فرو بردن (ریاضیات)

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه دهم تیر ۱۳۹۹ | 14:22

در ریاضیات ، یک غوطه ور است نقشه مشتقپذیر بین manifolds مشتقپذیر که دیفرانسیل در همه جا پوشا . این یک مفهوم اساسی در توپولوژی دیفرانسیل است . مفهوم غوطه وری به معنای غوطه وری است .

فهرست

تعریف [ ویرایش ]

اجازه دهید M و N باشد manifolds مشتقپذیر و $\ displaystyle f \ colon M \ to N$ یک نقشه متمایز بین آنها باشد. نقشه f یک غوطه وری در یک نقطه است $p \ in M$ اگر دیفرانسیل آن باشد

$\ displaystyle Df_ {p} \ colon T_ {p} M \ to T_ {f (p)} N$

یک تابع پوشا نقشه خطی . [1] در این حالت p به یک نقطه معمولی از نقشه f گفته می شود ، در غیر این صورت ، p یک نقطه بحرانی است . یک نقطه ${\ displaystyle q \ in N$ یک مقدار به طور منظم از F اگر تمام نقاط ص در وارون $\ displaystyle f ^ {- 1} (q)$ نقاط منظم هستند نقشه متمایز f که در هر نقطه یک فرومایه است $p \ in M$ غوطه وری خوانده می شود . بدین ترتیب در F غوطه ور اگر دیفرانسیل آن است ${\ نمایشگر Df_ {پ}}$ دارای رتبه ثابت برابر با N است .

کلمه هشدار: برخی از نویسندگان با استفاده از مدت نقطه بحرانی برای توصیف یک نقطه که در آن رتبه از ماتریس ژاکوبین از F در ص است حداکثر است. [2] در واقع ، این مفهوم مفیدتر در نظریه تکینگی است . اگر بعد M از ابعاد N بزرگتر یا مساوی باشد ، این دو مفهوم نقطه بحرانی همزمان هستند. اما اگر ابعاد M از ابعاد N کمتر باشد ، تمام نقاط مطابق تعریف فوق بسیار حیاتی هستند (دیفرانسیل نمی تواند سؤال شود) اما ممکن است رتبه Jacobian حداکثر حداکثر باشد (اگر برابر با کم باشدم ) تعریفی که در بالا گفته شد بیشتر مورد استفاده قرار می گیرد. به عنوان مثال ، در تدوین قضیه سارد .

قضیه فرومایه [ ویرایش ]

با توجه به غوطه وری بین مانیفولد های صاف $f \ colon M \ to N$ الیاف از $f$ نشان داده شده است $\ displaystyle M_ {x} = f ^ {- 1} (\ {p \})}$ می تواند با ساختار منیفولد صاف مجهز شود. این قضیه همراه با قضیه جاسازی ویتنی دلالت بر این دارد که هر منیفولد صاف را می توان به عنوان فیبر یک نقشه صاف توصیف کرد. $\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {m}$ .

به عنوان مثال ، در نظر بگیرید $\ displaystyle f \ colone \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R}$ داده شده توسط $\ displaystyle f (x، y، z) = x ^ {4} + y ^ {4 + z ^ {4.$ ماتریس Jacobian است

$\ displaystyle {\ fill {bmatrix} {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} & {\ frac {\ partial f} {\ partial y} & {\ frac {\ جزئی f} {\ جزئی z}} \ end {bmatrix}} = {\ fill bmatrix} 4x ^ {3} & 4y ^ {3} & 4z ^ 3} \ end {bmatrix}}.$

این رتبه حداکثر در هر نقطه به جز $(۰ ،0 ۰)$ . همچنین ، الیاف

$\ displaystyle f ^ {- 1} (\ {t \}) = \ left \ {(a، b، c) \ in \ mathbb {R} ^ {3}: a ^ {4} + b ^ {4 + c ^ {4} = t \ درست \}}$

می خالی برای $t <0$ ، و برابر با نقطه ای است که $t = 0$ . از این رو ما فقط یک فرومایه صاف داریم $\ displaystyle f \ colone \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R} _ {> 0}،$ و زیر مجموعه ها $\ displaystyle M_ {t} = \ left \ {(a، b، c) \ in \ mathbb {R} ^ {3}: a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4} = t \درست\}}$ منیفولدهای صاف دو بعدی برای $t> 0$ .

مثالها [ ویرایش ]

هر پیش بینی $\ displaystyle \ pi \ colon \ mathbb {R} ^ {m + n} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n} \ زیرمجموعه \ mathbb {R} ^ {m + n}}$
دیفورمورفیسم موضعی
غوطه وری ریمان
پیش بینی در یک بسته نرم افزاری بردار صاف یا یک فیبر صاف کلی تر . فرضیه دیفرانسیل شرط لازم برای وجود یک چیزهای بی اهمیت محلی است .

فرم طبیعی محلی [ ویرایش ]

اگر F : M → N غوطه ور در است ص و F ( ص ) = Q ∈ N ، پس از آن وجود دارد وجود دارد وجود دارد محله باز U از ص در M ، یک محله باز V از Q در N ، و مختصات محلی ( X 1 ، ... ، x m ) در p و ( x 1 ،… ، x n ) در q بدین ترتیبf ( U ) = V و نقشه f در این مختصات محلی پیش بینی استاندارد است

$f (x_ {1}، \ ldots، x_ {n}، x _ {{n + 1}، \ ldots، x_ {m}) = (x_ {1}، \ ldots، x_ {n}).$

این شرح است که وارون کامل F -1 ( س ) در M یک مقدار به طور منظم Q در N تحت یک نقشه مشتق f را : M → N است یا خالی و یا چند تا فرق از ابعاد است کم نور M - کم نور N ، احتمالا قطع . این محتوای قضیه ارزش منظم است (همچنین به عنوان قضیه فرومایه نیز شناخته می شود ). به طور خاص ، نتیجه نقشه برای همه q در N وجود دارد اگر نقشه f یک غوطه وری است.

فرونشست های مانیفولد توپولوژیکی [ ویرایش ]

غوطه وری نیز برای منیفولدهای کلی توپولوژیکی به خوبی تعریف شده است . [3] توپولوژیکی چند برابر غوطه ور است مستمر تابع پوشا F : M → N طوری که برای همه ص در M ، برای برخی از نمودار مستمر ψ در ص و φ در F (ص) ، نقشه ψ -1 ∘ F ∘ φ برابر است به نقشه طرح از R m تا R n ، که در آن m = کم ( M ). n= کم نور ( N ) .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Submersion_(mathematics)

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی