نظریه اشتورم-لیوویل

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه بیست و پنجم تیر ۱۳۹۹ | 22:13

در ریاضیات و کاربردهای آن ، تئوری کلاسیکاشتورم-لیوویل نظریه معادلات دیفرانسیل معمولی خطی مرتبه دوم واقعی از فرم است:

$\ displaystyle (1) \ qquad \ qquad {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \! \! \ left [\، p (x) {\ frac {\ mathrm {d } y} {\ mathrm {d} x}} \ Right] + q (x) y = - \ lambda \، w (x) y،$

برای توابع ضریب داده شده p ( x ) ، q ( x ) و w ( x )> 0 و یک تابع ناشناخته y از متغیر x رایگان . تابع w ( x ) ، که گاه با r ( x ) مشخص می شود ، عملکرد وزن یا تراکم نامیده می شود . همه معادلات دیفرانسیل معمولی خطی مرتبه دوم را می توان به این شکل کاهش داد.

در ساده ترین حالت که در آن تمام ضرایب مستمر در بازه محدود بسته [ ، ب ] و ص است مشتق مداوم، یک تابع Y نامیده می شود راه حل آن است که اگر به طور مداوم در مشتقپذیر ( ، ب ) و در معادله ( 1 ) در هر نقطه از ( ، ب ) . (در مورد کلیتر p ( x ) ، q ( x ) ، w ( x)) ، راه حل ها باید به معنای ضعیف درک شوند .) علاوه بر این ، y معمولاً برای برآورده کردن برخی شرایط مرزی در a و b لازم است . هر یک از این معادلات ( 1 ) همراه با شرایط مرزی آن ، یک مسئله اشتورم-لیوویل

مقدار λ در معادله مشخص نشده است: پیدا کردن λ که در آن یک راه حل غیرعادی وجود دارد بخشی از مشکل SL داده شده است. به این مقادیر λ ، در صورت وجود ، مقادیر اساسی مسئله گفته می شود ، و راه حل های مربوط عبارتند از عملکردهای اساسی مربوط به هر λ . این اصطلاحات به این دلیل است که راه حلها با مقادیر ویژه و عملکردهای ویژه یک اپراتور دیفرانسیل هرمیتیت در یک فضای مناسب با عملکرد مطابقت دارند.. نظریه اشتورم-لیوویل به بررسی وجود و رفتار بدون علامت ویژه مقادیر خاص ، نظریه کیفی مربوط به ویژگیهای ویژه و کامل بودن آنها در فضای عملکرد می پردازد.

این نظریه در ریاضیات کاربردی ، که در آن مشکلات SL بسیار معمول اتفاق می افتد ، به ویژه هنگام برخورد با معادلات دیفرانسیل جزئی خطی قابل تفکیک ، بسیار مهم است . به عنوان مثال ، در مکانیک کوانتومی ، معادله یک بعدی بعدی مستقل شرودینگر یک مسئله SL است.

گفته می شود که یک مسئله اشتورم-لیوویل معمولی است اگر p ( x ) ، w ( x )> 0 و p ( x ) ، p ′ ( x ) ، q ( x ) ، w ( x ) توابع مداوم بر روی متناهی باشند. فاصله [ a ، b ] ، و مشکل شرایط مرزی از فرم را از هم جدا کرده است :

$\ displaystyle (2) \ qquad \ qquad \ alpha _ {1} y (a) + \ alpha _ {2} y '(a) = 0 \ qquad \ qquad \ alpha _ {1} ^ {2} + \ آلفا _ {2} ^ {2}> 0 ،$

$\ displaystyle (3) \ qquad \ qquad \ beta _ {1} y (b) \، + \، \ beta _ {2} y '(b) = 0 \ qquad \ qquad \ beta _ {1} ^ { 2} + \ beta _ {2} ^ {2}> 0.$

نتیجه اصلی نظریه استورم-لیوویل بیان می کند که ، برای مسئله منظم استورم-لیوویل ( 1 ) ، ( 2 ) ، ( 3 ) :

مقادیر ویژه λ 1 ، λ 2 ، λ 3 ، ... واقعی هستند و می توانند به گونه ای شماره گذاری شوند

$\ lambda _ {1} <\ lambda _ {2} <\ lambda _ {3} <\ cdots <\ lambda _ {n} <\ cdots \ to \ infty؛$

مطابق با هر مقادیر خاص λ n یک عملکرد ویژه منحصر به فرد (تا چند برابر ثابت) y n ( x ) با دقیقا n -1 صفر در ( a ، b ) است که به عنوان راه حل اساسی th ( n ) نامیده می شود .
تابع ویژه نرمال تشکیل اساس orthonormal تحت W- کالا وزن درونی در فضای هیلبرت $\ displaystyle L ^ {2} ([a، b]، w (x) \، dx)$ . به این معنا که:

$\ displaystyle \ langle y_ {n، y_ {m} \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} y_ {n} (x) y_ {m} (x) w (x) \، \ mathrm { d} x = \ delta _ {mn} ، \ \$ که در آن δ MN است دلتای کرونکر .

این نظریه پس از ژاک چارلز François Sturm (1803-1855) و جوزف لیوول (1809-1882) نامگذاری شده است .

فهرست

کاهش به فرم اشتورم-لیوویل [ ویرایش ]

گفته می شود که معادله دیفرانسیل ( 1 ) به شکل استورم-لیوویل یا فرم خود ترسیمی است . همه معادلات دیفرانسیل معمولی خطی مرتبه دوم را می توان در قالب سمت چپ ( 1 ) با ضرب هر دو طرف معادله با یک عامل یکپارچه سازی مناسب دوباره تغییر داد (گرچه در مورد معادلات دیفرانسیل جزئی مرتبه دوم نیز یکسان نیست. ، و یا اگر Y است بردار ). چند نمونه در زیر آمده است.

معادله بسل [ ویرایش ]

${\ displaystyle x ^ {2} y '' + xy '+ \ left (x ^ {2 - \ nu ^ {2} \ Right) y = 0$

که می تواند به شکل Sturm-Liouville نوشته شود (ابتدا با تقسیم بر x و سپس با فروپاشی دو اصطلاح در سمت چپ به یک ترم) به صورت زیر

${\ displaystyle \ left (xy '\ Right)$

معادله Legendre [ ویرایش ]

${\ displaystyle \ left (1-x ^ {2} \ Right) y '' - 2xy '+ \ nu (\ nu +1) y = 0$

از آنجا که می توان به راحتی در قالب اشتورم-لیوویل قرار داد د/د x(1 - x 2 ) = − 2 x ، بنابراین معادله Legendre معادل است

${\ displaystyle \ چپ (\ سمت چپ (1-x ^ {2} \ راست) y '\ Right)' + \ nu (\ nu +1) y = 0$

مثال با استفاده از یک عامل ادغام [ ویرایش ]

$\ displaystyle x ^ {3} y '' - xy '+ 2y = 0$

تقسیم بر همه در x 3 :

$y '' - {\ frac {1} {x ^ {2}}} y '+ {\ frac {2} {x ^ {3}} y = 0$

ضرب در یک عامل یکپارچه در

$\ displaystyle \ mu (x) = \ exp \ left (\ int - {\ frac {1} {x ^ {2}}} \، \ mathrm {d} x \ Right) = e ^ {\ frac {1 }{ایکس}}،}$

می دهد

$e ^ {{fr \ frac {1} {x}}}} y '' - {\ frac {e ^ {{fr \ frac {1} {x}}}}} x {^} '+ {\ frac {2e ^ {{{\ frac {1} {x}}}}} {x ^ {3}}} y = 0$

از آن زمان می توان به راحتی در قالب اشتورم-لیوویل قرار داد

$\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} e ^ {\ frac {1} {x}} = - - {\ frac {e ^ {\ frac {1} {x }} {x ^ {2}}}$

بنابراین معادله دیفرانسیل معادل است

$\ displaystyle \ left (e ^ {\ frac {1 {{x}} y '\ Right)' + {\ frac {2e ^ {\ frac {1} {x}}} {x ^ {3}}} y = 0.$

عامل یکپارچه سازی برای معادله مرتبه دوم [ ویرایش ]

$P (x) y '' + Q (x) y '+ R (x) y = 0$

ضرب در فاکتور یکپارچه سازی

$\ displaystyle \ mu (x) = {\ frac {1} {P (x)} \ exp \ left (\ int {\ frac {Q (x) {P (x)} \، \ mathrm { d} x \ درست) ،}$

و سپس جمع آوری شکل اشتورم-لیوویل را می دهد:

$\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} big \ bigl (} \ mu (x) P (x) y '{\ bigr)} + \ mu (x) R (x) y = 0 ،}$

یا به صراحت:

$left \ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ left (\ exp \ left (\ int {\ frac {Q (x) {P (x)}} \، \ mathrm {d} x \ Right) y '\ Right) + {\ frac {R (x)} {P (x)} \ exp \ left (\ int \ frac {Q (x)} {P ( x) =} \، \ mathrm {d} x \ درست) y = 0.$

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Sturm%E2%80%93Liouville_theory

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی