ادامه اپراتور لاپلاس

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه سوم تیر ۱۳۹۹ | 2:8

انگیزه [ ویرایش ]

انتشار [ ویرایش ]

در تئوری فیزیکی انتشار ، عملگر لاپلاس (از طریق معادله لاپلاس ) به طور طبیعی در توضیحات ریاضی تعادل ایجاد می شود . [1] به طور خاص، اگر تو چگالی در تعادل از بعضی مقادیر مانند غلظت شیمیایی است، پس از آن جریان خالص از تو از طریق مرز هر صاف منطقه V صفر است، ارائه هیچ منبع و یا سینک در داخل وجود دارد V :

$\ int _ {\ جزئی V} \ nabla u \ cdot \ mathbf {n} \، dS = 0،$

جایی که n واحد بیرونی از مرز V طبیعی است . با قضیه واگرایی ،

$\ int_V \ operatorname {div} \ nabla u \، dV = \ int _ {\ part V V} \ nabla u \ cdot \ mathbf {n} \، dS = 0.$

از آنجا که این برای همه مناطق صاف V وجود دارد ، نشان می دهد که این دلالت دارد:

$\ operatorname {div} \ nabla u = \ Delta u = 0.$

سمت چپ این معادله ، عملگر لاپلاس است. اپراتور لاپلاس برای انتشار غیر تعادل تعبیر فیزیکی دارد به عنوان میزان که یک نقطه منبع یا سینک غلظت شیمیایی را نشان می دهد ، به تعبیری که دقیقاً توسط معادله انتشار ساخته شده است .

تراکم مرتبط با یک پتانسیل [ ویرایش ]

اگر φ نشان دهنده پتانسیل الکترواستاتیک مربوط به یک توزیع بار Q ، پس از آن توزیع بار خود توسط منفی از لاپلاسی داده φ :

$\ displaystyle q = - \ varepsilon _ {0} \ Delta \ varphi،$

که در آن ε 0 است ثابت برقی .

این نتیجه ای از قانون گاوس است . در واقع ، اگر V هر منطقه صاف باشد ، پس طبق قانون گاوس شار میدان الکترواستاتیک E متناسب با بار محصور شده است:

$\ displaystyle \ int _ {\ partial V} \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {n} \، dS = \ int _ {V} \ operatorname {div} \ mathbf {E} \، dV = {\ frac 1} {\ varepsilon _ {0}}} \ int _ {V} q \، dV.$

جایی که اولین برابری ناشی از قضیه واگرایی است . از آنجا که میدان الکترواستاتیک شیب (منفی) پتانسیل است ، اکنون این را می دهد:

$\ displaystyle - \ int _ {V} \ operatorname {div} (\ operatorname {grad} \ varphi) \، dV = {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} \ int _ {V} q \ ، dV.$

بنابراین ، از آنجا که این برای همه مناطق V ، باید داشته باشد

$\ displaystyle \ operatorname {div} (\ operatorname {grad} \ varphi) = - {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} q}$

همین رویکرد نشان می دهد که منفی لاپلاسیان از پتانسیل گرانشی ، توزیع انبوه است . اغلب توزیع بار (یا انبوه) توزیع می شود ، و پتانسیل همراه آن ناشناخته است. پیدا کردن عملکرد بالقوه در معرض شرایط مرزی مناسب معادل حل معادله پواسون است .

به حداقل رساندن انرژی [ ویرایش ]

یکی دیگر از انگیزه های ظاهر لاپلاسی در فیزیک این است که راه حل های Δ f = 0 در یک منطقه U عملکردهایی هستند که انرژی Dirichlet را به صورت کاربردی ثابت می کنند :

$E (f) = \ frac {1} {2} \ int_U \ Vert \ nabla f \ Vert ^ 2 \، dx.$

برای دیدن این ، فرض کنید f : U → a تابعی است و u : U U a تابعی است که در مرز U از بین می رود . سپس:

$\ displaystyle \ left. \ frac {d} {d \ varepsilon}} \ Right | _ {\ varepsilon = 0} E (f + \ varepsilon u) = \ int _ {U} \ nabla f \ cdot \ nabla u \، dx = - \ int _ {U} u \، \ Delta f \، dx$

جایی که آخرین برابری با استفاده از اولین هویت گرین دنبال می شود . این محاسبه نشان می دهد که اگر Δ f = 0 باشد ، E در اطراف f ثابت است . در مقابل ، اگر E در اطراف f ثابت باشد ، پس Δ f = 0 توسط لیم اساسی حساب تغییرات ایجاد می شود .

عبارات هماهنگ [ ویرایش ]

دو بعد [ ویرایش ]

عملگر لاپلاس در دو بعد توسط:

در مختصات دکارتی ،

$\ displaystyle \ Delta f = {\ frac {\ part ^ ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ جزئی ^ ^ {2} f} {\ جزئی y ^ {2} }}$

که در آن X و Y استاندارد هستند مختصات دکارتی از XY هواپیما.

در مختصات قطبی ،

$\ displaystyle {\ شروع {تراز شده} \ Delta f & = {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial} {\ part r r}} \ سمت چپ (r {\ frac {\ جزئی جزئی} {\ جزئی r}} \ درست) + {\ frac {1 {^ r ^ {2}}} {\ frac {\ part ^ ^ {2} f} {\ partial \ theta ^ {2}}} \\ & = { \ frac {\ جزئی ^ {2} f} {\ جزئی r ^ {2}}} + {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ جزئی جزئی f} {\ جزئی r}} + {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial \ theta ^ {2}}}، \ end {تراز شده}}}$

جایی که r فاصله شعاعی و زاویه θ را نشان می دهد.

سه بعد [ ویرایش ]

همچنین ببینید: در مختصات استوانه ای و کروی تخلیه کنید

در سه بعد ، کار با لاپلاسین در انواع مختلف سیستم های مختصات مختلف معمول است.

در مختصات دکارتی ،

$\ displaystyle \ Delta f = {\ frac {\ part ^ ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ جزئی ^ ^ {2} f} {\ جزئی Y ^ {2} } + {\ frac {\ جزئی ^ {2} f} {\ جزئی z ^ {2}}}.$

در مختصات استوانه ای ،

$\ displaystyle \ Delta f = {\ frac {1 {{\ rho}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ rho}} \ سمت چپ (\ rho {\ frac {\ جزئی جزئی f} {\ جزئی \ rho } \ درست) + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} {\ frac {\ جزئی ^ {2} f} {\ جزئی \ varphi ^ 2}}} + {\ frac {\ جزئی ^ {2} f} {\ جزئی z ^ {2}}} ،}$

جایی که $.رو$ نشان دهنده فاصله شعاعی، φ زاویه گرا و Z ارتفاع.

در مختصات کروی :

$\ displaystyle {\ شروع {تراز شده} \ Delta f & = {\ frac {1} {r ^ {2}}} fr \ frac {\ جزئی} {\ جزئی r}} \ سمت چپ (r ^ {2} {\ frac {\ partial f} {\ جزئی r}} \ درست) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ چپ (\ sin \ theta {\ frac {\ partial f} {\ partial \ theta}} \ Right) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin ^ {2 \ theta}} {\ frac { \ partial ^ {2} f} {\ partial \ varphi ^ {2}}} \\ & = {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial ^ 2}} {\ جزئی r ^ 2}}} (rf) + {\ frac {1 {^ r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac \ partial f} {\ partial \ theta}} \ Right) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin ^ {2 \ theta}} {\ frac {\ partial ^ {2} f} \ جزئی \ varphi ^ {2}}} \ end {تراز شده}}$

که در آن φ نشان دهنده زاویه سمتی و θ زاویه اوج یا شرکت در عرض جغرافیایی .

به طور کلی مختصات منحنی ( ξ 1 ، ξ 2 ، ξ 3 ):

$\ displaystyle \ Delta = \ nabla \ xi ^ {m} \ cdot \ nabla \ xi ^ {n} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial \ xi ^ {m} \ partial \ xi ^ { n}}} + \ nabla ^ {2} \ xi ^ {m} {\ frac {\ partial} {\ جزئی \ xi ^ {m}}} = g ^ {mn} \ سمت چپ ({\ frac {\ جزئی) ^ {2}} {\ جزئی \ xi ^ {m} \ جزئی \ xi ^ {n}}} - \ گاما _ {mn} ^ {l} {\ frac {\ جزئی} {\ جزئی جزئی \ xi ^ {l }}}\درست)،}$

که در آن جمع بیش از شاخص های مکرر اشاره شده است ، گرم منگنز معکوس است تانسور متریک و Γ L MN هستند علامت کریستوفل برای مختصات انتخاب شده است.

ابعاد N [ ویرایش ]

در مختصات منحنی منحنی دلخواه در ابعاد N ( ξ 1 ،… ، ξ N ) ، می توانیم لاپلاسی را از نظر تانسور متریک معکوس بنویسیم ، $\ displaystyle g ^ {ij}}$ :

$\ displaystyle \ Delta = {\ frac {1} {\ sqrt {\ det g}}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ xi ^ {i}} left سمت چپ ({\ sqrt {\ det g } g ^ {ij} {\ frac {\ جزئی} {\ جزئی \ xi ^ {j}}} \ درست)$ ،

از فرمول Voss - Weyl [2] برای واگرایی .

در مختصات کروی در ابعاد N ، با پارامتر کردن x = rθ ℝ ℝ N با r نمایانگر شعاع واقعی مثبت و θ عنصر کره واحد S N -1 ،

$\ displaystyle \ Delta f = {\ frac {\ part ^ ^ {2} f} {\ part r r {{2}}} + {\ frac {N-1} {r}} {\ frac {\ جزئی f} \ جزئی r}} + {\ frac {1 {{r ^ {2}}} \ Delta _ {S ^ {N-1}} f}$

که در آن Δ S N -1 است عملگر لاپلاس-بلترامی در ( N - 1) -کره، شناخته شده به عنوان لاپلاس کروی. دو اصطلاح مشتق شعاعی به طور برابر قابل بازنویسی به شرح زیر است:

$\ displaystyle {\ frac {1} {r ^ {N-1}}} {\ frac {\ جزئی} {\ جزئی r}} \ سمت چپ (r ^ {N-1} {\ frac {\ جزئی f f \ جزئی جزئی}} \ درست).$

به عنوان یک نتیجه ، لاپلاسیان کروی از یک تابع تعریف شده در S N − 1 ⊂ ℝ N می تواند به عنوان لاپلاسی معمولی از تابع گسترش یافته به ℝ N ∖ {0} محاسبه شود به طوری که در امتداد پرتوهای ثابت باشد ، یعنی از درجه همگن . صفر

تغییر ناپذیری اقلیدسی [ ویرایش ]

لاپلاسین تحت تمام تحولات اقلیدسی تغییر ناپذیر است : چرخش و ترجمه . به عنوان مثال ، در دو بعد ، این بدان معنی است که:

$\ displaystyle \ Delta (f (x \ cos \ theta -y \ sin \ theta + a، x \ sin \ theta + y \ cos \ theta + b)) = (\ Delta f) (x \ cos \ theta - y \ sin \ تتا + a، x \ sin \ تتا + y \ cos \ تتا + ب)$

برای همه θ ، a و b . در ابعاد دلخواه ،

$\ displaystyle \ Delta (f \ circ \ rho) = (\ Delta f) \ Circ \ rho$

هر وقت ρ یک چرخش است ، و به همین ترتیب:

$\ displaystyle \ Delta (f \ circ \ tau) = (\ Delta f) \ Circ \ tau$

هر وقت τ ترجمه است. (به طور کلی ، این درست است که ρ یک تحول متعامد مانند بازتاب است .)

در حقیقت ، جبر کلیه اپراتورهای دیفرانسیل خطی مقیاس پذیر ، با ضرایب ثابت ، که با تمام تحولات اقلیدسی حرکت می کند ، جبر چند جمله ای است که توسط اپراتور لاپلاس ایجاد می شود.

نظریه طیفی [ ویرایش ]

همچنین مشاهده کنید: شنیدن شکل طبل و دایرهکلت eigenvalue

طیف از عملگر لاپلاس شامل تمام مقادیر ویژه لامبدا است که برای آن وجود دارد که مترادف است با ویژه تابع f را با:

$- \ Delta f = \ lambda f.$

این به معادله Helmholtz معروف است .

اگر Ω یک دامنه محدود در ℝ n باشد ، سپس عملکردهای مهم لاپلاسین یک مبنای متعامد برای فضای هیلبرت L 2 (Ω) است . این نتیجه در اصل از قضیه طیفی در اپراتورهای خودمحور جمع و جور استفاده می شود ، که به معکوس لاپلاسی (که جمع و جور است ، توسط نابرابری پوینکاره و قضیه رلیچ-کوندراچوف اعمال می شود ) دنبال می شود. [3] همچنین می توان نشان داد که عملکردهای ویژه عملکردهای مختلفی بینهایت متفاوت هستند. [4]به طور کلی ، این نتایج برای اپراتور لاپلاس - بلترامی در هر منیفولد فشرده ریمانی با مرز ، یا در واقع برای مسئله مقادیر ویژه Dirichlet از هر اپراتور بیضوی با ضرایب صاف در یک دامنه محدود نگه داشته است. هنگامی که Ω است N -کره ، eigenfunctions از لاپلاسین هستند هارمونیک کروی .

کلیات [ ویرایش ]

نسخه ای از Laplacian را می توان در هر جایی که انرژی Dirichlet عملکردی داشته باشد تعریف کرد ، که این نظریه اشکال Dirichlet است . برای فضاهایی با ساختار اضافی ، می توانید توضیحات صریح تری از لاپلاسیان ارائه دهید ، به شرح زیر.

اپراتور لاپلاس - بلترامی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: اپراتور لاپلاس - بلترامی

لاپلاسین همچنین می تواند به یک عملگر بیضوی به نام اپراتور لاپلاس - بلترامی تعریف شده بر روی منیفولد ریمانی تعمیم یابد . اپراتور d'Alembert در مانیفولدهای شبه ریمانی به یک اپراتور دوربینی تعمیم می دهد . عملگر لاپلاس-بلترامی ، هنگام اعمال یک عملکرد ، اثری از ( tr ) هسین عملکرد است :

$\ displaystyle \ Delta f = \ operatorname {tr} {\ بزرگ (} H (f) {\ بزرگ)$

جایی که این ردیاب با توجه به معکوس تانسور متریک گرفته می شود . عملگر لاپلاس-بلترامی نیز می تواند به به یک اپراتور (عملگر لاپلاس-بلترامی نیز نامیده می شود) که در عمل در تعمیم میدان تانسوری ، با یک فرمول مشابه است.

عمومی سازی دیگر اپراتور لاپلاسکه در منیفولدهای شبه ریمانی موجود است ، از مشتقات خارجی استفاده می کند ، به این ترتیب "لاپلاسین هندسه" به صورت زیر بیان می شود.

$\ displaystyle \ Delta f = \ delta df.$

در اینجا δ است codifferential ، که همچنین می تواند از نظر بیان می شود ستاره هاج و مشتق بیرونی. این عملگر با علامت "لاپلاسین تحلیلگر" تعریف شده در بالا متفاوت است. به طور کلی ، لاپلاسی "هاج" در اشکال دیفرانسیل α توسط تعریف شده است

$\ displaystyle \ Delta \ alpha = \ delta d \ alpha + d \ delta \ alpha.}$

این به عنوان اپراتور لاپلاس - د رام شناخته می شود ، که با هویت Weitzenböck به اپراتور لاپلاس - بلترامی مربوط می شود .

D'Alembertian [ ویرایش ]

لاپلاسین را می توان به روشهای خاصی به فضاهای غیر اقلیدسی تعمیم داد ، جایی که ممکن است بیضوی ، هایپربولیک یا ماوراء بنفش باشد.

در فضای مینکوفسکی ، اپراتور لاپلاس-بلترامی به اپراتور D'Alembert تبدیل می شود ⧠ یا D'Alembertian:

$\ displaystyle \ square = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ جزئی ^ {2}} {\ جزئی t ^ {2}}} - {\ frac {\ جزئی ^ part 2}} {\ partial x ^ {2}}} - {\ frac {\ part ^ ^ {2}} {\ جزئی y ^ {2}}} - {\ frac {\ جزئی ^ ^ 2}} {\ جزئی z ^ {2}}}.$

این عمومی سازی اپراتور لاپلاساست به این معنا که آن عملگر دیفرانسیل است که در زیر گروه ایزومتری فضای زیرین ثابت است و در صورت محدود به عملکردهای مستقل از زمان ، به عملگر لاپلاس کاهش می یابد. علامت کلی متریک در اینجا به گونه ای انتخاب شده است که قسمت های مکانی اپراتور علامت منفی را قبول می کنند ، که این عرف معمول در فیزیک ذرات پر انرژی است . اپراتور D'Alembert همچنین به عنوان عملگر موج شناخته می شود زیرا این اپراتور دیفرانسیل است که در معادلات موج ظاهر می شود ، و همچنین بخشی از معادله Klein-Gordon است که در حالت بدون جرم به معادله موج کاهش می یابد.

در صورت اندازه گیری فضا و زمان در واحدهای مختلف ، فاکتور اضافی c در متریک در فیزیک مورد نیاز است. اگر مثلاً جهت x در متر اندازه گیری شود در حالی که جهت y در سانتی متر اندازه گیری می شد ، یک عامل مشابه لازم خواهد بود . در واقع ، فیزیکدانان نظری معمولاً در واحدهایی مانند c = 1 کار می کنند تا معادله را ساده کنند.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_operator

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی