تجزیه قطبی

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه شانزدهم تیر ۱۳۹۹ | 6:10

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات ، تجزیه قطبی یک ماتریس مربع واقعی یا پیچیده است $آ$ عامل سازی فرم است ${\ نمایشگر A = UP$ ، جایی که $تو$ یک واحد ماتریس و $پ$ یک ماتریس هرمیفینیت مثبت هرمیتیتی ، مربعی و با اندازه یکسان است. [1]

بصری ، اگر واقعی است $n \ n n$ ماتریس $آ$ به عنوان یک تفسیر تبدیل خطی از $ن$ فضای بعدی $\ mathbb {R} ^ {n$ ، تجزیه قطبی آن را به چرخش یا بازتاب جدا می کند $تو$ از $\ mathbb {R} ^ {n$ ، و مقیاس بندی فضا در امتداد مجموعه $ن$ محورهای متعامد

تجزیه قطبی یک ماتریس مربع $آ$ همیشه وجود دارد اگر $آ$ است وارون ، تجزیه منحصر به فرد است، و عامل $پ$ خواهد بود مثبت قطعی . در این مورد، $آ$ می تواند به صورت منحصر به فرد در قالب نوشته شود $\ displaystyle A = Ue ^ {X}}$ ، جایی که $تو$ واحد است و $ایکس$ لگاریتم منحصر به فرد خود ماتریس است $پ$ . [2] این تجزیه در محاسبه گروه اساسی گروه (ماتریس) لی مفید است . [3]

تجزیه قطبی را نیز می توان تعریف کرد ${\ نمایشگر A = PU$ جایی که $پ$ و $تو$ همان خصوصیات فوق را دارند (اما ماتریسهای مختلف به طور کلی برای یکسان هستند $آ$ )

تجزیه قطبی یک ماتریس را می توان به عنوان آنالوگ ماتریس شکل قطبی از یک عدد پیچیده مشاهده کرد $z$ مانند $\ displaystyle z = ur$ ، جایی که $r$ آن است ارزش مطلق (غیر منفی عدد حقیقی ) و $تو$ یک عدد پیچیده با هنجار واحد است (یک عنصر از گروه دایره ).

فهرست

خواص [ ویرایش ]

تجزیه قطبی ترکیبات پیچیده از $آ$ از رابطه زیر بدست می آید ${\ displaystyle {\ overline {A}} = {\ overline {U}} {\ overline {P}}.$ توجه داشته باشید که

$\ displaystyle \ det A = \ det U \ det P = e ^ {i \ theta} \ cdot r$

می دهد تجزیه قطبی مربوطه را از تعیین از ، از $\ det U = e ^ {{من \ تتا}$ و $\ det P = r = | \ det A |$ . به طور خاص ، اگر $آ$ دارای تعیین کننده 1 سپس هر دو است $تو$ و $پ$ تعیین کننده 1 دارند.

ماتریس مثبت semidefinite P همیشه منحصر به فرد، حتی اگر است منحصر به فرد ، و به عنوان نشان داده می شود

$\ displaystyle P = \ سمت چپ (A ^ {*} A \ راست) ^ {\ frac {1} {2}} ،}$

که در آن * نشان دهنده ترانهاده مزدوج از . منحصر به فرد بودن P تضمین می کند که این عبارت به خوبی تعریف شده است. منحصر به فرد بودن این واقعیت است که تضمین می شود $A ^ {*} A$ یک ماتریس مثبت مایع semitefinite هرمیتی است و بنابراین دارای یک ریشه مربع منحصر به فرد مثبت semidefinite Hermiti است . [4] اگر A غیرقابل برگشت باشد ، P معینی مثبت است ، بنابراین نیز غیرقابل برگشت است و ماتریس U به طور خاص با تعیین می شود

$\ displaystyle U = AP ^ {- 1}.$

تفسیر شهودی [ ویرایش ]

یک میدان واقعی $متر \ بار متر$ ماتریس $آ$ می تواند به عنوان interepreted تبدیل خطی از $\ mathbb {R} ^ {m}$ که یک بردار ستون طول می کشد $ایکس$ به $تبر$ . سپس در تجزیه قطبی ${\ نمایشگر A = RP$ ، عامل $ر$ هست یک $متر \ بار متر$ ماتریس متعامد واقعی تجزیه قطبی سپس می تواند بیانگر تحول خطی باشد که توسط آن تعریف شده است $آ$ در مقیاس بندی فضا $\ mathbb {R} ^ {m}$ در امتداد هر مرکز ویژه $e_ {i$ از $آ$ توسط یک عامل مقیاس $\ سیگما _ {من$ (عمل از $پ$ ) ، به دنبال چرخش یا بازتاب منفرد $\ mathbb {R} ^ {m}$ (عمل از $ر$ )

روش دیگر ، تجزیه ${\ نمایشگر A = PR$ تحول تعریف شده توسط $آ$ به عنوان چرخش ( $ر$ ) به دنبال یک مقیاس گذاری ( $پ$ ) در امتداد جهت های خاص متعامد. عوامل مقیاس یکسان هستند ، اما جهتها متفاوت است.

ارتباط با SVD [ ویرایش ]

از نظر تجزیه ارزش منحصر به فرد (SVD) A ، A = WΣV * ، یکی دارد

$\ displaystyle {\ شروع {تراز شده} P & = V \ Sigma V ^ {*} \\ U & = WV ^ {*} \ end {تراز وسط}}$

که در آن U ، V و W ماتریس واحد هستند (اگر زمینه واقعیت R باشد ، ماتریسهای متعامد نامیده می شوند ) . این تأیید می کند که P مثبت است و U واحد است. بنابراین ، وجود SVD معادل وجود تجزیه قطبی است.

همچنین می توان A را در فرم تجزیه کرد

${\ نمایشگر A = P'U}$

در اینجا U مانند قبل است و P by توسط داده می شود

${\ displaystyle P '= UPU ^ {- 1} = \ left (AA ^ {*} \ Right) ^ {\ frac {1} {2}} = W \ Sigma W ^ {*}.}$

این به عنوان تجزیه قطبی چپ شناخته شده است ، در حالی که تجزیه قبلی به عنوان تجزیه قطبی راست شناخته شده است. تجزیه قطبی چپ نیز به عنوان تجزیه قطبی معکوس شناخته می شود.

ماتریس است طبیعی اگر و تنها اگر P '= P . سپس UΣ = ΣU ، و آن را ممکن است به diagonalise U با یک ماتریس شباهت واحد S که رفت و آمد با Σ ، به SUS * = Φ -1 ، که در آن Φ یک ماتریس واحد مورب از مراحل است الکترونیکی iφ . با قرار دادن Q = VS * ، می توان تجزیه قطبی را دوباره نوشت

$left \ displaystyle A = \ left (Q \ Phi Q ^ {*} \ Right) \ left (Q \ Sigma Q ^ {*} \ Right)، \،$

بنابراین A سپس بنابراین یک تجزیه طیفی نیز دارد

$\ displaystyle A = Q \ Lambda Q ^ {*}$

با مقادیر ویژه ای پیچیده به گونه ای که $\ displaystyle \ Lambda \ Lambda ^ {*} = \ Sigma ^ {2}$ و یک ماتریس واحد بردارهای ویژه پیچیده س .

تجزیه قطبی از یک مربع معکوس ماتریس واقعی به فرم

$\ نمایشگر A = | A | R$

جایی که $\ displaystyle | A | = \ سمت چپ (AA ^ {\ Texff {T}} \ سمت راست) ^ {\ frac {1} {2}}}$ یک مثبت قطعی ماتریس و $\ displaystyle R = | A | ^ {- 1} A$ یک ماتریس متعامد است.

ساخت و اثبات وجود [ ویرایش ]

ایده اصلی ساخت قطب تجزیه شبیه به ایده مورد استفاده برای محاسبه تجزیه ارزش مفرد است .

برای هرچی $آ$ ، ماتریکس $A ^ {*} A$ هرمیتی و نیمه قطعی مثبت است ، و بنابراین به طور جزئی معادل ماتریس مورب نیمه قطعی مثبت است. پس بگذار $V$ واحد باشد به گونه ای که $\ displaystyle A ^ {*} A = VDV ^ {*}}$ ، با $د$ مورب و نیمه قطعی مثبت.

مورد $آ$ عادی [ ویرایش ]

اگر $آ$ طبیعی است ، پس از آن تقریباً برابر با یک ماتریس مورب است: $\ displaystyle A = V \ Lambda V ^ {*}$ برای برخی واحد $V$ و برخی از ماتریس مورب $\ لامبدا$ . بعد می توانیم بنویسیم

$left \ displaystyle A = V \ Phi _ {\ Lambda | \ Lambda | V ^ {*} = \ underbrace {\ سمت چپ (V \ Phi _ {\ Lambda} V ^ {*} \ Right)} _ {\ equiv U} \ underbrace left \ سمت چپ (V | \ لامبدا | V ^ {*} \ راست)} _ {\ معادل P} ،}$ جایی که $\ فی _ {\ لامبدا$ یک ماتریس مورب است که شامل فازهای عناصر از است $\ لامبدا$ ، به این معنا که، $\ displaystyle (\ Phi _ {\ Lambda) _ {ii} \ equiv \ Lambda _ {ii} / | \ لامبدا _ {ii} |}$ یا ${\ displaystyle (\ Phi _ {\ Lambda}) _ {ii}$ تعداد پیچیده دلخواه با بزرگی واحد زمانی که $\ displaystyle \ Lambda _ {ii} = 0$ .

از این رو تجزیه قطبی است $A = بالا$ ، با $تو$ و $پ$ مورب در اژگانباسي از $آ$ و با مقادیر ویژه برابر با مراحل و مقادیر مطلق مقادیر ویژه $آ$ ، به ترتیب.

مورد $آ$ برگشت پذیر [ ویرایش ]

از تجزیه ارزش مفرد می توان نشان داد که a $آ$ قابل برگشت است اگر و فقط اگر $A ^ {*} A$ (هم ارز، $AA ^ {*$ ) است. علاوه بر این ، این درست است اگر و فقط اگر مقادیر ویژه ای از $A ^ {*} A$ همه صفر نیستند [5] .

در این حالت تجزیه قطبی مستقیماً با نوشتن حاصل می شود

$\ displaystyle A = A \ left (A ^ {*} A \ Right) ^ {- {\ frac {1} {2}}} \ left (A ^ {*} A \ Right) ^ {\ frac {1 } {2}} ،}$

و مشاهده آن ${\ displaystyle A \ left (A ^ {*} A \ Right) ^ {- {\ frac {1} {2}}}}$ واحد است. برای دیدن این ، می توانیم از تجزیه طیفی بهره برداری کنیم $A ^ {*} A$ نوشتن $\ displaystyle A \ left (A ^ {*} A \ Right) ^ {- {\ frac {1} {2}}} = AVD ^ {- {\ frac {1} {2}}} V ^ {* }$ .

در این عبارت ، $V ^ {*$ واحد است زیرا $V$ است. برای نشان دادن آن نیز $\ displaystyle AVD ^ {- {\ frac {1 {{2}}}}$ واحد است ، می توانیم از SVD برای نوشتن استفاده کنیم $\ displaystyle A = WD ^ {\ frac {1 {{2}} V ^ {*}}$ ، به طوری که

$\ displaystyle AVD ^ {- {\ frac {1} {2}}} = WD ^ {\ frac {1} {2}} V ^ {*} VD ^ - {\ frac {1 {{2}} } = W ،$

کجا دوباره {\ نمایشگر W} $W$ با ساخت و ساز واحد است.

با این وجود روش دیگری برای نشان دادن مستقیم یکنواختی ${\ displaystyle A \ left (A ^ {*} A \ Right) ^ {- {\ frac {1} {2}}}}$ توجه داشته باشید که ، نوشتن SVD از $آ$ از نظر ماتریس درجه 1 به عنوان $\ displaystyle A = \ sum _ {k} s_ {k} v_ {k} w_ {k} ^ {*}}$ ، جایی که $s_ {k}$ ارزشهای مفرد هستند $آ$ ، ما داریم

$\ displaystyle A \ left (A ^ {*} A \ Right) ^ {- {\ frac {1} {2}}} = \ left (\ sum _ {j} \ lambda _ {j} v_ {j w_ {j} ^ {*} \ Right) \ left (\ sum _ {k} | \ lambda _ {k} | ^ {- 1} w_ {k} w_ {k} ^ {*} \ Right) = \ sum _ {k} {\ frac {\ lambda _ {k}} {| \ lambda _ {k} |}} v_ {k} w_ {k} ^ {*} ،}$ که مستقیماً دلالت بر یکتایی بودن آن دارد ${\ displaystyle A \ left (A ^ {*} A \ Right) ^ {- {\ frac {1} {2}}}}$ زیرا یک ماتریس واحد است اگر و فقط اگر مقادیر مفرد آن دارای ارزش مطلق واحد باشد.

توجه داشته باشید که چگونه از ساختار فوق چنین نتیجه گرفته شده است که ماتریس واحد در تجزیه قطبی یک ماتریس غیرقابل برگشت به طور منحصر به فرد تعریف شده است .

پرونده عمومی [ ویرایش ]

SVD از $آ$ می خواند $\ displaystyle A = WD ^ {\ frac {1 {{2}} V ^ {*}}$ ، با ، V $display \ displaystyle W، V$ ماتریس واحد ، و $د$ ماتریس نیمه قطعی مثبت قطری. با وارد کردن یک جفت اضافی دیگر $W$ یا $V$ ، ما دو شکل از قطب تجزیه را بدست می آوریم $آ$ :

$\ displaystyle A = WD ^ {\ frac {1 {{2}} V ^ {*} = \ underbrace {\ سمت چپ (WD ^ {\ frac {1} {2} W ^ {*} \ درست) _ {P} \ underbrace {\ left (WV ^ {*} \ Right)} _ {U} = \ underbrace {\ left (WV ^ {*} \ Right)} _ {U} \ underbrace {\ left (VD ^ {\ frac {1} {2}} V ^ {*} \ درست)} _ {P '}.}$

اپراتورهای محدود در فضای هیلبرت [ ویرایش ]

تجزیه قطبی هر عملگر خطی کراندار بین پیچیده فضاهای هیلبرت فاکتور متعارف به عنوان محصول یک است همسان جزئی و یک اپراتور غیر منفی است.

تجزیه قطبی برای ماتریس به شرح زیر است: اگر A یک عملگر خطی محدود است ، پس از آن یک عامل منحصر به فرد از A به عنوان محصول A = UP وجود دارد که U یک ایزومتری جزئی است ، P یک اپراتور خود منفی غیر منفی و اولیه است. فضای U بسته شدن دامنه P است .

اپراتور U به دلیل مشکلات زیر باید به یک ایزومتری جزئی ضعیف شود تا یکنواختی. اگر است تغییر یک طرفه در لیتر 2 ( N )، سپس | A | = { A * A } ½ = من . بنابراین اگر A = U | A | ، U باید A باشد ، که واحد نیست.

وجود یک قطب قطعی نتیجه لیم داگلاس است :

Lemma اگر A ، B اپراتورهای محدود در فضای هیلبرت H و A * A ≤ B * B باشند ، آنگاه یک انقباض C وجود دارد به طوری که A = CB . علاوه بر این ، C اگر Ker ( B * ) ⊂ Ker ( C ) بی نظیر باشد.

عملگر C را می توان با C (Bh) تعریف کرد : = Ah برای تمام h در H ، با تداوم بسته شدن Ran ( B ) ، و با صفر بر روی مکمل متعامد برای تمام H گسترش یافته است . این لیمه از آنجا که A * A ≤ B * B حاکی از کر ( B ) ⊂ کر ( A ) است.

به خصوص. اگر A * A = B * B ، آنگاه C یک ایزومتری جزئی است ، اگر Ker ( B * ) ⊂ Ker ( C ) بی نظیر باشد. به طور کلی ، برای هر اپراتور محدود A ،

$\ displaystyle A ^ {*} A = \ left (A ^ {*} A \ Right) ^ {\ frac {1} {2}} \ سمت چپ (A ^ {*} A \ Right) ^ {\ frac { 1} {2}} ،}$

که در آن ( * ) ½ منحصر به فرد جذر مثبت است * داده شده توسط معمول حساب عملکردی . بنابراین ، توسط لیم ، ما داریم

$\ displaystyle A = U \ left (A ^ {*} A \ Right) ^ {\ frac {1} {2}}}$

برای برخی از ایزومتری های جزئی U ، که اگر Ker ( A * ) ⊂ Ker ( U ) بی نظیر باشد. P را در نظر بگیرید ( A * A ) ½ و تجزیه قطبی A = UP بدست می آید . توجه کنید که یک استدلال مشابه می تواند برای نشان دادن A = P'U ' ، که در آن P' مثبت و U ' یک ایزومتری جزئی است ، استفاده شود.

هنگامی که H- متناهی باشد ، U می تواند به یک اپراتور واحد افزایش یابد. این به طور کلی صحیح نیست (مثال بالا را ببینید). از طرف دیگر ، تجزیه قطبی را می توان با استفاده از نسخه اپراتور تجزیه ارزش مفرد نشان داد .

با توجه به حساب کارکرد پیوسته ، | A | در C * -algebra تولید شده توسط A است . یک جمله مشابه اما ضعیف تر برای ایزومتری جزئی دارد: U در جبر فون نویمان تولید شده توسط A است . اگر A غیرقابل برگشت باشد ، قطب قطعه U در محور C * نیز خواهد بود.

اپراتورهای بدون مرز [ ویرایش ]

اگر A یک اپراتور بدون مرز بسته و متراکم تعریف شده بین فضاهای پیچیده هیلبرت باشد ، باز هم یک تجزیه قطبی (منحصر به فرد) دارد

$A = U | A | \،$

کجا | A | یک عملگر انتفاعی غیر منفی (احتمالاً بدون مرز) با خود دامنه A است ، و U یک ایزومتری جزئی است که در مکمل متعامد دامنه Ran (| A |) ناپدید می شود .

در این اثبات از همان لمی که در بالا استفاده شده است استفاده می شود که بطور کلی برای اپراتورهای بدون محدودیت انجام می شود. اگر Dom ( A * A ) = Dom ( B * B ) و A * Ah = B * Bh برای همه h ∈ Dom ( A * A ) باشد ، در این صورت یک ایزومتری جزئی U وجود دارد که A = UB باشد. U اگر Ran ( B ) ⊂ ⊂ Ker ( U ) بی نظیر باشد) اپراتور حال بسته و پر تضمین می کند تعریف شده است که اپراتور * خود الحاقی (با دامنه متراکم) است و در نتیجه اجازه می دهد تا یک به تعریف ( * ) ½ . استفاده از لیم باعث تجزیه قطبی می شود.

اگر یک اپراتور بیکران است وابسته به فون نویمان جبر M ، و = UP تجزیه قطبی آن است، و سپس U در M و بنابراین طرح طیفی است P ، 1 B ( P )، برای هر مجموعه ای بورل B در [ 0 ، ∞).

تجزیه قطبی Quaternion [ ویرایش ]

تجزیه قطبی کواترنیون H بستگی به واحد 2 بعدی واحد دارد $\ displaystyle \ lbrace xi + yj + zk \ in H: x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1 \ rbrace$ از ریشه های مربع از منفی یک . با توجه به هر گونه r در این کره و زاویه −π < a ≤ π ، در مقابل $e ^ {{ar}} = \ cos (a) + r \ \ sin (a)$ در واحد 3-حوزه از H . برای a = 0 و a = π ، وردور 1 یا 1 regardless است ، صرف نظر از اینکه کدام r انتخاب شده است. هنجار تی یک چهارگانه Q است فاصله اقلیدسی از مبدأ به س . وقتی یک کواترنیون فقط یک عدد واقعی نیست ، پس یک قطب منحصر به فرد قطبی وجود دارد $\ displaystyle q = te ^ {ar}.$

تجزیه مسطح جایگزین [ ویرایش ]

در هواپیمای دکارتی ، تجزیه حلقه مسطح جایگزین به شرح زیر ایجاد می شود:

اگر x ≠ 0 ، z = x (1 + ε ( y / x )) یک قطبی از یک عدد دو برابر z = x + y ε است ، که در آن ε 2 = 0 ؛ به عنوان مثال ، ε nilpotent است . در این تجزیه قطبی ، دایره واحد با خط x = 1 ، زاویه قطبی توسط شیب y / x جایگزین شده است ، و شعاع x در نیم صفحه چپ منفی است.
اگر x 2 ≠ y 2 باشد ، می توان از hyperbola x 2 - y 2 = 1 و ترکیب آن x 2 - y 2 = −1 استفاده کرد تا یک شکل قطبی را بر اساس شاخه واحد هایپرگلای واحد از طریق (1 ، 0) تشکیل دهد. ) . این شاخه با زاویه هذلولی a پارامتر شده و نوشته شده است
$\ displaystyle \ cosh (a) + j \ \ sinh (a) = \ exp (Aj) = e ^ {Aj}$
که در آن از j 2 = +1 و حسابی [6] از اعداد تقسیم پیچیده استفاده می شود. شاخه از طریق (-1، 0) - توسط ترسیم الکترونیکی عج . از آنجا که عمل ضرب توسط j نقطه ای را در خط y = x نشان می دهد ، هایپربولا دوم دارای شاخه هایی است که توسط je aj یا - je aj ردیابی شده اند . بنابراین یک نقطه در یکی از چهارگوشها در یکی از اشکال تجزیه قطبی است:
$\ displaystyle re ^ {aj}، - re ^ {aj}، rje ^ {aj}، - rje ^ {aj}، \ quad r> 0$
مجموعه {1 ، − 1 ، j ، −j} دارای محصولاتی است که آن را به صورت چهار گروه کلاین ایزومورفیک می کند . بدیهی است که تجزیه قطبی در این مورد شامل عنصری از آن گروه است.

تعیین عددی تجزیه قطبی ماتریس [ ویرایش ]

برای محاسبه تقریبی تجزیه قطبی A = UP ، معمولاً عامل واحد U تقریبی می شود. [7] [8] تکرار مبتنی بر روش هرون برای ریشه مربع 1 است و محاسبه می کند{\ نمایشگر U_ {0} = A ${\ نمایشگر U_ {0} = A$ ، تسلسل و توالی

${\ displaystyle U_ {k + 1} = {\ frac {1} {2}} \ left (U_ {k} + \ left (U_ {k} ^ ^} *} \ Right) ^ {- 1} \ Right) ، \ qquad k = 0،1،2 ، \ ldots$

ترکیبی از وارونگی و مزدوج هرمیتس به گونه ای انتخاب شده است که در تجزیه ارزش مفرد ، عوامل واحد یکسان باقی می مانند و تکرار به روش هرون روی مقادیر مفرد کاهش می یابد.

این تکرار اساسی ممکن است برای سرعت بخشیدن به روند اصلاح شود:

در هر مرحله یا در فواصل منظم ، دامنه مقادیر مفرد از $بریتانیا}$ تخمین زده می شود و سپس ماتریس به آن ذخیره می شود $\ displaystyle \ gamma _ {k} U_ {k}}$ برای متمرکز کردن مقادیر مفرد در حدود 1 . ضریب مقیاس $\ گاما _ {k}$ با استفاده از هنجارهای ماتریس ماتریس و معکوس آن محاسبه می شود. نمونه هایی از چنین برآوردهای مقیاس عبارتند از:
$\ displaystyle \ gamma _ {k} = {\ sqrt [{4}] {\ frac {\ left \ | U_ {k} ^ {- 1} \ Right \ | _ {1} \ left \ | U_ {k } ^ {- 1} \ Right \ | _ {\ infty}} {\ left \ | U_ {k} \ Right \ | _ {1} \ left \ | U_ {k} \ Right \ | _ {\ infty }}}$
با استفاده از هنجارهای ردیف جمع و ستون جمع یا
$\ displaystyle \ gamma _ {k} = {\ sqrt {\ frac {\ left \ | U_ {k} ^ {- 1} \ Right \ | _ {F}} {\ left \ | U_ {k} \ Right \ | _ {F}}}}}$
با استفاده از هنجار Frobenius . از جمله عامل مقیاس ، تکرار اکنون است
$\ displaystyle U_ {k + 1} = {\ frac {1} {2}} \ left (\ gamma _ {k} U_ {k} + {\ frac {1 {\ gamma _ {k}}} \ سمت چپ (U_ {k} ^ {*} \ راست) ^ {- 1} \ راست) ، \ qquad k = 0،1،2 ، \ ldots$
تجزیه QR را می توان در مرحله آماده سازی مورد استفاده برای کاهش یک ماتریس منحصر به فرد به یک ماتریس کوچکتر به طور منظم، و در داخل هر مرحله برای سرعت بخشیدن به محاسبه وارون.
روش هرون برای محاسبه ریشه های $\ displaystyle x ^ {2} -1 = 0$ می توان با روش مرتبه بالاتر جایگزین کرد ، به عنوان مثال بر اساس روش مرتبه سوم هالی ، و در نتیجه
$left \ displaystyle U_ {k + 1} = U_ {k} \ left (I + 3U_ {k} ^ {*} U_ {k} \ درست) ^ {- 1} \ چپ (3I + U_ {k} ^ {) *} U_ {k} \ درست) ، \ qquad k = 0،1،2 ، \ ldots$
این تکرار می تواند دوباره با نجات ترکیب شود. این فرمول خاص این مزیت را دارد که در ماتریس های تک یا مستطیل A نیز کاربرد دارد .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Polar_decomposition

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی

تجزیه قطبی

فهرست

خواص [ ویرایش ]

تفسیر شهودی [ ویرایش ]

ارتباط با SVD [ ویرایش ]

ساخت و اثبات وجود [ ویرایش ]

اپراتورهای محدود در فضای هیلبرت [ ویرایش ]

اپراتورهای بدون مرز [ ویرایش ]

تجزیه قطبی Quaternion [ ویرایش ]

تجزیه مسطح جایگزین [ ویرایش ]

تعیین عددی تجزیه قطبی ماتریس [ ویرایش ]

https://en.wikipedia.org/wiki/Polar_decomposition

مشخصات وب

موضوعات وب

پیوندها

پیوندهای روزانه

آرشیو وب

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین