گروه بنیادی به طور کلی به انتخاب نقطه پایه بستگی دارد

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه نوزدهم خرداد ۱۳۹۹ | 2:28

وابستگی به نقطه پایه [ ویرایش ]

اگرچه گروه بنیادی به طور کلی به انتخاب نقطه پایه بستگی دارد ، اما معلوم می شود که تا حد ایزومورفیسم (در واقع حتی تا ایزومورفیسم درونی ) ، این انتخاب تا زمانی که فضای X از مسیر متصل باشد ، هیچ فرقی نمی کند . بنابراین ، برای بسیاری از فضاهای مرتبط با مسیر ، بسیاری از نویسندگان می نویسند: ${\ displaystyle \ pi _ {1} (X ، x_ {0}).$

نمونه های بتونی [ ویرایش ]

دامنه ستاره به سادگی متصل شده است زیرا هر حلقه ای را می توان با مرکز دامنه منعکس کرد ، با علامت x 0 .

در این بخش چند مثال اساسی از گروه های اساسی ذکر شده است. برای شروع ، در فضای اقلیدسی $\ mathbb {R} ^ {n$ ) یا هر زیر مجموعه محدب از $\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} ،}$ فقط یک کلاس هموتوپی حلقه وجود دارد ، بنابراین گروه بنیادی گروه بی اهمیت با یک عنصر است. به طور کلی ، هر حوزه ستاره ای و به طور کلی هر فضای قابل انعطاف دارای یک گروه اساسی بی اهمیت است. بنابراین ، گروه بنیادی بین چنین فضاهایی تفکیک قائل نمی شود.

2-حوزه [ ویرایش ]

یک حلقه روی یک 2 کره (سطح توپ) تا یک نقطه منقبض می شود

فضایی متصل به مسیر که گروه بنیادی آن بی اهمیت است به سادگی متصل می شود . به عنوان مثال ، 2-کره $\ displaystyle S ^ {2} = \ {(x، y، z) \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ mid x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1 \}}$ در سمت چپ به تصویر کشیده شده است ، و همچنین تمام حوزه های بعدی بالاتر به سادگی به هم متصل می شوند. شکل یک هوموتوپی را نشان می دهد که یک حلقه خاص را به حلقه ثابت منقبض می کند. این ایده می تواند با تمام حلقه ها سازگار شود{\ صفحه نمایش \ گاما $\ گاما$ به گونه ای که یک نکته وجود دارد ${\ displaystyle (x، y، z) \ in S ^ {2}$ این است که نه در این عکس از $\ گاما$ با این حال ، از آنجا که حلقه هایی وجود دارد به گونه ای $\ displaystyle \ gamma ([0،1]) = S ^ {2}}$ ( به عنوان مثال از منحنی Peano ساخته شده است ) ، اثبات کامل نیاز به تجزیه و تحلیل دقیق تر با ابزارهایی از توپولوژی جبری ، مانند قضیه Seifert-van Kampen یا قضیه تقریب سلولی دارد .

حلقه [ ویرایش ]

عناصر گروه هموتوپی دایره

دایره (همچنین به عنوان 1-حوزه شناخته می شود)

$\ displaystyle S ^ {1} = \ {(x، y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ mid x ^ {2} + y ^ {2} = 1 \}$

به سادگی متصل نیست. در عوض ، هر کلاس هموتوپی شامل تمام حلقه هایی است که تعداد دفعات معین را در اطراف دایره می چرخانند (بسته به جهت سیم پیچ می تواند مثبت یا منفی باشد). محصول حلقه ای است که در حدود m بارها وزش باد می کند و دیگری که در اطراف N باران می بارد ، حلقه ای است که به دور آن می وزد $متر + ن$ بار. بنابراین، گروه اساسی دایره است ریخت به ${\ displaystyle (\ mathbb {Z} ، +) ،}$ گروه افزودنی اعداد صحیح . از این واقعیت می توان برای اثبات نظریه نقطه ثابت Brouwer [2] و قضیه Borsuk-Ulam در بعد 2. استفاده کرد. [3]

شکل هشتم [ ویرایش ]

گروه اساسی شکل هشتم ، گروه آزاد روی دو ژنراتور a و b است .

گروه اساسی شکل هشتم ، گروه آزاد با دو حرف است. ایده برای اثبات این امر به شرح زیر است: انتخاب نقطه پایه به عنوان نقطه ای که دو دایره با هم ملاقات می کنند (با رنگ سیاه در تصویر در سمت راست) ، هر حلقه ای $\ گاما$ می تواند به عنوان تجزیه شود

$\ displaystyle \ gamma = a ^ {n_ {1}} b ^ {m_ {1}} \ dots a ^ {n_ {k}} b ^ {m_ {k}}}$

جایی که a و b دو حلقه هستند که در اطراف هر نیمی از شکل مطابق تصویر نشان داده شده اند ، و منعکس کننده هستند ، $\ displaystyle n_ {1} ، \ نقطه ، n_ {k} ، m_ {1} ، \ dots ، m_ {k}}$ عدد صحیح هستند برخلاف ${\ displaystyle \ pi _ {1} (S ^ {1}) ،}$ گروه بنیادی شکل هشت بیلیون نیست : دو روش آهنگ سازی a و b برای همجنسگرا نیستند:

$\ displaystyle [a] \ cdot [b] \ neq [b] \ cdot [a].$

به طور کلی ، گروه اساسی یک دسته از حلقه های r گروه آزاد با حروف r است .

گروه اساسی مجموعه ای از گوه های دو فضای متصل به X و Y را می توان به عنوان محصول رایگان گروههای اساسی فردی محاسبه کرد :

$\ displaystyle \ pi _ {1} (X \ ve Y) \ kong \ pi _ {1} (X) * \ pi _ {1} (Y).$

این مشاهدات فوق را تعمیم می بخشد زیرا شکل هشتم مجموعه گوه های دو دایره است.

گروه اصلی هواپیما که در نقاط n سوراخ می شود نیز گروه آزاد با ژنراتور n است . من توریم ژنراتور کلاس از حلقه که در اطراف می رود من توریم سوراخ بدون اطراف رفتن هر سوراخ است.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_group

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی