قضیه بنیادی فضاهای هیلبرت

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه هفدهم تیر ۱۳۹۹ | 0:16

در ریاضیات ، به طور خاص در تجزیه و تحلیل عملکردی و نظریه فضای هیلبرت ، تئوری بنیادی فضاهای هیلبرت شرط ضروری و کافی را فراهم می کند تا یک فضای قبل از هیلدورف هاسدورف یک فضای هیلبرت از نظر ایزومتری عادی یک فضای قبل از هیلبرت باشد. ضد دوگانه .

فهرست

بیانیه [ ویرایش ]

مقدماتی [ ویرایش ]

اشکال نیمه تمام ، اشکال سسکولینار ، و ضد دوگانه [ ویرایش ]

فرض کنید H یک فضای بردار توپولوژیکی (TVS) است. یک تابع L : H → ℂ است که به نام semilinear یا خطی اگر برای همه X ، Y ∈ H و همه اسکالرهای ،( L ( X + Y ) = L ( X ) + L ( Y و(L(c x) = ${\overline {c}}$ L(x فضای برداری از تمام توابع پیوسته semilinear در H است به نام ضد دوگانه از H است و توسط نشان داده می شود ${\ displaystyle {\ Overline {H}} ^ {\ Prime}}$ (در مقابل ، فضای دوتایی مداوم H با مشخص شده است $\ displaystyle H ^ {\ نخست}}$ ) و با تحمل آن با هنجار متعارف (به همان روشی كه هنجار كانونی در فضای دوتایی مداوم H است تعریف می کنیم) به یك فضای عادی تبدیل می شویم . [1] یک فرم پیمایشی یک نقشه B : H × H → است به گونه ای که برای همه y ∈ H ، نقشه تعریف شده توسط x ↦ B ( x ، y ) خطی است و برای همه x ∈ H ، نقشه تعریف شده توسط (y ↦ B ( x ، y نیمه تمام است. [1] توجه داشته باشید که در فیزیک ، این کنوانسیون به این صورت است که فرم مختصری به صورت خطی در مختصات دوم و آنتی قطبی در اولین مختصات خود وجود دارد.

فرم sesquilinear در H نامیده می شود مثبت قطعی اگر B ( X ، X )> 0 برای همه غیر 0 X ∈ H ؛ اگر B ( x ، X ) for برای همه x ∈ H باشد ، آن را غیر منفی می نامیم . [1] یک فرم کنسانتره B در H به صورت فرم هرمیتیت نامیده می شود اگر علاوه بر این دارای خاصیت آن باشد ${\ displaystyle B (x، y) = {\ overline {B (x، y)}}$ برای همه X ، Y ∈ H . [1]

فضاهای پیش هیلبرت و هیلبرت [ ویرایش ]

فضای هیلبرت از پیش یک جفت متشکل از یک فضای برداری است H و یک فرم sesquilinear غیر منفی B در H ؛ اگر علاوه بر این ، این فرم پایدار B تعریف مثبت باشد ، ( H ، B ) یک فضای قبل از هیلبرتوس Hausdorff نامیده می شود . [1] اگر B غیر منفی باشد ، باعث ایجاد سمینوروم معمولی در H می شود $\ | \ cdot \ |$ ، تعریف شده توسط x ↦ B ( x ، x ) 1/2 ، در صورتی که اگر B نیز قطعی مثبت باشد ، این نقشه یک هنجار است [ لازم است برای تنظیم مجدد ] . [1] این نیمه هنجار معمولی باعث می شود هر فضای قبل از هیلبرت به یک فضای نیمه هورمبر و هر فضای قبل از هیلدورف قبل از هیلبرت در یک فضای نرمال تبدیل شود . یک فضای قبل از هیلدورف قبل از هیلبرت که کامل است ، فضای هیلبرت نامیده می شود .

نقشه متعارف به ضد دوتایی [ ویرایش ]

اگر ( H ، B ) یک فضای قبل از هیلبرت باشد ، آنگاه نقشه متعارف از H به ضد دوتایی آن می رسد ${\ displaystyle {\ Overline {H}} ^ {\ Prime}}$ نقشه است ${\ displaystyle H \ to {\ overline {H}} ^ {\ Prime}}$ تعریف شده توسط $\ displaystyle x \ mapsto B (x، \ bullet)$ ، جایی که $\ نمایشگر B (x ، \ گلوله): H \ to \ mathbb {C}$ نقشه تعریف شده توسط [y ↦ B ( x ، y ). [1 اگر ( H ، B ) یک فضای قبل از هیلبرت باشد ، این نقشه متعارف خطی و مداوم است. این نقشه یک ایزومتری بر روی یک فضای فرعی بردار ضد دوگانه است اگر و فقط اگر ( H ، B ) یک هاسدورف پیش هیلبرت است. [1]

قضیه بنیادی [ ویرایش ]

قضیه اساسی فضاهای هیلبرت : [1] فرض کنید که ( H ، B ) است هاسدورف پیش هیلبرت فضای که در آن B : H × H → ℂ است فرم sesquilinear است که خطی در آن برای اولین بار از هماهنگی و semilinear در آن دوم هماهنگ می کند. سپس نگاشت خطی های متعارف از H به ضد دوگانه از H است پوشا اگر و تنها اگر ( H ، B ) فضای هیلبرت، که در این صورت بر روی نقشه متعارف پوشا است است همسان ازH بر روی ضد دوگانه خود است.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_Hilbert_spaces

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی