جهت پذیری

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه پنجم تیر ۱۳۹۹ | 10:54

جهت گیری با مثلث [ ویرایش ]

هر سطحی مثلث دارد : تجزیه به مثلث ها به گونه ای که هر لبه روی مثلث حداکثر به یک لبه دیگر چسبانده شود. هر مثلث با انتخاب یک جهت در اطراف محیط مثلث ، با یک جهت به هر لبه مثلث مرتبط می شود. اگر این کار به گونه ای انجام شود که ، هنگامی که به هم چسبانده شوند ، لبه های همسایه در جهت مخالف نشان می دهند ، در این صورت جهت گیری سطح مشخص می شود. چنین انتخابی تنها در صورت امکان پذیر بودن سطح امکان پذیر است و در این حالت دقیقا دو جهت گیری متفاوت وجود دارد.

اگر شکل را می توان به طور مداوم در تمام نقاط سطح قرار داد بدون اینکه به تصویر آینه آن تبدیل شود ، در این صورت با انتخاب جهت هر یک از مثلث ها بر اساس به رنگ قرمز-سبز-آبی از هر یک از چهره های داخل مثلث سفارش دهید.

این رویکرد به هر n- manifold که دارای مثلثی است تعمیم می یابد. با این حال ، بعضی از مانیفولد ها مثلثی ندارند و به طور کلی برای n > 4 برخی از n- manifold ها مثلث هایی دارند که نا همسان هستند.

جهت پذیری و همسانی [ ویرایش ]

اگر H 1 ( S ) اولین نشان دهنده همسانی گروهی از یک سطح S ، پس از آن S orientable است اگر و تنها اگر H 1 ( S ) است بی اهمیت زیرگروه چرخش . به طور دقیق تر ، اگر S دارای جهت گیری باشد ، H 1 ( S ) یک گروه abelian رایگان است و اگر نباشد H 1 ( S ) = F + Z / 2 Z در جایی که F آزاد است و Z / 2 Zعامل توسط منحنی میانه در یک باند Möbius تعبیه شده در S تولید می شود .

جهت پذیری منیفولدها [ ویرایش ]

اجازه دهید M یک توپولوژیکی متصل N - منیفولد . چندین تعریف احتمالی وجود دارد که معنای آن جهت دهی به M چیست . برخی از این تعاریف مستلزم آن است که M دارای ساختار اضافی مانند متفاوت بودن باشد. گاهی اوقات ، n = 0 باید در یک مورد خاص ساخته شود. هنگامی که بیش از یکی از این تعاریف در مورد M اعمال می شود ، آنگاه M تحت یک تعریف قابل تغییر است اگر و فقط اگر در جهت دیگران باشد. [2] [3]

قابلیت هدایت منیفولدهای متمایز [ ویرایش ]

شهودی ترین تعاریف مستلزم آن است که M یک مانیفولد متفاوت باشد. این بدان معناست که توابع انتقال در اطلس M دارای توابع C 1 هستند . چنین عملکردی یک عامل تعیین کننده ژاکوبیان را می پذیرد . هنگامی که تعیین کننده Jacobian مثبت است ، عملکرد انتقال گفته می شود که جهت گیری حفظ می شود . یک اطلس گرا در M ، اتلایی است که تمام توابع انتقال جهت گیری را حفظ می کنند. M است orientable اگر آن اذعان می کند یک اطلس گرا. وقتی n > 0 ، جهت گیری از Mیک اطلس حداکثر گرا است. (هنگامی که n = 0 ، جهت گیری M تابعی است M → {{1 }.)

جهت گیری و جهت گیری نیز می تواند از نظر بسته نرم افزاری مماس بیان شود. بسته نرم افزاری مماس یک دسته بردار است ، بنابراین یک دسته فیبر با گروه ساختار GL ( n ، R ) است . این است که ، توابع انتقال منیفولد توابع انتقال را بر روی بسته نرم افزاری مماس که تبدیلات خطی به سمت فیبر هستند ، القا می کنند. اگر می توان گروه ساختار را به گروه GL + ( n ، R ) ماتریس های تعیین کننده مثبت کاهش داد ، یا به طور معادل آن اگر اتل وجود داشته باشد که توابع انتقال آن یک تغییر جهت گیری حفظ خطی را در هر فضای مماس تعیین می کند ، پس مانیفولدم جهت گرا است. برعكس ، M اگر قابل تنظیم باشد اگر گروه ساختار بسته مماس از این طریق كاهش یابد. مشاهدات مشابهی را می توان برای بسته بندی قاب انجام داد.

راه دیگر برای تعریف جهت گیری ها در یک منیفولد متفاوت ، از طریق فرم های حجم است . فرم حجم ، هیچ جا از بین نمی رود ω از ⋀ n T ∗ M ، قدرت بیرونی بالای بسته نرم افزاری cotangent از M است . به عنوان مثال ، R n یک فرم حجم استاندارد دارد که توسط dx 1 ∧ ... ∧ dx n ارائه شده است . با توجه به یک فرم حجم در M ، مجموعه کلیه نمودارهای U → R n که فرم استاندارد حجم آن به سمت چند برابر مثبت ω باز می گرددیک اطلس گرا است. از این رو وجود یک فرم حجم معادل جهت پذیری مانیفولد است.

فرم های حجم و بردارهای مماس می توانند با هم ترکیب شوند تا توضیحی دیگر از قابلیت جهت گیری ارائه دهد. اگر X 1 ، ... ، X n پایه ای از بردارهای مماس در نقطه p باشد ، به این ترتیب پایه گفته می شود اگر ω ( X 1 ، ... ، X n )> 0 باشد ، دست راست است . یک تابع انتقال ، جهت گیری است که اگر و فقط در صورت ارسال پایگاه های دست راست به پایگاه های دست راست ، حفظ شود. وجود یک فرم حجم ، به معنای کاهش گروه ساختار بسته نرم افزاری مماس یا بسته نرم افزاری قاب به GL + ( n ، R ) است.. مانند گذشته ، این دلالت بر جهت گیری M دارد . برعکس ، اگر M دارای جهت گیری باشد ، می توان فرم های حجم محلی را برای ایجاد یک فرم حجم جهانی جمع کرد ، جهت گیری لازم برای اطمینان از اینکه شکل جهانی جایی از بین نمی رود.

همولوژي و جهت گيري منيفولد هاي عمومي [ ويرايش ]

در قلب تمام تعاریف فوق در مورد قابلیت دستیابی به منیفولد متمایز ، مفهوم عملکرد حفظ جهت گیری است. این سؤال را ایجاد می کند که دقیقاً چنین عملکردهای انتقال چه چیزی را حفظ می کنند. آنها نمی توانند جهت یابی به مانیفولد را حفظ کنند زیرا جهت گیری منیفولد اطلس است و منطقی نیست که بگوییم یک تابع انتقال ، اطلس را که عضو آن است ، حفظ یا حفظ نمی کند.

این سوال را می توان با تعیین جهت گیری های محلی برطرف کرد. در یک منیفولد یک بعدی ، یک جهت محلی در اطراف نقطه P مطابق با انتخاب چپ و راست در نزدیکی آن نقطه است. در یک منیفولد دو بعدی ، مطابق با انتخاب عقربه های ساعت و خلاف جهت عقربه های ساعت است. این دو وضعیت ویژگی مشترکی را دارند که از نظر رفتار بالا بعدی در نزدیکی p اما نه در p توضیح داده شده است . به طور کلی ، بگذارید M یک topological n باشد. گرایش محلی از M حول یک نقطه P انتخاب مولد این گروه است

$left \ displaystyle H_ {n} \ سمت چپ (M ، M \ setminus \ {p \}؛ \ mathbf {Z} \ Right).$

برای دیدن اهمیت هندسی این گروه ، نمودارهای مربوط به صفحه را انتخاب کنید . در آن نمودار یک محله از p وجود دارد که یک توپ باز B در اطراف منشا O است . با قضیه برداشتن ، $left \ displaystyle H_ {n} \ سمت چپ (M ، M \ setminus \ {p \}؛ \ mathbf {Z} \ Right)$ isomorphic است به $left \ displaystyle H_ {n} \ سمت چپ (B ، B \ setminus \ {O \}؛ \ mathbf {Z} \ Right)$ . توپ B قابل انعطاف است ، بنابراین گروه های همسانی آن به جز درجه صفر از بین می روند و فضای B \ O یک ( n - 1) است ، بنابراین گروه های همسانی آن به جز درجه های n - 1 و 0 از بین می روند . محاسبات با توالی دقیق و دقیق در همسانی نسبی نشان می دهد که گروه همسانی فوق دارای ایزومورف است $left \ displaystyle H_ {n-1} \ left (S ^ {n-1؛ \ mathbf {Z} \ Right) \ kong \ mathbf {Z}$ . بنابراین ، انتخاب ژنراتور با تصمیم گیری مربوط به اینكه آیا ، در نمودار مشخص شده ، كره ای در حدود p مثبت یا منفی باشد مطابقت دارد . بازتابی از R N از مبدا اعمال شده توسط در نفی در ${\ displaystyle H_ {n-1} \ left (S ^ {n-1؛ \ mathbf {Z} \ Right)$ بنابراین اهمیت هندسی انتخاب ژنراتور این است که نمودارها را از بازتاب آنها متمایز می کند.

در یک منیفولد توپولوژیکی ، یک تابع انتقال جهت گیری را حفظ می کند اگر در هر نقطه از p در دامنه خود ، ژنراتورهای را اصلاح کند $left \ displaystyle H_ {n} \ سمت چپ (M ، M \ setminus \ {p \}؛ \ mathbf {Z} \ Right)$ . از اینجا ، تعاریف مربوط به همان موارد مشابه در مورد متفاوت است. اطلس گرا که برای آن تمام توابع انتقال هستند جهت حفظ است، M است orientable اگر آن اذعان می کند یک اطلس گرا، و هنگامی که N > 0 ، یک گرایش از M حداکثر اطلس گرا است.

به طور شهودی ، جهت گیری M باید جهت گیری محلی منحصر به فرد از M را در هر نقطه تعریف کند. این دقیقاً با ذکر این نکته که هر نمودار در اطلس جهت دار در اطراف p قابل استفاده است برای تعیین کره در اطراف p می باشد ، انجام می شود و این کره یک ژنراتور تعیین می کند $left \ displaystyle H_ {n} \ سمت چپ (M ، M \ setminus \ {p \}؛ \ mathbf {Z} \ Right)$ . علاوه بر این ، هر نمودار دیگر در اطراف p با نمودار اول با حفظ عملکرد انتقال ، به نمودار اول مربوط می شود ، و این بدان معنی است که این دو نمودار ژنراتور یکسانی دارند ، از کجا تولید کننده بی نظیر است.

تعاریف ناب همولوگ نیز ممکن است. با فرض این که M بسته است و متصل است، M است orientable اگر و تنها اگر N گروه هفتم همسانی $\ displaystyle H_ {n} (M؛ \ mathbf {Z})$ از عدد صحیح Z بی عیار است . گرایش از M انتخاب ژنراتور α از این گروه. این ژنراتور با ثابت کردن یک ژنراتور از گروه حلقوی بی نهایت ، یک اطلس گرا را تعیین می کند $\ displaystyle H_ {n} (M؛ \ mathbf {Z})$ و نمودارهای گرا را آنهایی قرار می دهد که α α آنها را به سمت مولد ثابت سوق می دهد. در مقابل ، یک اطلس جهت گرا چنین مولدی را تعیین می کند زیرا جهت های محلی سازگار را می توان با هم چسبانید تا یک ژنراتور برای گروه همسانی ارائه دهد. $\ displaystyle H_ {n} (M؛ \ mathbf {Z})$ . [4]

پوشش مضاعف جهت یابی [ ویرایش ]

در اطراف هر نقطه از M دو جهت گیری محلی وجود دارد. به طور مستقیم، یک راه به حرکت از یک جهت گیری محلی در یک نقطه وجود دارد ص به یک جهت گیری محلی در یک نقطه در این نزدیکی هست ص : : هنگامی که دو نقطه در همان دروغ هماهنگ چارت U → R N ، که هماهنگ چارت جهت گیری محلی سازگار در تعریف ص و ص : . از این رو مجموعه ای از جهت های محلی می تواند یک توپولوژی ارائه شود ، و این توپولوژی آن را به صورت چند برابر تبدیل می کند.

به طور دقیق تر ، بگذارید O مجموعه ای از همه جهت های محلی M باشد. برای توپولوژی O ، ما یک پایه برای توپولوژی آن مشخص می کنیم. بگذارید U زیر مجموعه ای از M باشد که به شکلی انتخاب شود $\ displaystyle H_ {n} (M ، M \ setminus U؛ \ mathbf {Z})$ ${\ displaystyle H_ {n} (M، M \ setminus U؛ \ mathbf {Z}) \ to H_ {n} \ سمت چپ (M ، M \ setminus \ {p \}؛ \ mathbf {Z} \ Right)$ . کدگذار این گروه دارای دو ژنراتور و نقشه α α در یکی از آنها است. توپولوژی در O به گونه ای تعریف شده است

${\ displaystyle \ {{\ text {تصویر از}} \ alpha {\ متن {در}} H_ {n} \ سمت چپ (M ، M \ setminus \ {p \}؛ \ mathbf {Z} \ Right) \ Colon p \ in U \}$

باز است.

یک نقشه متعارف π وجود دارد: O → M که جهت محلی را در p به p ارسال می کند . واضح است که هر نقطه از M دقیقاً دارای دو اصل برتر زیر π است . در حقیقت π حتی یک هومومورفیسم محلی است ، زیرا اولویتهای مجموعه های باز U که در بالا به آن اشاره شد ، هومومورفیک برای پیوستن دو نسخه از U است . اگر M با جهت گیری باشد ، خود M یکی از این مجموعه های باز است ، بنابراین O اتحادیه جدا کننده دو نسخه از M است . اگر M غیر محور باشد ، پس Oمتصل و جهت دار است. منیفولد O به پوشش دوگانه جهت دهی گفته می شود .

منیفولد با مرز [ ویرایش ]

اگر M یک مانیفولد با مرز باشد ، پس جهت M مشخص می شود که جهت داخلی آن باشد. چنین جهت گیری جهت گیری ∂ M را القا می کند . در واقع ، فرض کنید که جهت گیری M ثابت شده است. بگذارید U → R n + یک نمودار در یک نقطه مرزی از M باشد که در صورت محدود بودن به فضای داخلی M ، در اطلس انتخاب گرا قرار دارد. محدودیت این نمودار با ∂ M نمودار ∂ M است . این نمودارها یک اطلس جهت گرا را برای ∂ M تشکیل می دهند .

وقتی M صاف باشد ، در هر نقطه از p ∂ M ، محدودیت بسته نرم افزاری مماس از M به ∂ M برای T p ∂ M ⊕ R isomorphic است ، که در آن فاکتور R با وکتور طبیعی به سمت داخل نشان داده می شود. جهت گیری T p ∂ M با این شرط تعریف می شود که پایه ای از T p ∂ M با جهت گیری مثبت صورت گیرد ، اگر و تنها در صورت ترکیب شدن با یک بردار معمولی به سمت داخل ، یک پایه مثبت جهت دهی شده از T p M را تعریف کند .

پوشش مضاعف جهت دار [ ویرایش ]

انیمیشن از پوشش دوبرابر جهت دار نوار Möbius .

یک مفهوم از نزدیک با استفاده از ایده پوشاندن فضا . برای چند برابر کردن متصل M را M * ، مجموعه ای از جفت ( X ، O) که در آن X یک نقطه از است M و O جهت گیری در است X . در اینجا ما فرض می کنیم M یا صاف است بنابراین می توانیم جهت گیری را بر روی فضای مماس در یک نقطه انتخاب کنیم یا از هومولوژی مفرد برای تعریف جهت گیری استفاده می کنیم. سپس برای هر باز، زیر مجموعه گرا از M ما مجموعه مربوطه از جفت نظر و تعریف که به یک مجموعه باز از M * . این را می دهد M *توپولوژی و ارسال پیش بینی ( x ، o) به x سپس نقشه پوششی 2 به 1 است. به این فضای پوشاننده ، به عنوان روکش دوبل جهت پذیر گفته می شود. M * متصل است اگر و تنها اگر M است orientable است.

روش دیگر برای ساخت این پوشش ، تقسیم حلقه های مستقر در یک پایه اصلی به حلقه های حفظ یا جهت گیری معکوس است. حلقه های حفظ جهت ، زیر گروهی از گروه بنیادی را تشکیل می دهند که یا کل گروه است و یا از شاخص دو. در حالت دوم (به این معنی که یک مسیر معکوس جهت گیری وجود دارد) ، زیر گروه به یک پوشش مضاعف متصل مربوط می شود. این پوشش توسط ساخت و ساز قابل تنظیم است. در مورد قبلی ، می توان به سادگی دو نسخه از M را برداشت ، که هر یک از آنها با جهت گیری متفاوت مطابقت دارد.

جهت گیری بسته های وکتور [ ویرایش ]

مقاله اصلی: جهت گیری یک بسته نرم افزاری بردار

واقعی بسته نرم افزاری بردار ، که پیشینی است (N) GL گروه ساختار است، به نام orientable زمانی که گروه ساختار ممکن است کاهش می یابد به\ displaystyle GL ^ {+} (n) $GL ^ {{+}} (n)$ ، گروه ماتریس ها با تعیین کننده مثبت . برای بسته نرم افزاری مماس ، اگر منیفولد پایه زیرین دارای جهت گیری باشد ، این کاهش همیشه ممکن است و در حقیقت این یک روش مناسب برای تعریف جهت یابی از یک منیفولد واقعی صاف فراهم می کند : یک منیفولد صاف تعریف می شود که اگر بسته نرم افزاری مماس آن قابل تنظیم باشد ( به عنوان یک بسته بردار). توجه داشته باشید که به عنوان یک منیفولد در نوع خود ، بسته نرم افزاری مماس همیشه جهت دار است ، حتی بر روی منیفولدهای غیرقابل مراقبت.

همچنین ببینید: کلاس اویلر

مفاهیم مرتبط [ ویرایش ]

جبر خطی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: جهت گیری (ریاضیات)

مفهوم قابلیت گرایش اساساً ناشی از توپولوژی گروه واقعی خطی عمومی است

$\ operatorname {GL} (n ، \ mathbf {R})$ ، به طور خاص که پایین ترین گروه هموتوپی است $\ displaystyle \ pi _ {0} (\ operatorname {GL} (n، \ mathbf {R})) = \ mathbf {Z} / 2$

تحول برگشت ناپذیر از یک فضای بردار واقعی یا جهت دهی جهت گیری و یا برعکس جهت گیری است.

این نه تنها برای منیفولدهای متفاوت ، بلکه برای منیفولدهای توپولوژیکی نیز در نظر گرفته می شود ، زیرا فضای هم ارزی های خود هموتوپی یک کره نیز دارای دو مؤلفه متصل است که می توان از آنها به نقشه های "حفظ جهت گیری" و "تغییر جهت گیری" اشاره کرد.

مفهوم مشابه برای گروه متقارن است گروه متناوب از حتی جایگشت .

هندسه لورنتزی [ ویرایش ]

در هندسه لورنتزی دو نوع جهت پذیری وجود دارد: گرایش فضا و گرایش زمانی . اینها در ساختار علت و معلولی فضا نقش دارند. [5] در زمینه نسبیت عام ، یک زمان مکانیمنیفولد با فضای قابل تنظیم است اگر هر گاه دو ناظر دست راست در کشتی های موشکی که از همان نقطه فضایی شروع می شوند حرکت کنند و دوباره در یک نقطه دیگر ملاقات کنند ، با احترام به یکدیگر دست راست بمانند. اگر یک زمان فضایی زمانبر باشد ، دو ناظر همیشه در مورد زمان در هر دو نقطه از جلسه توافق می کنند. در حقیقت ، یک فضا زمان می تواند زمانی باشد که اگر و تنها اگر هر دو مشاهده کننده بتوانند توافق کنند کدام یک از دو جلسه مقدم بر دیگری است. [6]

به طور رسمی ، گروه شبه Orthogonal O ( p ، q ) دارای یک جفت کاراکتر است : شخصیت جهت گیری فضایی σ + و شخصیت جهت گیری زمان σ - ،

$\ displaystyle \ sigma _ {\ pm}: \ operatorname {O} (p، q) \ to \ {- 1، + 1 \}.$

محصول آنها σ = σ + σ - تعیین کننده ای است که به شخصیت جهت گیری می دهد. جهت یابی فضایی از یک منیفولد شبه ریمانی با بخشی از بسته نرم افزاری همراه مشخص می شود

$\ operatorname {O} (M) \ بار _ {\ سیگما _ {+}} \ {- 1 ، + 1 \$

جایی که O ( M ) مجموعه ای از قاب های شبه متعامد است. به طور مشابه ، جهت یابی زمانی بخشی از بسته نرم افزاری مرتبط است

$\ operatorname {O} (M) \ بار _ {\ sigma _ {-}} \ {- 1 ، + 1 \.$

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Orientability

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی