ادامه ماتریس متقارن مشخص

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه بیست و چهارم تیر ۱۳۹۹ | 20:55

مقدمات ویژه [ ویرایش ]

اجازه دهید $م$ , $n \ n n$ ماتریس هرمیتی .

$م$ مثبت و قطعی است اگر و فقط اگر همه ارزشهای ویژه آن مثبت باشد.
$م$ نیمه قطعی مثبت است اگر و فقط اگر تمام مقادیر ویژه آن غیر منفی باشد.
$م$ اگر منفی باشد و فقط اگر تمام مقادیر ویژه آن منفی باشد ، قطعی منفی است
$م$ منفی نیمه قطعی است اگر و فقط اگر همه مقادیر ویژه آن مثبت نیستند.
$م$ نامشخص است اگر و فقط اگر هم مقادیر خاص و منفی مثبت داشته باشد.

اجازه دهید $\ displaystyle P ^ {- 1} DP$ باشد تجارتی ویژه $م$ ، جایی که $پ$ یک ماتریس پیچیده واحد که ردیف هایی تشکیل گردیده اساس orthonormal از بردارهای ویژه از

$م$ و $د$ یک ماتریس مورب واقعی است که مورب اصلی آن حاوی مقادیر ویژه ای است . ماتریکس $م$ ممکن است به عنوان یک ماتریس مورب در نظر گرفته شود

$د$ که در مختصات پایه دوباره بیان شده است $پ$ . به طور خاص ، تغییر یک به یک متغیر ${\ displaystyle y = Pz$ نشان میدهد که $\ displaystyle z ^ {*} Mz}$ برای هر بردار پیچیده واقعی و مثبت است $z$ اگر و تنها اگر $\ displaystyle y ^ {*} Dy}$ برای هر کسی واقعی و مثبت است $ی$ ؛ به عبارت دیگر ، اگر $د$ قطعی مثبت است در مورد ماتریس مورب ، این درست است اگر هر عنصر مورب اصلی - یعنی هر مقادیر ویژه ای از $م$ مثبت است. از آنجا که قضیه طیفی همه مقادیر مهم یک ماتریس هرمیتی را واقعی می داند ، می تواند مثبت بودن مقادیر ویژه را با استفاده از قاعده دکارت در مورد علائم متناوب ، هنگامی که چند جمله ای مشخصه یک ماتریس واقعی ، متقارن بررسی کرد. $م$ موجود است.

خصوصیات [ ویرایش ]

اجازه دهید $م$ $n \ n n$ ماتریس هرمیتی . خواص زیر معادل می باشد $م$ مثبت بودن قطعی:

فرم کنجد مربوط به یک محصول داخلی است

فرم sesquilinear تعریف شده توسط $م$ این عملکرد است $\ displaystyle \ langle \ cdot، \ cdot \ rangle$ از جانب $\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n} \ بار \ mathbb {C} ^ {n}$ به $\ mathbb {C} ^ {n$ به طوری که $\ displaystyle \ langle x، y \ rangle: = y ^ {*} Mx$ برای همه $ایکس$ و $ی$ که در $\ mathbb {C} ^ {n$ ، جایی که $y ^ {*$ پیوند مزدوج است $ی$ . برای هر ماتریس پیچیده $م$ ، این فرم به صورت خطی است $ایکس$ و نیمه تمام در $ی$ . بنابراین، فرم است محصول داخلی در $\ mathbb {C} ^ {n$ اگر و تنها اگر $\ displaystyle \ langle z، z \ rangle$ برای همه غیروزارها واقعی و مثبت است $z$ ؛ این در صورتی است که فقط و فقط اگر $م$ قطعی مثبت است (در واقع ، هر محصول درونی در $\ mathbb {C} ^ {n$ در این مد از یک ماتریس مشخص مثبت هرمیتی ناشی می شود.)

این ماتریس گرم مجموعه ای از بردارهای مستقل خطی است

اجازه دهید $x_ {1} ، \ ldots ، x_ {n$ لیستی از $ن$ بردارهای خطی مستقل از برخی از فضای بردار پیچیده با یک محصول داخلی $\ langle \ cdot ، \ cdot \ rangle$ . می توان تأیید کرد که ماتریس گرام $م$ از آن بردارها تعریف شده توسط $\ displaystyle M_ {ij} = \ langle x_ {i}، x_ {j} \ rangle$ ، همیشه مثبت قطعی است. برعکس ، اگر $م$ قطعاً مثبت است ، یک ترکیب تجسمی دارد $\ displaystyle P ^ {- 1} DP$ جایی که $پ$ واحد است ، $د$ مورب و همه عناصر مورب $\ displaystyle D_ {ii} = \ lambda _ {i}}$ از {\ نمایشگر D} $د$ واقعی و مثبت هستند اجازه دهید $ه$ ماتریس مورب واقعی با ورودی باشد $\ displaystyle E_ {ii} = {\ sqrt {\ lambda _ {i}}}}$ بنابراین $\ displaystyle E ^ {2} = D$ ؛ سپس $\ displaystyle P ^ {- 1} DP = P ^ {*} DP = P ^ {*} EEP = (EP) ^ {*} EP}$ . حالا اجازه می دهیم $x_ {1} ، \ ldots ، x_ {n$ ستون باشد $EP$ . این بردارها بطور خطی مستقل هستند و طبق موارد فوق $م$ ماتریس گرام آنها ، تحت محصول استاندارد داخلی است $\ mathbb {C} ^ {n$ ، برای مثال $\ displaystyle \ langle x_ {i}، x_ {j} \ rangle = x_ {i} ^ {\ ast} x_ {j}$ .

خردسالان اصلی آن همه مثبت هستند

K هفتم منجر جزئی اصلی از یک ماتریس $م$ است تعیین از آن بالا سمت چپ $k \ بار k$ ماتریس فرعی به نظر می رسد که اگر همه این عوامل تعیین کننده مثبت باشند ، یک ماتریس مثبت است. این شرط به عنوان معیار سیلوستر شناخته می شود و یک آزمایش کارآمد از قطعیت مثبت یک ماتریس واقعی متقارن را فراهم می کند. یعنی ، با استفاده از عملیات ردیف ابتدایی ، ماتریس به یک ماتریس مثلثی فوقانی کاهش می یابد ، همانطور که در قسمت اول روش حذف گاوسی ، با مراقبت از حفظ نشانه تعیین کننده آن در طی فرآیند چرخش . از آنجا که ک هفتم منجر جزئی اصلی یک ماتریس مثلثی کالا از عناصر مورب تا آن را به ردیف است $ک$ معیار سیلوستر معادل بررسی این است که آیا عناصر مورب آن همه مثبت است یا خیر. این وضعیت را می توان هر بار که یک ردیف جدید بررسی کرد $ک$ از ماتریس مثلثی بدست می آید.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Definite_symmetric_matrix

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی