منیفولد شبه ریمانی

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه دهم تیر ۱۳۹۹ | 14:50

در هندسه دیفرانسیل ، یک منیفولد شبه Riemannian ، [1] [2] که همچنین به آن منیفولد نیمه رییمانی نیز گفته می شود ، یک مانیفولد متفاوت با یک تانسور متریک است که در همه جا بی نظیر است . این یک تعمیم از یک منیفولد ریمانی است که در آن نیاز به قطعیت مثبت استراحت می شود.

هر فضای مماس از منیفولد شبه ریومانی یک فضای بردار شبه اقلیدسی است .

یک مورد خاص که در نسبیت عام مورد استفاده قرار می گیرد ، یک مانیفولد چهار بعدی لورنتزی برای مدل سازی فضا است ، جایی که بردارهای مماس می توانند به عنوان گاهشمار ، تهی و فضایی طبقه بندی شوند .

فهرست

مقدمه [ ویرایش ]

مانیفولدز [ ویرایش ]

مقالات اصلی: منیفولد و منیفولد متفاوت

در هندسه دیفرانسیل ، منیفولد متمایز فضایی است که به صورت محلی شبیه به فضای اقلیدسی است . در یک فضای اقلیدسی بصورت N بعدی ، هر نقطه با عدد واقعی قابل مشخص است. اینها مختصات نقطه نامیده می شوند.

یک منیفولد متفاوت با n تفاوت کلی ، تعمیم فضای اقلیدسی N- بعدی است. در یک منیفولد فقط ممکن است مختصات محلی را تعریف کنید . این کار با تعیین تکه های مختصات حاصل می شود : زیر مجموعه های منیفولد که می توانند در فضای اقلیدسی بصورت بعدی n شکل داده شوند.

برای جزئیات بیشتر به منیفولد ، منیفولد متفاوت ، وصله مختصات مراجعه کنید.

فضاهای مماس و تنورهای متریک [ ویرایش ]

مقالات اصلی: فضای مماس و تانسور متریک

در ارتباط با هر نقطه $پ$ در یک $ن$ منیفولد متمایز بعدی $م$ یک فضای مماس (اشاره شده است) $T_ {p} M$ ) این یک $ن$ فضای بردار باریکی که عناصر آنها را می توان کلاسهای هم ارزی منحنیهای عبور از نقطه تصور کرد $پ$ .

تانسور متریک است غیر منحط ، صاف، متقارن، دارای دو خط مستقیم بر روی نقشه است که یک عدد حقیقی به جفت بردار مماس در هر فضای مماس از چند برابر. نشان دادن تانسور متریک توسط $گرم$ ما می توانیم این را بیان کنیم

$g: T_ {p} M \ بار T_ {p} M \ to {\ mathbb {R}.$

نقشه متقارن و دو طرفه است بنابراین اگر ${\ displaystyle X ، Y ، Z \ in T_ {p} M$ بردارهای مماس در یک نقطه هستند $پ$ به مانیفولد $م$ سپس ما

$\ ، g (X ، Y) = g (Y ، X)$
$\ ، g (aX + Y ، Z) = ag (X، Z) + g (Y، Z)$

برای هر شماره واقعی ${\ نمایشگر a \ in \ mathbb {R}$ .

این $گرم$ است غیر منحط یعنی هیچ غیر صفر وجود دارد $X \ در T_pM$ به طوری که $\ ، g (X ، Y) = 0$ برای همه $Y \ در T_pM$ .

امضاهای متریک [ ویرایش ]

مقاله اصلی: امضای متریک

با توجه به یک تنش g متریک بر روی یک منیفولد واقعی n- بعدی ، فرم چهارگانه q ( x ) = g ( x ، x ) در ارتباط با تانسور متریک اعمال شده برای هر بردار از هر پایه مستقیمی ، n مقادیر واقعی را تولید می کند . طبق قانون بی تحرکی سیلوستر ، تعداد هر یک از مقادیر مثبت ، منفی و صفر تولید شده از این طریق متغیرهای تانسور متریک ، مستقل از انتخاب مبنای متعامد است. امضا ( ص ، س ، R )از تانسور متریک این عدد را می دهد ، به همان ترتیب نشان داده شده است. یک تنشور متریک غیر انحطاطی دارای r = 0 است و امضا ممکن است نشان داده شود ( p ، q ) ، در جایی که p + q = n .

تعریف [ ویرایش ]

خمینه شبه ریمانی $(م ، گرم)$ یک مانیفولد متفاوت است $م$ مجهز به یک تانسور متریک متناوب متقارن در همه جا غیر انحطاط ، صاف و متقارن $گرم$ .

چنین متریک را یک متریک شبه ریمانی می نامند . برای یک فیلد بردار اعمال می شود ، مقدار میدان مقیاس نتیجه در هر نقطه از منیفولد می تواند مثبت ، منفی یا صفر باشد.

امضای متریک شبه ریومانی ( p ، q ) است ، که در آن هر دو p و q غیر منفی هستند. شرط عدم انحطاط دلالت دارد که p و q در کل منیفولد یکسان هستند.

منیفولد لورنتزی [ ویرایش ]

چند برابر لورنتزی یک مورد خاص مهم یک خمینه شبه ریمانی که در آن است امضای متریک است (1، N -1) (به عبارت ( N -1، 1) ؛ نگاه کنید به قرارداد علامت ). این اندازه گیری ها را معیارهای لورنتزی می گویند . آنها به نام فیزیکدان هلندی هندورک لورنتس نامگذاری شده اند .

برنامه های کاربردی در فیزیک [ ویرایش ]

پس از مانیفولدهای ریمانی ، منیفولدهای لورنتزی مهمترین زیر مجموعه منیفولدهای شبه ریمانی را تشکیل می دهند. آنها در کاربردهای نسبیت عام مهم هستند .

فرضیه اصلی نسبیت عمومی این است که زمان مکانی را می توان به عنوان یک منیفولد 4 بعدی امضاء لورنتزی (3 ، 1) یا معادل آن (1 ، 3) مدل کرد . بر خلاف ریمانی manifolds با معیارهای مثبت قطعی، یک امضای نامحدود اجازه می دهد تا بردارهای مماس به طبقه بندی می شود زمانوار ، پوچ یا مکانمانند . با امضایی از ( p ، 1) یا (1، q ) ، منیفولد نیز از نظر محلی (و احتمالاً در سطح جهان) دارای زمان محلی است (به ساختار Causal مراجعه کنید ).

خواص منیفولدهای شبه ریومانی [ ویرایش ]

دقیقاً همان فضای اقلیدسی $\ mathbb {R} ^ {n$ می توان از آن به عنوان مدل منیفولد رییمانی ، فضای مینکوفسکی استفاده کرد $\ mathbb {R} ^ {n-1،1$ با متریک مسکو مینکوفسکی مدل منیفولد لورنتزی است. به همین ترتیب ، فضای مدل برای منیفولد شبه ریمانی امضا ( p ، q ) است $\ mathbb {R} ^ {p، q$ با متریک

$g = dx_1 ^ 2 + \ cdots + dx_p ^ 2 - dx_ {p + 1} ^ 2 - \ cdots - dx_ {p + q} ^ 2$

برخی از قضایای اساسی هندسه رییمانی را می توان در مورد شبه ریمانیا تعمیم داد. به ویژه ، قضیه بنیادی هندسه رییمانی در مورد مانیفولدهای شبه ریمانی نیز صادق است. این اجازه می دهد تا از ارتباط Levi-Civita در یک منیفولد شبه ریمانی به همراه تانسور انحنای مرتبط صحبت کند . از سوی دیگر ، بسیاری از قضایا در هندسه ریمانی وجود دارد که در مورد کلیات وجود ندارد. به عنوان مثال، آن است که نه درست است که هر چند برابر صاف اذعان متریک شبه ریمانی از امضا داده شده است. برخی از انسدادهای توپولوژیکی وجود دارد . بعلاوه ، یک فرعیهمیشه ساختار یک منیفولد شبه ریوایی را به ارث نمی برد. به عنوان مثال ، تانسور متریک بر روی هر منحنی شبیه به نور صفر می شود . کلیفتون-پل چنبره یک مثال از یک خمینه شبه ریمانی است که جمع و جور اما کامل نیست فراهم می کند، ترکیبی از خواص که هاف-Rinow قضیه اجازه برای ریمانی manifolds. [3]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Pseudo-Riemannian_manifold#Definition

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی