دسته هوموتوپی

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات ، در دسته هموتوپی است دسته ساخته شده از این دسته از فضاهای توپولوژیک که در یک معنا شناسایی دو فضا که به همان شکل. این عبارت در حقیقت برای دو دسته مختلف (اما مرتبط) استفاده می شود ، همانطور که در زیر مورد بحث قرار گرفته است.

به طور کلی، به جای شروع با دسته از فضاهای توپولوژیک، یکی ممکن است با هر شروع دسته مدل و تعریف دسته های homotopy مرتبط با آن، با ساخت و ساز های معرفی Quillen را در سال 1967. در این روش، نظریه homotopy را می توان به بسیاری از دسته های دیگر در اعمال هندسه و جبر.

فهرست

• 1دسته هموتوپی ساده و بی تکلف
• 2دسته هموتوپی ، به دنبال کوینن
  • 2.1فضاهای آیلنبرگ-مک لاین
  • 2.2نسخه اشاره شده
• 3دسته بندی های بتونی
• 4دسته بندی مدل ها
• 5یادداشت
• 6منابع

دسته هموتوپی ساده و بی تکلف [ ویرایش ]

دسته از فضاهای توپولوژیک بالا است اشیاء فضاهای توپولوژیک و morphisms نقشه های مداوم بین آنها. تعریف قدیمی تر از دسته هموتوپی hTop ، به نام طبقه هموتوپی ساده و بی تکلف [1] برای شفاف سازی در این مقاله ، دارای همان اشیاء است ، و یک مورفیسم یک کلاس هموتوپی نقشه های مداوم است. یعنی اگر دو نقشه پیوسته f : X → Y در دسته هموتوپی ساده لوح در نظر گرفته شوند ، اگر یکی بتواند به طور مداوم از دیگری تغییر شکل دهد. است وجود دارد عمل کننده از بالا به اچتاپکه به خود فضاها و مورفیزها را به کلاسهای هموتوپی می فرستد. نقشه f : X → Y در صورت تبدیل شدن به یک ایزومورفیسم در دسته هموتوپی ساده لوح ، یک معادل هموتوپی نامیده می شود . [2]

مثال: دایره S 1 ، هواپیمای R 2 منشاء و نوار Möbius همه معادل هموتوپی هستند ، اگرچه این فضاهای توپولوژیک همومورفی نیستند .

نماد [ X ، Y ] اغلب برای مجموعه مورفیزها از یک فضای X به یک فضای Y در گروه هموتوپی ساده لوح استفاده می شود (اما برای دسته های مرتبط که در زیر بحث می شود نیز استفاده می شود).

دسته هموتوپی ، به دنبال کوئین [ ویرایش ]

کویلن (1967) بر دسته دیگری تأکید کرد که بیشتر مقوله فضاهای توپولوژیکی را ساده تر می کند. نظریه پردازان هوموتوپی مجبورند هر از گاهی با هر دو دسته همکاری کنند ، اما اجماع این است که نسخه Quillen از اهمیت بیشتری برخوردار است ، بنابراین به همین دلیل اغلب به سادگی "مقوله هموتوپی" خوانده می شود. [3]

یکی از اولین تعریف یک هم ارزی هموتوپی ضعیف : نقشه مداوم است که به نام هم ارزی هموتوپی ضعیف اگر باعث پوشا و یکبهیک بر روی مجموعه از اجزای مسیر و bijection در گروه های homotopy با نقاط پایه های دلخواه. سپس طبقه بندی (واقعی) هموتوپی با بومی سازی تعریف می شودطبقه بندی فضاهای توپولوژیک با توجه به هم ارزی های هموتوپی ضعیف. یعنی اشیاء هنوز فضاهای توپولوژیکی هستند ، اما برای هر یک از هم ارزی های هموتوپی ضعیف ، یک مورفیسم معکوس اضافه می شود. این به این معنی است که اگر یک نقشه مداوم در یک گروه هموتوپی تبدیل شود به یک ایزومورفیسم اگر و فقط اگر هم ارزی هموتوپی ضعیف باشد. سرگرمی های واضحی از دسته فضاهای توپولوژیک گرفته تا دسته هموتوپی ساده لوح (همانطور که در بالا تعریف شده است) و از آنجا به دسته هموتوپی وجود دارد.

نتایج JHC وایتهد ، به ویژه قضیه وایتهد و وجود تقریبهای CW ، [4] توضیحی صریح از دسته هموتوپی ارائه می دهد. یعنی، دسته هموتوپی است معادل به زیرشاخه کامل از دسته هموتوپی ساده و بی تکلف است که متشکل از مجتمع CW . از این نظر ، مقوله هموتوپی بخش عمده ای از پیچیدگی دسته فضاهای توپولوژیکی را از بین می برد.

مثال: بگذارید X مجموعه ای از اعداد طبیعی {0 ، 1 ، 2 ، ... باشد و بگذارید Y مجموعه ای با {0 ∪ {1 ، 1/2 ، 1/3 ، ...} باشد ، هر دو با توپولوژی زیر فضایی از خط واقعی . تعریف F :  X  →  Y توسط نقشه برداری شماره 0 تا 0 و n را به 1 / N برای اعداد صحیح مثبت n را . سپس f به صورت مداوم و در حقیقت یک هم ارزی هموتوپی ضعیف است ، اما یک معادل هموتوپی نیست. بنابراین طبقه هموتوپی ساده و بی تکلف فضاهایی مانند X و Y را متمایز می کند ، در حالی که در دسته هموتوپی تبدیل به ایزومورفی می شوند.

برای فضاهای توپولوژیک X و Y ، نماد [ X ، Y ] ممکن است برای مجموعه ای از morphisms از استفاده X به Y در هر دو دسته ساده و بی تکلف هموتوپی یا دسته هموتوپی درست بسته به زمینه.

فضاهای آیلنبرگ-مک لین [ ویرایش ]

یکی از انگیزه های این دسته بندی ها این است که بسیاری از متغیرهای فضاهای توپولوژیکی در دسته هموتوپی ساده لوحانه یا حتی در دسته هموتوپی واقعی تعریف می شوند. به عنوان مثال ، برای یک برابر بودن هموتوپی ضعیف فضاهای توپولوژیکی f : X → Y ، هم همورفیسم همراه f * : H i ( X ، Z ) → H i ( Y ، Z ) از گروه های همسانی مفرد یک ایزومورفیسم برای همه اعداد طبیعی است . . [5] از این نتیجه می رود که ، برای هر عدد طبیعی i ، همولوژی مفرد Hمن می توانم به عنوان سرگرمی از گروه هموتوپی گرفته تا دسته گروههای آبلی مشاهده شود. به طور خاص ، دو نقشه هموتوپیک از X تا Y باعث ایجادهمجنسگرایی مشابه در گروه های همولوژی مفرد می شوند.

زیست شناسی تکینگی از خاصیت بهتری نیز برخوردار است: یک جنس تفریحی قابل نمایش در گروه هموتوپی است. یعنی برای هر گروه abelian A و عدد طبیعی i ، یک مجموعه CW K ( A ، i ) وجود دارد که به آن یک فضای آیلنبرگ-مک لان و یک کلاس کوه شناسی u در H i ( K ( A ، i ) ، A ) گفته می شود. عملکرد نتیجه

(دادن با کشیدن تو به X ) دوسویی برای همه فضاهای توپولوژیک است X . [6] در اینجا [ X ، Y ] باید به معنای مجموعه نقشه ها در گروه هموتوپی واقعی باشد ، اگر کسی بخواهد این جمله را برای همه فضاهای توپولوژیکی X نگه دارد . اگر X یک مجموعه CW باشد ، در رده هموتوپی ساده و بی تکلف قرار می گیرد .

نسخه مشخص شده [ ویرایش ]

یک نوع مفید ، دسته هموتوپی فضاهای اشاره شده است . فضای اشاره به معنای یک جفت ( X ، X ) با X یک فضای توپولوژیکی و ایکس یک نقطه در X ، به نام نقطه پایه. دسته Top * از فضاهای اشاره شده دارای اشیاء فضاهای اشاره شده است ، و یک مورفیسم f : X → Y یک نقشه پیوسته است که نقطه پایه X را تا نقطه پایه Y می برد. دسته هموتوپی ساده و بی سیم از فضاهای برجسته دارای همان اشیاء است ، و مورفیزها کلاس های هموتوپی نقشه های اشاره شده هستند (به این معنی که نقطه پایه در سراسر هموتوپی ثابت است). سرانجام ، با وارونه کردن نقشه های اشاره شده که معادل های هموتوپی ضعیف هستند ، طبقه هموتوپی "واقعی" از طبقه بالا * بدست می آید .

برای فضاهای برجسته X و Y ، [ X ، Y ] بسته به متن ممکن است مجموعه ای از مورفیزها را از X تا Y بیان کند که در هر نسخه از دسته هموتوپی فضاهای اشاره شده است.

چندین سازه اساسی در تئوری هموتوپی به طور طبیعی بر اساس دسته فضاهای اشاره شده (یا در دسته هموتوپی همراه) تعریف می شوند ، نه در دسته فضاها. به عنوان مثال ، سیستم تعلیق Σ X و فضای حلقه Ω X برای یک فضای برجسته X تعریف شده و فضای اشاره ای دیگری را تولید می کنند. همچنین ، محصول سر و صدا X ∧ Y یک سرگرمی مهم از فضاهای اشاره شده X و Y است . به عنوان مثال ، تعلیق را می توان به عنوان تعریف کرد

کانکتورهای تعلیق و حلقه فضای حلقوی ، یک جفت مجزا از مکانها را تشکیل می دهند ، به این معنا که یک ایزومورفیسم طبیعی وجود دارد.

برای همه فضاها X و Y

دسته بندی های بتونی [ ویرایش ]

در حالی که اشیاء یک دسته از هموتوپی ها مجموعه ای هستند (با ساختار اضافی) ، مورفیدها کارکردهای واقعی بین آنها نیست ، بلکه یک دسته از توابع (در دسته هموتوپی ساده لوح) یا "زیگزاگ" توابع (در دسته هموتوپی) هستند. در حقیقت ، فرید نشان داد که نه دسته هموتوپی ساده و بی تکلف فضاهای اشاره شده و نه دسته هموتوپی فضاهای برجسته ، یک مقوله بتونی نیستند . یعنی هیچ تفریحی وفادار از این دسته ها به دسته مجموعه ها نمی رسد . [7]

دسته مدل ها [ ویرایش ]

مقاله اصلی: طبقه بندی مدل

یک مفهوم کلی تر وجود دارد: دسته هموتوپی یک دسته مدل . دسته مدل یک دسته بندی است C با سه نوع متمایز از morphisms نام fibrations ، cofibrations و معادل ضعیف ، رضایت چند بدیهیات. دسته هموتوپی همراه با بومی سازی C با توجه به هم ارزی ضعیف تعریف شده است .

این ساخت و ساز ، که با ساختار مدل استاندارد آن (که گاه به آن ساختار مدل کویلن گفته می شود) برای دسته مدل فضاهای توپولوژیکی کاربرد دارد ، به طبقه بندی هموتوپی تعریف شده در بالا می دهد. بسیاری از ساختارهای مدل دیگر بسته به اینکه فرد چقدر می خواهد این طبقه بندی را ساده تر کند ، در دسته بندی فضاهای توپولوژیکی لحاظ شده اند. به عنوان مثال ، در ساختار مدل Hurewicz در فضاهای توپولوژیکی ، دسته هموتوپی همراه ، دسته هموتوپی ساده لوح است که در بالا تعریف شده است. [8]

همان دسته هموتوپی می تواند از بسیاری از دسته های مدل های مختلف ناشی شود. یک مثال مهم ساختار مدل استاندارد در مجموعه های ساده است : دسته هموتوپی همراه معادل دسته هموتوپی فضاهای توپولوژیکی است ، حتی اگر مجموعه های ساده اشیاء تعریف شده ترکیبی هستند که فاقد هر گونه توپولوژی هستند. درعوض برخی از توپولوژیستها ترجیح می دهند با فضاهای ضعیف تولید شده Haus Hausff کار کنند . مجدداً ، با ساختار مدل استاندارد ، رده هموتوپی مرتبط با دسته هموتوپی همه فضاهای توپولوژیکی است. [9]

برای یک نمونه جبری بیشتر از یک دسته مدل ، بگذارید A یک دسته Abelian Grothendieck باشد ، به عنوان مثال دسته ماژول های روی یک حلقه یا دسته ای از شیفت های گروه های abelian در یک فضای توپولوژیکی. سپس یک ساختار مدل در دسته مجموعه های زنجیره ای اشیاء در A وجود دارد که هم ارزی های ضعیف آنها شبه ایزومورفیسم است . [10] دسته هموتوپی حاصل ، دسته مشتق شده D ( A ) نامیده می شود.

سرانجام ، گروه هموتوپی پایدار به عنوان گروه هموتوپی مرتبط با ساختار مدل در دسته طیف ها تعریف می شود . دسته بندی های مختلف طیف در نظر گرفته شده است ، اما تمام تعاریف پذیرفته شده همان دسته هموتوپی را دارند.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Homotopy_category