مانیفولد مرکز

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه دهم تیر ۱۳۹۹ | 14:44

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

یک توپ تندرست. این حرکت به خوبی توسط قوانین نیوتن توضیح داده شده است ، مگر در هنگام گزاف گویی وقتی باید تغییر شکل توپ را در نظر بگیریم.

در ریاضیات سیستم های در حال تحول ، در ابتدا مفهوم منیفولد مرکز برای تعیین ثبات تعادل های انحطاطی تهیه شد. پس از آن ، مفهوم منیفولدهای مرکز برای مدل سازی ریاضی اساسی بود .

نمونه توپ پرتاب شده به هوا را در نظر بگیرید. قوانین حرکت نیوتن ادعا می کند که ما با حل معادلات دیفرانسیل برای موقعیت و سرعت آن می توان حرکت توپ ، تکامل آن را پیش بینی کرد . حالا چه اتفاقی می افتد که توپ در اثر ضربه پرش کند ؟ وقتی توپ پرش می شود ، یک توپ تندرست تغییر شکل می یابد و از بین می رود و نیوتن دیگر نمی تواند پیش بینی تکامل را داشته باشد. در عوض ممکن است از معادلات مکانیک پیوسته استفاده کنیمبرای توصیف چگونگی تعامل همه ذرات تشکیل دهنده توپ در طول گزاف گویی. پس از گزاف گویی ، تغییر شکل چربی به سرعت از بین می رود تا دوباره توپ را از قوانین نیوتن پیروی کند. وقتی می بینیم که یک توپ از بسیاری از قسمت های تعامل تعامل ساخته شده است ، پس توضیحات نیوتن از نظر توپ از نظر موقعیت و سرعت درست (همراه با حالت های چرخشی) مانیفولد اصلی توپ تغییر شکل دهنده است. [1] این است که ، یک منیفولد مرکزی تحول متغیرهای نسبتاً ساده ای را بوجود می آورد که وقتی یک سیستم اجزای متقابل متلاشی بسیاری داشته باشد.

مانیفولدهای مرکز نقش مهمی در: نظریه تقاطع دارند زیرا رفتارهای جالب در منیفولد مرکز اتفاق می افتد. و ریاضیات چند مقیاس به دلیل پویایی طولانی مدت مقیاس میکرو اغلب به یک منیفولد مرکز نسبتاً ساده جذب می شود که شامل متغیرهای مقیاس درشت است.

فهرست

تعریف [ ویرایش ]

منیفولدرهای مرکزی (قرمز) و ناپایدار (سبز) نقطه تعادل گره زین سیستم $\ displaystyle {\ dot {x}} = x ^ {2} ،}$ $\ displaystyle {\ dot {y}} = y$ .

نقاط منتخب تصادفی از فضای فاز 2D به صورت نمایی به یک منیفولد مرکز 1D که دینامیک آنها کند است (غیر نمایی) تبدیل می شوند. مطالعه پویایی مانیفولد مرکز ثبات نقطه ثابت غیرپربولیک در مبدا را تعیین می کند.

مرکز چند برابر از سیستم های دینامیکی است بر اساس نقطه تعادل این سیستم برای یک توپ تعادل توپ در حالت استراحت و undeformed است. یک منیفولد مرکزی از تعادل سپس شامل مدارهای اطراف می شود که نه به سرعت از بین می روند و نه به سرعت از نظر نمایی رشد می کنند — برای یک توپ ، اینها شامل حرکات متحرک (و چرخش) در مانیفولد مرکز است ، اما شامل تغییر شکل توپ نیز نمی شود. به دلیل میرایی تغییر شکل از بین می رود.

از نظر ریاضی ، اولین قدم هنگام مطالعه نقاط تعادلی سیستم های دینامیکی ، خطی سازی سیستم و سپس محاسبه مقادیر ویژه و مجرای آن است . مجرای ناقص (و خصوصاً مشخصه های خاص در صورت بروز) مربوط به مقادیر ویژه با مقادیر منفی واقعی ، پایه ای را برای فضای خاص پایدار تشکیل می دهند . خصوصيات ويژه ويژگي هاي خاص مربوط به مقادير ويژه با قسمت واقعي مثبت ، محيط زيست ناپايدار را تشکيل مي دهد. اگر نقطه تعادل hyperbolic است (یعنی همه مقادیر ویژه خطی دارای قسمت واقعی غیرزرو هستند ) ، سپس قضیه هارتمن-گروبمن تضمین می کند که این مقادیر خاص و مقادیر ویژه بطور کامل دینامیک سیستم را در نزدیکی تعادل مشخص می کنند.

اما اگر تعادل دارای مقادیر ویژه ای باشد که قسمت واقعی آن صفر باشد ، پس مجرای مربوطه (تعمیم یافته) مرکز ویژه را center برای یک توپ تشکیل می دهند ، فضای ویژه مرکزیت مجموعه ی کل مجموعه های دینامیکی بدن سفت و سخت نیست . [2] فراتر از خطی شدن ، وقتی که ما اختلالات ناشی از غیرخطی بودن یا اجبار در سیستم دینامیکی را به حساب می آوریم ، فضای ویژه مرکز به چند برابر مرکز نزدیک تغییر شکل می دهد. [3] اگر مقادیر ویژه دقیقاً صفر باشند (همانطور که برای توپ وجود دارد) ، نه اینکه قسمت واقعی صفر باشد ، آنگاه فضای ویژه مربوطه به طور خاص تر باعث ایجاد یک مانیفولد کند می شود.. رفتار روی منیفولد مرکزی (آهسته) به طور کلی توسط خطی شدن تعیین نمی شود و بنابراین ممکن است ساخت آن دشوار باشد.

به طور مشابه ، غیرقانونی بودن یا مجبور کردن در سیستم ، زمینه های ویژه پایدار و ناپایدار را به یک منیفولد پایدار و منیفولد ناپایدار در مجاورت نزدیک می کند . [4] این سه نوع منیفولد سه مورد از منیفولد ثابت است .

اجازه دهید $\ frac {d {\ textbf {x}}} {dt}} = {\ textbf {f}} ({\ textbf {x}})$ یک سیستم دینامیکی با نقطه تعادل باشید $\ textbf {x}} ^ {*$ . خطی شدن سیستم در نزدیکی نقطه تعادل است

$\ displaystyle {\ frac {d {\ textbf {x}}} t dt}} = A {\ textbf {x}} ، \ quad {\ text {جایی که} A = {\ frac {d {\ textbf f}}} {d {\ textbf {x}}}} ({\ textbf {x}} ^ {*}).$

ماتریس ژاکوبین {\ نمایشگر A $آ$ سه زیر فضای اصلی را تعریف می کند:

فضای فرعی پایدار ، که توسط مجرای ناقص تعمیم یافته مربوط به مقادیر ویژه پوشیده شده است
$\ لامبدا$ با $\ operatorname {پاسخ} \ lambda <0$ ؛
فضای ناپایدار ، که توسط مجرای نژادی عمومی مربوط به مقادیر ویژه پوشیده شده است
$\ لامبدا$ با $\ operatorname {پاسخ} \ lambda> 0$ ؛
فضای داخلی مرکز ، که توسط مجرای نژادی تعمیم یافته مربوط به مقادیر ویژه پوشیده شده است
$\ لامبدا$ با $\ operatorname {پاسخ} \ lambda = 0$ .

بسته به نوع برنامه ، سایر زیرزمین های مورد علاقه شامل زیر فضاهای پایدار مرکز ، ناپایدار ، زیر مرکز ، کند و سریع می باشد. این زیر فضاها همه زیرزمینهای ثابت معادله خطی هستند.

مطابق با سیستم خطی ، سیستم غیرخطی دارای منیفولدهای ثابت است که هر یک از آنها مجموعه ای از مدارهای سیستم غیرخطی تشکیل شده است. [5]

مانیفولد ثابت ثابت به زیر فضای پایدار و با همان بعد منیفولد پایدار است .
منیفولد ناپایدار از همان ابعاد و مجهز به فضای ناپایدار است.
یک منیفولد مرکز از همان ابعاد و مماس با زیر فضای مرکزی است. اگر طبق معمول ، مقادیر ویژه ای از فضای اصلی مرکز دقیقاً صفر باشد ، نه فقط قسمت واقعی صفر ، آنگاه یک منیفولد مرکز اغلب منیفولد آهسته نامیده می شود .

قضایای منیفولد مرکز [ ویرایش ]

قضیه وجود چند منظوره مرکز بیان می کند که اگر عملکرد سمت راست باشد ${\ textbf {f}} ({\ textbf {x}})$ است $C ^ {r$ ( $r$ بارها به طور مداوم متمایز می شوند) ، سپس در هر نقطه تعادل ، محله ای با اندازه محدود وجود دارد که حداقل یکی از آنها وجود دارد [6]

منحصر به فرد $C ^ {r$ منیفولد پایدار ،
منحصر به فرد $C ^ {r$ منیفولد ناپایدار ،
و (لزوماً منحصر به فرد نیست) $C ^ {{r-1}$ مانیفولد مرکز

به عنوان مثال ، یک مختصات غیرخطی به یک فرم عادی می تواند به وضوح این سه منیفولد را از هم جدا کند. [7] یک سرویس وب [1] در حال حاضر جبر رایانه لازم را برای طیف وسیعی از سیستم های ابعادی محدود انجام می دهد.

در موردی که منیفولد ناپایدار وجود نداشته باشد ، منیفولدهای مرکزی اغلب مربوط به مدل سازی هستند. سپس قضیه ظهور مانیفولد مرکز می گوید که محله ممکن است به گونهای انتخاب شود که تمام راه حلهای سیستم باقی بماند در محله بطور نمایی به سرعت به برخی راه حلها گرایش پیدا کند. ${\ textbf {y}} (t)$ در مانیفولد مرکز. به این معنا که، $\ displaystyle {\ textbf {x}} (t) = {\ textbf {y}} (t) + {\ mathcal {O}} (e ^ {- \ beta 't}) \ quad {\ text {به عنوان }} t \ to \ infty \،}$ برای برخی از نرخ $\ بتا$ . [8] این قضیه ادعا می کند که برای طیف گسترده ای از شرایط اولیه ، راه حل های کامل سیستم به صورت نمایی به سرعت به یک محلول در منیفولد مرکز ابعادی نسبتاً کم فروپاشی می شود.

قضیه سوم ، قضیه تقریبی ، تأیید می کند که اگر یک بیان تقریبی برای چنین مانیفولد های ثابت است ، بگویید ${\ textbf {x}} = {\ textbf {X}} ({\ textbf {s}})$ ، معادله دیفرانسیل سیستم را باقیمانده را برآورده می کند $\ displaystyle {\ mathcal {O}} (| {\ textbf {s}} | ^ {p})$ مانند $\ textbf {s}} \ به {\ textbf {0}}$ ، سپس منیفولد ثابت تقریباً نزدیک می شود ${\ textbf {x}} = {\ textbf {X}} ({\ textbf {s}})$ به خطا در همان سفارش ، یعنی $\ displaystyle {\ mathcal {O}} (| {\ textbf {s}} | ^ {p})$ .

منیفولدهای مرکز سیستمهای نامتناهی D و / یا سیستمهای غیر خودمختار [ ویرایش ]

با این حال ، برخی از برنامه ها ، از جمله پراکندگی در لوله ها یا کانال ها ، نیاز به یک منیفولد مرکز بی نهایت دارند. [9] عمومی ترین و قدرتمندترین نظریه توسط آولباخ و ونر توسعه یافت. [10] [11] [12] آنها به سیستم های دینامیکی غیر مستقل پرداختند ${\ frac {d {\ textbf {x}}} {dt}} = {\ textbf {f}} ({\ textbf {x}} ، t)$ در ابعاد نامتناهی ، با مانیفولد های بعدی بصورت بالقوه بی ثبات ، بی ثبات و مرکز. علاوه بر این ، آنها به طور مفیدی تعریف منیفولدها را تعمیم دادند به طوری که منیفولد مرکز با مقادیر ویژه ای مرتبط باشد به گونه ای که $| \ operatorname {Re} \ lambda | \ leq \ alpha$ ، منیفولد پایدار با مقادیر ویژه $\ operatorname {Re} \ lambda \ leq - \ beta <-r \ alpha$ ، و منیفولد ناپایدار با مقادیر خاص $\ operatorname {Re} \ lambda \ geq \ beta> r \ alpha$ . آنها وجود این مانیفولدها و ظهور مانیفولد مرکز را از طریق دگرگونیهای مختصات غیرخطی ثابت کردند.

پوتشه و راسموسن یک نظریه تقریبی مربوطه را برای چنین سیستمهای ابعادی بعدی و غیر خودمختار ایجاد کردند. [13]

نظریه جایگزین به عقب [ ویرایش ]

تمام نظریه های موجود در بالا به دنبال ایجاد ویژگی های منیفولد ثابت برای یک مشکل خاص خاص هستند. به طور خاص ، یک منیفولد ساخته می شود که یک مانیفولد ثابت از سیستم داده شده تقریبی دارد. یک روش جایگزین برای ساخت منیفولدهای دقیق ثابت برای سیستمی است که سیستم مورد نظر را تقریب می دهد --- به نام یک تئوری عقب. هدف این است که به طور مفیدی نظریه را برای طیف وسیع تری از سیستم ها و تخمین خطاها و اندازه دامنه اعتبار استفاده کنید. [14] [15]

این روش به تجزیه و تحلیل خطای به عقب ثابت در مدل سازی عددی می پردازد.

منیفولد مرکز و آنالیز سیستمهای غیرخطی [ ویرایش ]

از آنجا که ثبات تعادل با "ثبات" منیفولدهای آن در ارتباط است ، وجود یک مانیفولد مرکز این سؤال را در مورد پویایی در مانیفولد مرکز ایجاد می کند. این با کاهش منیفولد مرکز ، که در ترکیب با برخی از پارامترهای سیستم μ ، منجر به مفاهیم شکافها می شود ، تجزیه و تحلیل می شود .

بر همین اساس ، دو سرویس وب در حال حاضر جبر رایانه ای لازم را برای ساختن فقط منیفولد مرکز برای طیف گسترده ای از سیستم های ابعاد محدود (به شرط اینکه به صورت چندمجهانی باشند) در دست می گیرند.

یک سرویس وب [2] برای سیستمهایی که به صورت خطی مورب هستند ، مانیفولدهای کند را ایجاد می کند ، اما ممکن است غیر خودمختار یا تصادفی باشد. [16]
یک سرویس وب دیگر [3] منیفولدهای مرکز را برای سیستمهایی با خطی سازی کلی ایجاد می کند ، اما فقط برای سیستم های خودمختار است. [17]

مثالها [ ویرایش ]

ورود ویکی پدیا در مانیفولدهای کند ، مثالهای بیشتری را نشان می دهد.

یک مثال ساده [ ویرایش ]

سیستم را در نظر بگیرید

${\ dot {x}} = x ^ {2} ، \ quad {\ dot {y}} = y.$

مانیفولد ناپایدار در مبدأ محور y است ، و مانیفولد پایدار مجموعه بی اهمیت {(0 ، 0) است. هر مدار در مانیفولد پایدار معادله ای از فرم را برآورده نمی کند $y = Ae ^ {{- 1 / x}}$ برای برخی از ثابت واقعی . از این رو نتیجه می گیرد که برای هر A واقعی ، می توانیم با جدا کردن منحنی ، یک منیفولد مرکز ایجاد کنیم $y = Ae ^ {{- 1 / x}}$ برای x > 0 با محور x منفی (از جمله منبع). علاوه بر این ، تمام منیفولدها در مرکز دارای این غیرتخصیصی بالقوه هستند ، اگرچه اغلب غیر یکتایی فقط در مقادیر پیچیده غیرفیزیکی متغیرها رخ می دهد.

معادلات دیفرانسیل با تأخیر اغلب دارای bifurcations Hopf هستند [ ویرایش ]

مثال دیگر نشان می دهد که چگونه یک منیفولد مرکزی bifurcation Hopf را که برای پارامتر رخ می دهد ، مدل می کند $یک \ تقریبا 4$ در معادله دیفرانسیل تأخیر $dx} / {dt} = - ax (t-1) -2x ^ {2} -x ^ {3$ . به طور دقیق ، تأخیر باعث می شود این DE بی نهایت ابعادی شود.

خوشبختانه ، ممکن است چنین تأخیرهایی را با این ترفند زیر که متناسب با ابعاد محدود است حفظ کنیم. تعریف کردن $u_ {1} (t) = x (t)$ و متغیر تأخیر زمان تقریبی ، $x (t-1) \ تقریبی u_ {3} (t)$ ، با استفاده از واسطه ها ${du_ {2}} / {dt} = 2 (u_ {1} -u_ {2})$ و ${du_ {3}} / {dt} = 2 (u_ {2} -u_ {3})$ .

برای پارامتر نزدیک بحرانی ، $a = 4 + \ alpha$ از معادله دیفرانسیل تاخیر است و سپس توسط سیستم تقریب

$\ frac {d {\ textbf {u}}} {dt}} = \ left [{\ fill {array} {ccc} 0 & 0 & -4 \\ 2 & -2 & 0 \\ 0 & 2 & -2 \ end {array}} \ راست] {\ textbf {u}} + \ left [{\ آغاز {array} {c} - \ alpha u_ {3} -2u_ {1} ^ {2} -u_ {1} ^ {3} \\ 0 \\ 0 \ end {array}} \ درست].$

وب کپی و کپی کردن مطالب مناسب ، وب [4] از این نظر دامنه پیچیده ای را می یابد ) $(ت)$ و ترکیب پیچیده آن ) ${\ bar {s}} (t)$ ، مانیفولد مرکز

${\ textbf {u}} = \ left [{\ آغاز {array} {c} e ^ {i2t} s + e ^ {- i2t} {\ bar {s} \ \\ {\ frac {1-i {2}} e ^ {i2t} s + {\ frac {1 + i} {2}} e ^ {- i2t} {\ bar {s}} \\ - {\ frac {i} {2}} e ^ i2t} s + {\ frac {i} {2}} e ^ {- i2t} {\ bar {s}} \ end {array}} \ Right] + {O} (\ alpha + | s | ^ {2 })$

و تکامل در مانیفولد مرکز است

$\ frac {ds} {dt}} = \ left [{\ frac {1 + 2i} {10}} \ alpha s - {\ frac {3 + 16i 15}} | s | ^ {2} s \ Right] + {O} (\ alpha ^ {2} + | s | ^ {4})$

این تکامل نشان می دهد که منشاء آن برای خطی ناپایدار است $\ alpha> 0 \ (a> 4)$ ، اما غیرخطی مکعب سپس چرخه حد نزدیک در نزدیکی مانند تقسیم کلاسیک هافف را تثبیت می کند .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Center_manifold

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی