اطلس برای یک فضای توپولوژیک

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه هشتم تیر ۱۳۹۹ | 2:21

در ریاضیات ، به ویژه توپولوژی ، مانیفولد را با استفاده از اطلس توصیف می کنیم . یک اطلس از نمودارهای جداگانه ای تشکیل شده است که تقریباً مناطق مختلف منیفولد را توصیف می کنند. اگر منیفولد سطح زمین باشد ، یک اطلس معنای متداول خود را دارد. به طور کلی ، مفهوم اطلس زیربنای تعریف رسمی یک مانیفولد و ساختارهای مرتبط با آن مانند بسته های بردار و سایر بسته های فیبر است .

فهرست

نمودار[ ویرایش ]

همچنین مشاهده کنید: منیفولد توپولوژیک chart نمودارهای مختصات

تعریف یک اطلس به مفهوم نمودار بستگی دارد . چارت برای توپولوژیک فضا M (یک نیز نامیده می شود جدول مختصات ، مختصات پچ ، هماهنگ نقشه ، و یا قاب های محلی ) است همسانریختی $\ واریفی$ از یک زیر مجموعه U از M به یک زیر مجموعه باز از فضای اقلیدسی . نمودار به طور سنتی به عنوان جفت سفارش ثبت می شود{\ نمایشگر استایل ${\ نمایشگر استایل (U ، \ varphi)}$ .

تعریف رسمی اطلس [ ویرایش ]

اطلس برای یک فضای توپولوژیک $م$ یک خانواده فهرست شده است $\ displaystyle \ {(U _ {\ alpha} ، \ varphi _ {\ alpha}): \ alpha \ in I \}$ نمودارها در $م$ که پوشش می دهد $م$ (به این معنا که، $\ displaystyle \ textstyle \ bigcup _ {\ alpha \ in I} U _ {\ alpha} = M$ ) اگر رمزگذار هر نمودار فضای n- بعدی اقلیدسی است ، پس از آن $م$ گفته می شود یک مانیفولد n- بعدی است .

جمع اطلس است اطلس ، هر چند برخی از نویسندگان با استفاده atlantes . [1] [2]

یک اطلس ${\ displaystyle \ سمت چپ (U_ {i} ، \ varphi _ {i} \ Right) _ {i \ in I}$ روی یک $ن$ منیفولد بعدی $م$ اگر تصویر هر نمودار یکی باشد ، یک اطلس کافی نامیده می شود $\ mathbb {R} ^ {n$ یا $\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}$ ، ${\ نمایش صفحه \ سمت چپ (U_ {من} \ سمت راست) _ {i \ در I}}$ یک پوشش باز به صورت محلی محدود است $م$ و ) $\ displaystyle M = \ bigcup _ {i \ in I} \ varphi _ {i} ^ {- 1} \ سمت چپ (B_ {1} \ سمت راست)$ ، جایی که $B_ {1$ توپ باز شعاع 1 محور در مبدا و $\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}$ نیمه فضای بسته است هر منیفولد قابل شمارش دوم یک اطلس کافی را می پذیرد. [3] علاوه بر این ، اگر $\ displaystyle {\ mathcal {V}} = \ سمت چپ (V_ {j} \ سمت راست) _ {j \ در J}$ پوششی از منیفولد قابل شمارش دوم است $م$ سپس یک اطلس کافی وجود دارد ${\ displaystyle \ سمت چپ (U_ {i} ، \ varphi _ {i} \ Right) _ {i \ in I}$ بر $م$ به طوری که ${\ نمایش صفحه \ سمت چپ (U_ {من} \ سمت راست) _ {i \ در I}}$ یک پالایش است \ $\ mathcal {V}}$ . [3]

نقشه گذار [ ویرایش ]

$م$

$U _ {\ alpha$

$U _ {\ beta$

$\ varphi _ {\ alpha$

$\ varphi _ {\ beta$

$\ tau _ {\ alpha ، \ beta$

$\ tau _ {\ بتا ، \ alpha$

$\ mathbf {R} ^ {n$

دو نمودار روی یک منیفولد و نقشه انتقال مربوطه

نقشه گذار راهی برای مقایسه دو نمودار یک اطلس ارائه می دهد. برای این مقایسه ، ترکیب یک نمودار را با معکوس دیگر در نظر می گیریم . این ترکیب به خوبی تعریف نشده است مگر اینکه هر دو نمودار را به تقاطع دامنه های تعریف آنها محدود کنیم . (برای مثال ، اگر ما یک نمودار اروپا و نمودار روسیه داریم ، می توانیم این دو نمودار را با هم همپوشانی آنها ، یعنی بخش اروپایی روسیه مقایسه کنیم.)

برای دقیق تر ، فرض کنید که $(U _ {\ alpha ، \ varphi _ {\ alpha})$ و $(U _ {\ beta ، \ varphi _ {\ beta})$ دو نمودار برای منیفولد M به گونه ای است که $U _ {\ alpha \ cap U _ {\ beta$ است غیر خالی . نقشه گذار $\ tau _ {\ alpha، \ beta}: \ varphi _ {\ alpha (U _ {\ alpha} \ cap U _ {\ beta}) \ to \ varphi _ {\ beta} (U _ {\ alpha} \ cap U_ \ بتا})$ نقشه تعریف شده توسط

$\ tau _ {\ alpha، \ beta} = \ varphi _ {\ beta \ circ \ varphi _ {\ alpha} ^ {- 1.$

توجه داشته باشید که از آن زمان $\ varphi _ {\ alpha$ و $\ varphi _ {\ beta$ هر دو هومومورفيسم هستند ، نقشه گذار $\ tau _ {\ alpha ، \ beta$ همچنین یک هومومورفیسم است.

ساختار بیشتر [ ویرایش ]

معمولاً یک ساختمان بیش از ساختار توپولوژیکی تمایل به ساختار بیشتری دارد. به عنوان مثال ، اگر کسی یک مفهوم مبهم از تمایز کارکردها روی یک منیفولد را دوست داشته باشد ، باید یک اطلس ساخته شود که عملکردهای انتقال آنها متفاوت باشد. چنین مانیفولد را متفاوت می نامند . با توجه به یک منیفولد متفاوت ، می توان مفهوم بردارهای مماس و سپس مشتقات جهت را به طور ابهام تعریف کرد .

اگر هر عملکرد انتقال یک نقشه صاف باشد ، سپس اطلس را اطلس صاف می نامند و خود منیفولد صاف نامیده می شود . از طرف دیگر می توان نقشه های انتقال را فقط مشتقات مداوم k دانست که در این صورت اطلس گفته می شود.

$C ^ {k}$ .

به طور کلی ، اگر هر عملکرد انتقال به یک گروه شبه متعلق باشد ${\ ریاضی {G}}$ از هومومورفیسم فضای اقلیدسی ، سپس اطلس نامیده می شود ${\ ریاضی {G}}$ -نقشه اطلس. اگر نقشه های انتقال بین نمودارهای یک اطلس یک چیزهای بی اهمیت محلی را حفظ کنند ، سپس اطلس ساختار یک بسته نرم افزاری فیبر را تعریف می کند.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Atlas_(topology)#Transition_maps

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی