یک کره حفر شود که باند باقی مانده دارای ارتفاع h باشد ، حجم مواد باقیمانده به طور شگفت آور بستگی به اندازه آن ندارد. کره. سطح مقطع حلقه باقیمانده یک حلقه هواپیما است که مساحت آن تفاوت بین نواحی دو دایره است. با قضیه فیثاغورس ، مساحت یکی از دو دایره π برابر r 2 - y 2 است ، در جایی که r شعاع کره و y فاصله آن از صفحه استوا تا هواپیما برش است و از طرف دیگر است. πبار r 2 - ( h / 2) 2 . هنگامی که این موارد از بین برود ، r 2 لغو می شود. از این رو عدم وابستگی به پاسخ خط پایین به r .

سیکلوئیدها [ ویرایش ]

سطح مقطع افقی منطقه محدود شده توسط دو قوس حلقوی ردیابی شده توسط یک نقطه در همان دایره که در یک مورد در جهت عقربه های ساعت در خط زیر آن می چرخد ، و در دیگری در جهت عقربه های ساعت در خط بالای آن ، طول آن با طول مشابه است. سطح مقطع افقی دایره.

N. رید نشان داده است [6] چگونه برای پیدا کردن مساحت محدود شده توسط سیکلوئید با استفاده از اصل کاوالیری. دایره شعاع rمی تواند در جهت عقربه های ساعت بر روی خط زیر آن یا در جهت خلاف جهت عقربه های ساعت بر روی یک خط بالاتر از آن بچرخد. نقطه ای از دایره به این ترتیب دو سیکلوئید را مشخص می کند. هنگامی که دایره مسافت خاصی را چرخانده است ، زاویه ای که از طریق آن می توانست به جهت عقربه های ساعت چرخانده شود و آن که از طریق آن می توانست خلاف جهت عقربه های ساعت باشد همان است. بنابراین دو نقطه ردیابی سیکلوئیدها در ارتفاعات مساوی هستند. بنابراین خط از طریق آنها افقی است (یعنی به موازات دو خط که دایره روی آن می چرخد). در نتیجه ، هر مقطع افقی دایره دارای طول یکسان با سطح مقطع افقی مربوطه از منطقه است که توسط دو قوس سیویید محدود شده است. براساس اصل کاوالیری ، این دایره مساحتی برابر با آن منطقه دارد.

مستطیل را در نظر بگیرید که یک قوس تک حلقوی محدود دارد. از تعریف یک سیکلوئید ، عرض 2π r و ارتفاع 2 r داردبنابراین مساحت آن چهار برابر مساحت دایره است. مساحت این مستطیل را که در بالای قوس سیکلوئید قرار دارد محاسبه کنید با مستحکم کردن مستطیل در نقطه میانی که قوس با مستطیل در آن قرار دارد ، یک قطعه را با 180 درجه بچرخانید و نیمه دیگر مستطیل را با آن بپیچانید. مستطیل جدید ، به مساحت دو برابر دایره ، از منطقه "عدسی" بین دو سیکلوئید تشکیل شده است که مساحت آن در بالا محاسبه شده است که همان دایره است و دو منطقه ای که منطقه را بالای قوس سیکلوئید تشکیل داده اند. در مستطیل اصلی. بنابراین ، ناحیه محدود شده توسط یک مستطیل در بالای یک قوس کامل از سیکلوئید دارای مساحتی برابر با منطقه دایره است و بنابراین ، منطقه محدود به طاق سه برابر مساحت دایره است.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Cavalieri%27s_principle

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی