ادامه منیفولد ریمانی

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه هفدهم تیر ۱۳۹۹ | 19:32

ایزومتری [ ویرایش ]

اگر $(م ، گرم)$ و ${\ صفحه نمایش (N ، ساعت)$ دو منیفولد ریمانی با $f: M \ به N$ پس دیفورمورفیسم $f$ اگر ایزومتری نامیده شود ، $\ displaystyle g = f ^ {\ ast} ساعت ،$ یعنی اگر

${\ displaystyle g_ {p} (u، v) = h_ {f (p)} (df_ {p} (u) ، df_ {p} (v))}$

برای همه ${\ displaystyle u ، v \ in T_ {p} M.$

یکی می گوید که نقشه ${\ displaystyle f: M \ to N ،$ فرض نیست که به یک diffeomorphism فراهم آورده است، یک است همسان محلی اگر هر $p \ in M$ یک محله باز دارد $U \ ni ص$ به طوری که ${\ displaystyle f: U \ to f (U)$ دیفئورمورفیسم و ایزومتری است.

منظم بودن یک معیار ریمانی [ ویرایش ]

یکی می گوید متریک ریمانی $گرم$ است به طور مداوم صورت $\ displaystyle g_ {ij}: U \ to \ mathbb {R}$ در صورت وجود هر نمودار مختصات صاف ، پیوسته هستند $display \ نمایشگر استایل (U ، X).$ یکی این را می گوید $گرم$ است صاف اگر این توابع صاف در هنگام با توجه به هر صاف هماهنگ نمودار. همچنین می توان بسیاری از انواع دیگر معیارهای ریمانی را از این رو در نظر گرفت.

در بیشتر حسابهای نمایشگاهی از هندسه ریمانی ، معیارها همیشه صاف هستند. با این حال ، می توان دلایل مهمی برای در نظر گرفتن معیارهایی که هموارتر هستند ، وجود دارد. معیارهای ریمانی تولید شده توسط روش های تجزیه و تحلیل هندسی ، به طور خاص ، می تواند کمتر از صاف باشد. به عنوان مثال (گروموف 1999) و (شیعه و تام 2002) مراجعه کنید.

بررسی اجمالی [ ویرایش ]

نمونه هایی از منیفولدهای ریمانی در زیر مورد بحث قرار خواهد گرفت. معروف قضیه از جان نش بیان می کند که، با توجه به هر ریمانی صاف، ${\ نمایشگر (M ، g) ،$ (معمولاً بزرگ) یک عدد وجود دارد $ن$ و تعبیه $\ displaystyle F: M \ to \ mathbb {R} ^ {N}$ به گونه ای که بازگرداندن توسط $ف$ متریک استاندارد ریمانی در $\ mathbb {R} ^ {n$ است $گرم$ به طور غیررسمی ، کل ساختار منیفولد صاف ریمانی را می توان با یک دیفورمورفیسم به زیرمنابع تعبیه شده برخی از فضای اقلیدسی رمزگذاری کرد. به این معنا ، بحث برانگیز است که از در نظر گرفتن منیفولدهای صاف انتزاعی و معیارهای ریمانی آنها ، چیزی حاصل نمی شود. با این وجود بسیاری از منیفولدهای صاف ریمانی طبیعی مانند مجموعه چرخش های فضای سه بعدی و فضای ابرشبکه وجود دارد که هرگونه بازنمایی به عنوان زیر مجموعه ای از فضای اقلیدسی ، نمی تواند تقارن و خصوصیات قابل توجه خود را به وضوح به عنوان انتزاعی خود نشان دهد. ارائه می دهد

مثالها [ ویرایش ]

فضای اقلیدسی [ ویرایش ]

اجازه دهید ${\ displaystyle x ^ {1} ، \ ldots ، x ^ {n}$ مختصات استاندارد را روشن کنید $\ mathbb {R}} ^ {n.$ سپس تعریف کنید $\ displaystyle g_ {p} ^ {\ mathrm {can}: T_ {p} \ mathbb {R} ^ {n} \ برابر T_ {p} \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R }$ توسط

$\ displaystyle \ left (\ sum _ {i} a_ {i} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i}}}، \ sum _ {j} b_ {j} {\ frac {\ partial {\ جزئی x ^ {j}}} \ درست) \ longmapsto \ sum _ {i} a_ {i} b_ {i}.}$

عبارت متفاوت: نسبت به مختصات استاندارد ، نمایندگی محلی $\ displaystyle g_ {ij}: U \ to \ mathbb {R}$ مقدار ثابت داده می شود $\ displaystyle \ delta _ {ij}.$

این به وضوح یک معیار ریمانی است و به آن ساختار استاندارد ریمانی گفته می شود $\ mathbb {R}} ^ {n.$ همچنین به عنوان فضای اقلیدسی از ابعاد n و g ij می توان به آن اشاره کرد ( متریک ) متعارف اقلیدسی .

زیر پوشه های تعبیه شده [ ویرایش ]

اجازه دهید $(م ، گرم)$ یک مانیفولد ریمانی باشید و بگذارید $N \ زیر مجموعه M$ یک submanifold جاسازی شده از ${\ displaystyle M،$ که حداقل ${\ displaystyle C ^ {1}.$ سپس محدودیت از گرم به بردار مماس N متریک ریمانی بیش از تعریف N .

به عنوان مثال ، در نظر بگیرید $\ displaystyle S ^ {n-1} = \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n} :( x ^ {1}) ^ {2} + \ cdots + (x ^ {n}) ^ { 2} = 1. \} ،}$ که یک زیر مجموعه تعبیه شده صاف از فضای اقلیدسی با متریک استاندارد آن است. متریک ریمانی این امر را القا می کند $S ^ {{n-1}$ نامیده می شود استاندارد متریک و یا متعارف متریک در $\ displaystyle S ^ {n-1}.$
نمونه های مشابه زیادی وجود دارد به عنوان مثال ، هر بیضی در $\ mathbb {R} ^ {3}$ دارای یک معیار طبیعی ریمانی است. نمودار عملکرد صاف $\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R}$ یک زیرمجموعه تعبیه شده است ، و یک معیار طبیعی ریمانانی نیز دارد.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Riemannian_manifold#Riemannian_metrics

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی