مثالها [ ویرایش
مثال 1 [ ویرایش ]
در نظر گرفتن تابع F : ℝ 2 → ℝ 2 ، با
( ( X ، Y ) ↦ ( F 1 ( X ، Y )، F2 ( X ، Y ))،
داده شده توسط
سپس ما
و
و ماتریس Jacobian از f است
![\ mathbf {J} _ {\ mathbf {f} x (x، y) = {\ آغاز {bmatrix {\ dfrac {\ جزئی f_ {1}} {\ جزئی x}} & {\ dfrac {\ جزئی f_ 1}} {\ part y y}} \\ [1em] {\ dfrac {\ partial f_ {2}} part \ partial x}} & {\ dfrac {\ جزئی f_ {2}} {\ جزئی y}} \ end {bmatrix}} = {\ fill bmatrix} 2xy & x ^ {2} \\ 5 & \ cos y \ end {bmatrix](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fe3958d277972f8ea78a75384d7d4c1ceceb185)
و تعیین کننده یعقوبیان است
مثال 2: تحول قطبی-دکارتی [ ویرایش ]
انتقال از مختصات قطبی ( r ، φ ) به مختصات دکارتی ( x ، y ) توسط تابع F : given + × [0، 2 π ) → ℝ 2 با اجزای:
![\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ mathbf {F} r (r، \ varphi) = {\ آغاز {bmatrix} {\ dfrac {\ جزئی x} {\ جزئی جزئی r}} & {\ dfrac {\ جزئی x} {\ partial \ varphi}} \\ [1em] {\ dfrac {\ partial y} {\ partial r}} & {\ dfrac {\ partial y} {\ partial \ varphi} \ end {bmatrix} = {\ fill bmatrix \ cos \ varphi & -r \ sin \ varphi \\\ sin \ varphi & r \ cos \ varphi \ end {bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7f070cf16746e85af8ccc976cdfa318b7d29212)
تعیین کننده Jacobian برابر با r است . این می تواند برای تبدیل انتگرال بین دو سیستم مختصات استفاده شود:
مثال 3: تحول کروی- دکارتی [ ویرایش ]
تبدیل از مختصات کروی ( r ، θ ، φ ) به مختصات دکارتی ( x ، y ، z ) توسط تابع F :: + × [0، π ] × [0، 2 π ) → ℝ 3 با مؤلفه ها انجام می شود :
ماتریس Jacobian برای این تغییر مختصات است
![\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ mathbf {F}} (r، \ theta، \ varphi) = {\ آغاز {bmatrix} {\ dfrac {\ جزئی x} {\ جزئی r r} & {\ dfrac \ partial x} {\ partial \ phi}} & {\ dfrac {\ partial x} {\ partial \ vartheta}} \\ [1em] {\ dfrac {\ partial y} {\ جزئی r}} & {\ dfrac {\ partial y} {\ partial \ phi}} & {\ dfrac {\ part y y} {\ partial \ vartheta}} \\ [1em] \ dfrac {\ partial z} {\ جزئی r}} & { \ dfrac {\ partial z {\ partial \ phi}} & {\ dfrac {\ partial z} {\ partial \ vartheta} \ end {bmatrix}} = {\ fill bmatrix} \ sin \ vartheta \ cos \ phi & -r \ sin \ vartheta \ sin \ phi & r \ cos \ vartheta \ cos \ phi \\\ sin \ vartheta \ sin \ phi & r \ sin \ vartheta \ cos \ phi & r \ cos \ vartheta \ sin \ phi \ \\ cos \ vartheta & 0 & -r \ sin \ vartheta \ end {bmatrix}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52b07633ac88e9456ea078064b551294101aff47)
آنچه این را در تحول کروی-دکارتی نشان می دهد ، نسبت مساحت پایه جدید (پایه کروی) نسبت به پایه اصلی (x ، y ، z) است. [ نیاز به توضیح ]
تعیین است - R 2 گناه φ . به عنوان مثال ، از dV = dx dy dz این تعیین کننده دلالت بر این دارد که عنصر حجم دیفرانسیل dV = - r 2 sin θ dr dθ dφ . برخلاف تغییر مختصات دکارتی ، این تعیین کننده ثابت نیست و با مختصات ( r و θ ) متفاوت است.
مثال 4 [ ویرایش ]
ماتریس Jacobian از تابع F : ℝ 3 ℝ 4 با مؤلفه ها
است
![\ mathbf {J} _ {\ mathbf {F}} (x_ {1}، x_ {2}، x_ {3}) = {\ آغاز {bmatrix {\ dfrac {\ جزئی y_ {1}} {\ جزئی x_ {1}}} & {\ dfrac {\ part y_ {1}} {\ partial x_ {2}}} & {\ dfrac {\ جزئی y_ {1}} {\ جزئی x_ {3}}} \\ [1em] \ dfrac {\ جزئی y_ {2}} {\ جزئی x_ {1}}} & {\ dfrac {\ جزئی y_ {2}} {\ جزئی x_ {2}}} & {\ dfrac {\ جزئی y_ {2}} part \ جزئی x_ {3}}} \\ [1em] {\ dfrac {\ جزئی y_ {3}} {\ جزئی x_ {1}}} & {\ dfrac {\ جزئی y_ {3 }} {\ partial x_ {2}}} & {\ dfrac {\ part y y {3}} {\ partial x_ {3}}} \\ [1em] \ dfrac {\ جزئی y_ {4}} {\ جزئی x_ {1}}} & {\ dfrac {\ جزئی y_ {4}} {\ جزئی x_ {2}}} & {\ dfrac {\ جزئی y_ {4}} {\ جزئی x_ {3}}} \ end bmatrix}} = {\ fill {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 8x_ {2} & - 2 \\ x_ {3} \ cos x_ {1} & 0 & \ sin x_ {1} \ end {bmatrix}} .](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8cdd61024fb8153b850520350a6a90648e454a9)
این مثال نشان می دهد که ماتریس Jacobian نیازی به ماتریس مربع ندارد.
مثال 5 [ ویرایش ]
تعیین کننده Jacobian از عملکرد F : ℝ 3 ℝ 3 با مؤلفه ها
است
از این رو می بینیم که F جهت یابی را در نزدیکی نقاطی که x 1 و x 2 دارای یک نشانه هستند معکوس می کند . این تابع به صورت محلی غیرقابل برگشت است بجز نقاط نزدیک که x 1 = 0 یا x 2 = 0 باشد. بصری ، اگر کسی با یک جسم کوچک در اطراف نقطه (1 ، 2 ، 3) شروع کرده و F را بر روی آن جسم اعمال کند ، یک شیء با تقریباً 40 × 1 × 2 = 80 برابر حجم اصلی دریافت می کند ، با جهت گیری معکوس شد
منبع
https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobian_matrix_and_determinant
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.