روشهای رانگ - کوتا (Runge-Kutta)

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه دهم خرداد ۱۳۹۹ | 13:26

در تجزیه و تحلیل عددی ، روشهای Runge-Kutta خانواده ای از روشهای تکراری ضمنی و صریح است که شامل روال شناخته شده ای به نام روش اویلر است که در گسسته سازی زمانی برای راه حلهای تقریبی معادلات دیفرانسیل معمولی استفاده می شود . [1] این روش ها در حدود سال 1900 توسط ریاضیدانان آلمانی کارل Runge و ویلهلم کوتا توسعه یافتند .

مقایسه روشهای Runge-Kutta برای معادله دیفرانسیل y '= sin (t) ^ 2 * y (قرمز راه حل دقیق است)

فهرست

روش Runge-Kutta [ ویرایش ]

دامنه های مورد استفاده با روش کلاسیک Runge-Kutta

معروف ترین عضو خانواده Runge-Kutta معمولاً به عنوان "RK4" ، "روش کلاسیک Runge-Kutta" یا به سادگی "روش Runge-Kutta" شناخته می شود.

بگذارید یک مشکل مقدار اولیه به شرح زیر مشخص شود:

$\ displaystyle {\ frac {dy} {dt}} = f (t، y)، \ quad y (t_ {0}) = y_ {0}.}$

اینجا $ی$ تابعی ناشناخته (مقیاس پذیر یا بردار) زمان است $تی$ ، که ما می خواهیم تقریبی کنیم ؛ به ما گفته می شود $\ frac {dy} {dt}}$ ، نرخی که در آن $ی$ تغییرات ، تابعی از است $تی$ و از $ی$ خودش در زمان اولیه $t_ {0$ مربوطه $ی$ ارزش است $y_ {0$ . کارکرد $f$ و شرایط اولیه $t_ {0$ ، $y_ {0$ داده می شود.

حالا یک اندازه h > 0 را انتخاب کرده و تعریف کنید

$\ displaystyle {\ شروع {تراز شده} y_ {n + 1} & = y_ {n} + {\ frac {1} {6}} h \ سمت چپ (k_ {1} + 2k_ {2} + 2k_ {3 + k_ {4} \ درست) ، \\ t_ {n + 1} & = t_ {n} + h \\* end {تراز وسط}$

برای n = 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، ... ، با استفاده از [2]

${\ displaystyle {\ شروع {تراز شده} k_ {1} & = \ f (t_ {n} ، y_ {n}) ، \_ k_ {2} & = \ f \ left (t_ {n} + {\ frac {h} {2} y ، y_ {n} + h {\ frac {k_ {1}} {2}} \ Right)، \\ k_ {3} & = \ f \ left (t_ {n} +) \ frac {h} {2} y ، y_ {n} + h {\ frac {k_ {2}} {2}} \ Right)، \\ k_ {4} & = \ f \ left (t_ {n + ساعت ، y_ {n} + hk_ {3} \ درست). \ end {تراز شده}}}$

(توجه: معادلات فوق تعاریف متفاوتی دارند اما معادل آن در متون مختلف). [3]

اینجا $y_ {n + 1$ تقریب RK4 از است ) $y (t_ {n + 1})$ ، و مقدار بعدی ( $y_ {n + 1$ ) با مقدار موجود تعیین می شود ( $y_ {n$ ) به علاوه میانگین وزنی چهار افزایش ، که در آن هر افزایش محصول اندازه اندازه بازه ، ساعت و یک شیب تخمین زده شده توسط تابع f در سمت راست معادله دیفرانسیل مشخص شده است.

$k_ {1$ با استفاده از شیب ابتدای بازه است $ی$ ( روش اویلر )؛
$k_ {2$ با استفاده از شیب در خط میانی فاصله است $ی$ و $k_ {1$ ؛
$k_ {3$ دوباره شیب در میانه است ، اما اکنون با استفاده از $ی$ و $k_ {2$ ؛
$k_ {4$ با استفاده از شیب در انتهای بازه است $ی$ و $k_ {3$ .

در میانگین چهار شیب ، وزن بیشتری به دامنه های قسمت میانی داده می شود. اگر $f$ مستقل از است $ی$ ، به طوری که معادله دیفرانسیل معادل یک انتگرال ساده است ، پس RK4 قانون Simpson است . [4]

روش RK4 یک روش مرتبه چهارم است، به این معنی که خطای برشی محلی است در دستور $O (h ^ {5})$ ، در حالی که کل خطای انباشته شده به ترتیب $O (h ^ {4})$ .

در بسیاری از برنامه های عملی عملکرد $f$ مستقل از است $تی$ (به اصطلاح سیستم خودمختار یا سیستم متغیر زمان بویژه در فیزیک) و افزایش آنها به هیچ وجه محاسبه نمی شود و برای عملکرد منتقل نمی شود $f$ فقط فرمول نهایی برای $t_ {n + 1$ استفاده شده.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Runge%E2%80%93Kutta_methods

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی