ریاضیات

اصل القای کامل نه تنها برای اظهارات در مورد اعداد طبیعی درست است، بلکه برای اظهارات در مورد عناصر هر مجموعه معتبر ، یعنی مجموعه ای با یک رابطه نامنظم است که حاوی هیچ زنجیره نزولی بی نهایت نیست . هر مجموعه ای از اعداد سرچشمه ، پایه ای است که شامل مجموعه ای از اعداد طبیعی است.

یک مجموعه معتبر کاربردی را می توان به صورت یک گام فرموله کرد:

1. نشان می دهد که اگر جمله ای برای همه m < n نگه داشته شود ، همان عبارت نیز برای n وجود دارد .

این شکل القایی، هنگامی که به مجموعه ای از ordinals (که به شکل طبقه ای مرتب شده و از این رو به خوبی تاسیس شده است)، القاء ترانسفینیت نامیده می شود . این یک تکنیک اثبات مهم درنظریه مجموعه ، توپولوژی و دیگر زمینه ها است.

اثبات های القاء ترانسفینیت معمولا سه مورد را تشخیص می دهند:

1. هنگامی که n حداقل عنصر است، یعنی عنصر کوچکتر از n وجود ندارد ؛
2. زمانی که n دارای پیشینی مستقیم است، یعنی مجموعه ای از عناصر کوچکتر از n دارای بزرگترین عنصر است؛
3. زمانی که n دارای پیشینی مستقیم نیست، یعنی n یک ترتیب نامحدود است .

به طور جدی لازم نیست که در الگوریتم transfinite برای اثبات یک پرونده پایه لازم باشد، زیرا این یک نمونه خاص خالی از گزاره است که اگر P برای تمام n < m درست باشد ، P درست از m است . به طور خلاصه درست است به این دلیل که هیچ مقادیر n < m وجود ندارد که می تواند بعنوان نمونه های مخالف استفاده شود. بنابراین موارد خاص موارد خاصی از پرونده عمومی است.

همبستگی با اصل خوب نظم[ ویرایش ]

اصل القای ریاضی معمولا به عنوان عاملی از اعداد طبیعی بیان می شود؛ اصول اساسی Peano را ببینید . با این حال، می توان آن را از اصل به خوبی مرتبه ثابت کرد . در واقع، فرض کنید:

• مجموعه ای از اعداد طبیعی مرتب شده است .
• هر عدد طبیعی یا 0، یا n + 1 برای برخی عدد طبیعی n است .
• برای هر عدد طبیعی n ، n + 1 بیشتر از n است .

برای بدست آوردن القایی ساده از این عبارات، باید نشان داد که اگر (P ( n  بعضی قضیه پیش بینی شده از n است که:

• (P (0نگه می دارد و
• هرگاه (P ( m درست باشد، (P ( m + 1 هم درست است

سپس (P ( n برای تمام n نگه می دارد .

اثبات اجازه دهید S مجموعه ای از اعداد طبیعی است که برای آن (P ( m  نادرست است. بگذارید ببینیم چه اتفاقی می افتد اگر کسی ادعا کند که S غیرقابل است. سفارش خوب به ما می گوید که Sحداقل عنصر دارد، می گویند n . علاوه بر این، از آنجا که (P (0 درست است، N است 0. نیست از آنجا که هر عدد طبیعی است یا 0 یا برخی متر + 1 ، برخی از عدد طبیعی وجود دارد متر به طوری که متر + 1 = N . اکنون m کمتر از n است و n حداقل عنصر S است. به این معنی است که m در S نیست و بنابراین( P ( m درست است. این بدان معنی است که (P ( m + 1  درست است؛ به عبارت دیگر (P ( n  درست است. این یک تناقض است، از آنجا که n در S بود . بنابراین S خالی است.

همچنین می توان ثابت کرد که القاء، با توجه به معیارهای دیگر، به این نتیجه می رسد که اصل مرتب سازي.

اثبات فرض کنید یک مجموعه غیر خالی وجود دارد، S ، از naturals که دارای حداقل عنصر است. فرض کنید (P ( n فرضیه ای است که n در S نیست . سپس (P (0درست است، زیرا اگر اشتباه باشد، 0 کوچکترین عنصر S است . علاوه بر این فرض کنید (P (1)، P (2)، ...، P ( n  همه درست هستند. سپس اگر (P ( n +1نادرست است n +1 در S باشد ، بنابراین یک عنصر حداقل در S است ، یک تناقض است. بنابراین (P ( n+1 درست است بنابراین، توسط axiom القایی،( P ( n برای همه n نگه می دارد ، بنابراین S خالی است، یک تضاد.

اصل استقرا (با روش اشتباه گرفته شود القایی ) است بیانیه ای در مورد اعداد طبیعی در ریاضیات می یابد استفاده گسترده درتظاهرات تا ثابت کند که یک ویژگی خاص برای تمام اعداد صحیح، معتبر است. ایده بصری در پایه آن «اثر دومینو» است: برای اینکه تمام کاشیهای دومینو در کنار یک ردیف قرار بگیرند، دو شرایط کافی است:

اصل القاء این ایده را به موردی که ردیف از کاشی های بی پایان تشکیل شده است گسترش می دهد.

• اجازه دهید کارت اول سقوط کند
• که هر کارت به گونه ای قرار می گیرد که کاهش می یابد که کارت بعدی سقوط می کند.

بیانیه رسمی [ ویرایش | ویرایش wikitesto ]

در نظریه اطلاعات ، فاصله همینگ بین دو رشته ای از طول یکسان، تعداد موقعیت هایی است که نمادهای مربوطه متفاوت هستند.به عبارت دیگر، آن را اندازه گیری حداقل تعداد تعویض مورد نیاز برای تغییر یک رشته را در دیگر، و یا حداقل تعداد خطاهایکه می تواند یک رشته را در دیگر تبدیل شده است. در یک زمینه کلی تر، فاصله همینگ یکی از معیارهای رشته ای است برای اندازه گیری فاصله ویرایش بین دو توالی. آن را به عنوان ریاضیدان آمریکایی ریچارد همینگ (1998-1915) نامگذاری شده است . 

حداقل فاصله بین هر دو رأس، فاصله هامینگ بین دو رشته باینری است.

ترور صرفا متصل نیست. در حالی که حلقه کوچک c می تواند به نقطه بدون شکستن حلقه یا torus کاهش یافته است، حلقه های a و b می تواند به این دلیل که آنها سوراخ مرکزی torus را پوشش نمی دهد.Encyclopædia Britannica، Inc.

بسیاری از نتایج توپولوژی شامل اشیاء ساده به عنوان موارد ذکر شده در بالا. با این حال، اهمیت توپولوژی به عنوان شاخه ای از ریاضیات به نظر می رسد که بیشتر در مورد اشخاص موجود در فضاهای با ابعاد بالاتر و حتی اشیاء انتزاعی که مجموعه ای از عناصر یک طبیعت بسیار عمومی هستند، بوجود می آید. برای تسهیل این تعمیم، مفهوم همبستگی توپولوژی باید روشن شود.

قضیه توپ موداردرباره قضیه توپ موی توپولوژی یاد بگیرید.© MinutePhysics

همبستگی توپولوژیک

حرکات مرتبط با تغییر شکل مداوم از یک شی به دیگری در زمینه برخی از فضای اطراف رخ می دهد ، به نام فضای محیط تغییر شکل. هنگامی که یک تغییر شکل مداوم از یک شی به دیگری می تواند در یک فضای محیط خاص انجام شود، گفته می شود که دو اشیا با توجه به آن فضایی ایزوتوپ هستند. به عنوان مثال، یک شی را که شامل یک دایره است را در نظر بگیریدو یک نقطه جدا شده در داخل دایره. اجازه دهید یک شی دوم از یک دایره و یک نقطه جدا از خارج از دایره تشکیل شود، اما در همان صفحه به عنوان دایره. در فضای محیطی دو بعدی، این دو اجسام نمی توانند به طور مداوم به یکدیگر تغییر شکل داده شوند؛ زیرا نیاز به برش دایره ها برای باز کردن نقاط جدا شده از طریق آن است. با این حال، اگر فضای سه بعدی به عنوان فضای محیطی عمل کند، تغییر شکل مداوم می تواند انجام شود - به سادگی نقطه منفرد را از هواپیما بلند کنید و دوباره آن را از طرف دیگر دایره برای انجام این کار بازگردانید. بنابراین، این دو اشیاء با توجه به فضای سه بعدی ایزوتوپ هستند، اما با توجه به فضای دو بعدی ایزوتوپ نیستند.

مفهوم اشیاء با ایزوتوپ با توجه به یک فضای بزرگتر محیط، تعریفی از همبستگی توپولوژیکی بیرونی را به وجود می آورد، به این معنی که فضای که در آن اشیا تعبیه شده اند نقش دارند. مثال بالا برخی از پسوندهای جالب و سرگرم کننده را انگیزه می دهد.ممکن است تصور کنید یک سنگ ریزه در داخل یک پوسته کروی به دام افتاده است. در فضای سه بعدی سنگ ریزه را نمی توان بدون برش سوراخ از طریق پوسته، اما با اضافه کردنبعد چهارم انتزاعی بدون هیچگونه عمل جراحی می توان آن را حذف کرد.به طور مشابه، یک حلقه بسته از طناب که به صورت تریو یا گره خورده گره خورده است، گره ( شکل را ببینید ) در فضای سه بعدی می تواند در فضای چهار بعدی انتزاعی باشد .

در نظریه گره، گره ها با یکپارچه ادغام انتهای یک بخش به شکل یک حلقه بسته تشکیل می شوند. سپس گره ها با تعداد دفعات و شیوه ای که در آن بخش از خود عبور می کند مشخص می شود. پس از حلقه پایه، ساده ترین گره، گره گره سوم است که تنها گره است، غیر از تصویر آینه آن، که می تواند با دقیقا سه گذرگاه تشکیل شود.Encyclopædia Britannica، Inc.

هومومورفیسم

یک تعریف ذاتی از همبستگی توپولوژیک (مستقل از هر فضای محیطی بزرگتر) شامل یک نوع خاص از تابع شناخته شده به عنوان هومومورفیسم است . یک تابع h یک خانه مورفیسم است و اشیاء X و Y گفته می شود که به صورت homomorphic هستند، اگر و فقط اگر این تابع شرایط زیر را برآورده کند.

• (1) h یک مکعب یک به یک بین عناصر X و Y است ؛

• (2) h مستمر است: نقاط نزدیک X به نقاط نزدیک Y ترسیم می شوند و نقاط دور X به نقاط دور Y ترسیم می شوند. به عبارت دیگر، "محله ها" حفظ می شوند؛

• (3) یک تابع معکوس مستمر وجود دارد h -1 : بنابراین h -1 h ( x ) = x برای همه x ε X و h h -1 ( y ) = y برای همه y ε Y به عبارت دیگر، یک تابع وجود دارد که "خنثی کردن" (معکوس از) homomorphism است، به طوری که برای هر x در Xیا هر y در Y مقدار اولیه می تواند با ترکیب دو توابع در نظم مناسب بازسازی شود.

مفهوم دو جسم بودن homeomorphic تعریف ارزی توپولوژیکی ذاتی فراهم می کند و معنا و مفهوم به طور کلی پذیرفته معادل توپولوژیکی است. دو اشیائی که در بعضی فضای محیطی ایزوتوپ هستند نیز باید هومومورفیک باشند. بدین ترتیب، هم تناوب توپولوژیکی بیرونی معادل همبستگی توپولوژیکی ذاتی را نشان می دهد.

ساختار توپولوژیک

در کلیه تنظیمات عمومی، توپولوژی شامل اشیایی است که مجموعه ای انتزاعی از عناصر است. برای بحث در مورد خواص مانندتداوم توابع بین مجموعه های انتزاعی، برخی از ساختار اضافی باید بر آنها اعمال شود.

فضای توپولوژیک

یکی از اساسی ترین مفاهیم ساختاری در توپولوژی، مجموعه ای از X را به یک فضای توپولوژیک تبدیل می کند و مجموعه ای از زیرمجموعه های T را از X تعریف می کند . چنین مجموعه ای باید سه اصل را برآورده سازد: (1) مجموعه ای X خود و مجموعه تهی عضوی از T ، (2) تقاطع هر تعداد متناهی از مجموعه در T در T ، و (3) این اتحادیه از هر مجموعه مجموعه ای از T در T است . مجموعه های T نامیده می شوندمجموعه های باز و T یک توپولوژی در X نامیده می شود . به عنوان مثال،خط عدد واقعی ، زمانی که توپولوژی آن به عنوان مجموعه ای از تمام اتحادیه های ممکن از فواصل باز مشخص می شود، مانند فضاهای باز (-5، 2)، (1/2، π)، (0، ریشه مربع√ 2 )، ... (یک فرآیند مشابه آن یک توپولوژی را در یک الگوریتم تولید می کندفضای متریک .) سایر نمونه های topologies در مجموعه ها صرفا به لحاظ نظریه مجموعه ای رخ می دهد . به عنوان مثال، مجموعه ای از تمام زیر مجموعه های مجموعه ای X نامیده می شودتوپولوژي گسسته در X و مجموعه اي است كه فقط از مجموعه خالي است و X خودش توپولوژي هذيان يا بي اهميتي را در X شکل مي دهد . یک فضای توپولوژیکی داده به فضای دیگر توپولوژیکی مربوط می شود. به عنوان مثال، یک زیرمجموعه A از فضای توپولوژی X به ارث برده می شود توپولوژی، به نام توپولوژی نسبی، از X هنگامی که مجموعه های باز A به تقاطعات A با مجموعه های باز X. تنوع فوق العاده فضاهای توپولوژیکی یک منبع غنی از نمونه هایی برای ایجاد انگیزه های قضیه کلی و همچنین نمونه های مخالف برای نشان دادن غلط دروغ است. علاوه بر این، کلیه اصول برای یک فضای توپولوژیک به ریاضیدانان اجازه می دهد انواع بسیاری از ساختارهای ریاضی مانند مجموعه ای از توابع در تجزیه و تحلیل را به عنوان فضاهای توپولوژیکی و به تبع آن پدیده های مرتبط با روش های جدید توضیح دهد.

فضای توپولوژیکی همچنین می تواند توسط یک مجموعه جایگزین از معیارها تعریف شودبسته های بسته، که مکمل مجموعه های باز هستند. در ابتدا در نظر گرفتن ایده های توپولوژی، به ویژه برای اشیاء n -dimensionalفضای اقلیدسی ، مجموعه های بسته به طور طبیعی در بررسی همگرایی توالی های بی نهایت بوجود آمده است ( نگاه کنید به سری بی نهایت ). اغلب مفید یا مفید است که عناصر اضافی برای توپولوژی را در نظر بگیریم تا نتایجی را که برای یک کلاس قابل توجه از فضاهای توپولوژی وجود دارد، اما نه برای همه فضاهای توپولوژیکی. یکی از این اصطلاحات نیازمند این است که دو نقطه مجزا باید به مجموعه های باز نشده متصل شوند. یک فضای توپولوژیک که این اصل را رعایت می کند، نامیده می شودفضای Hausdorff .

تداوم

یک ویژگی مهم فضاهای توپولوژیکی کلی، سهولت تعریف تداوم توابع است. یک تابع f قرار دادن یک فضای توپولوژیک X به یک فضای توپولوژیک Y به صورت پیوسته تعریف می شود اگر برای هر باز مجموعه V از Y ، زیر مجموعه ای از X که شامل همه نقاط p است، برای آن f ( p ) به V یک مجموعه باز از X است . یک نسخه دیگر از این تعریف، ساده تر است، همانطور که در شکل نشان داده شده است . یک تابع f از یک فضای توپولوژیک X به یک فضای توپولوژیک Y در p ε Xپیوسته است ، برای هر محله Vاز F ( ص )، وجود دارد یک محله وجود دارد U از ص به طوری که F ( U ) ⊆ V . این تعاریف، تعاریف مهمی از مفهوم معمول تداوم مطالعه شده در تجزیه و تحلیل را فراهم می کند و همچنین امکان تعمیم ساده ای از مفهوم هومورفیسم را در مورد فضاهای توپولوژی کلی فراهم می کند. بنابراین، برای فضاهای کلی توپولوژیک،خواص غیرمستقیمآنهایی هستند که توسط هومومورفیسم ها حفظ می شوند.

مفهوم توپولوژیک تابع f تابع پیوسته f از یک فضای توپولوژیک X به یک فضای توپولوژیک Y در p ε X پیوسته است، در صورتی که برای هر محله V از f ( p ) یک محله Uاز p وجود داشته باشد که f ( U ) ⊆ V .Encyclopædia Britannica، Inc.

توپولوژی جبری

ایده ارتباط اشیاء جبری یا ساختارها با فضاهای توپولوژیکی در اوایل تاریخ توپولوژیست به وجود آمد. انگیزه اصلی در این رابطه یافتن معادلات توپولوژیکی با ساختارهای مختلف است. ساده ترین مثال، خصوصیات اویلر است که یک عدد مربوط به یک استسطح . در سال 1750، ریاضیدان سوئیس لئونارد اویلر فرمول چندضلعی V - E + F = 2 یا ویژگی اویلر را به اثبات رساندکه به ترتیب شماره های V و E رأس ها و لبه ها مربوط به شبکه ای است که سطح یکچندضلعی (به لحاظ توپولوژیک معادل یک کره) به F به طور ساده اتصال چهره. این فرمول ساده انگیزه بسیاری از نتایج توپولوژیک یک بار آن را به مشابه اویلر-پوانکاره χ مشخصه = تعمیم داده شد V - E + F = 2 - 2 گرم برای شبکه های مشابه در سطح یک گرم -holed چنبره. دو سطوح Homomorphic همان ویژگی اویلر-پوانکره را دارند و بنابراین دو سطح با ویژگی های مختلف اویلر-پوانکاره نمیتوانند از نظر توپولوژی معادل باشند. با این حال، اشیاء جبری اولیه که در توپولوژی جبری مورد استفاده قرار می گیرند پیچیده تر هستند و شامل ساختارهایی مانند گروه انتزاعی ، فضاهای بردار، و توالی گروه ها. علاوه بر این، زبان از توپولوژی جبری شده استافزایش یافته با مقدمه ای از تئوری رده ، که در آن نگاشت بسیار کلی ترجمه فضاهای توپولوژیک و توابع پیوسته بین آنها به اشیاء جبری مرتبط و نگاشت طبیعی خود را، که به نام homomorphisms .

گروه بنیادی

یک ساختار جبری بسیار اساسی به نام گروه اساسی فضایی توپولوژیک، در میان ایده های جبری بود که در اواخر قرن نوزدهمریاضیدان فرانسوی Henri Poincaré مورد مطالعه قرار گرفت . این گروه عمدتا از منحنی در فضا تشکیل شده است که توسط یک عملیات ناشی از یک هندسه ترکیب می شوند. در حالی که این گروه به خوبی حتی در روزهای اولیه از توپولوژی جبری برای درک بود جمع و جور سطوح دو بعدی، برخی از سوالات مربوط به آن را هنوز هم بی جواب مانده است، به خصوص برای جمع و جور خاصمنیفولد ، که سطح را به ابعاد بالاتر تعمیم می دهد.

آگهی

معروف ترین این سوالات، به نام فرضیه Poincaré ، می پرسد آیا یک چندجمله سه بعدی فشرده با گروه بنیادی بی اهمیت لزوما به فضای سه بعدی خانه (مجموعه ای از نقاط در فضای چهار بعدی که برابر با فاصله از مبدا هستند)، به همان اندازه شناخته شده است که برای مورد دو بعدی تحقیقات زیادی در توپولوژی جبری در این مورد بعید به نظر می رسد از آنجایی که توسط پوانکره در سال 1904 مطرح شده است. یکی از این تلاش های پژوهشی مربوط به حدس و گمانه زنی درباره هندسه سازی چندبعدی های سه بعدی است که در سال 1970 توسط ریاضیدان آمریکایی ویلیام تورستون .حدس Thurston به پیروی از فرضیه پوانکاره و به رسمیت شناختن کار او در جهت اثبات این حدس و گمان ها، ریاضیدان روسی Grigori Perelman مدال فیلد در کنگره بین المللی ریاضیدانان 2006 اهدا شد .

گروه اساسی اولین چیزی است که به آن معروف است گروه های homotopy از یک فضای توپولوژیک. این گروهها، و همچنین طبقهی دیگری از گروههای گروه همولوگ ، در واقع، تحت تغییرات نامیده میشوند که عبارتند از homotopy retracts، که شامل هومومورفیسم هستند، غیرقابل تغییر است. تئوری Homotopy و تئوری همولوژی در میان بسیاری از تخصص ها در توپولوژی جبری است.

توپولوژی دیفرانسیل

بسیاری از ابزارهای توپولوژی جبری مناسب برای مطالعه منیفولد هستند. در زمینه توپولوژی دیفرانسیل ساختار اضافی شامل "صافی"، به معنای تمایز ( تجزیه و تحلیل: تعریف رسمی از مشتق شده )، بر روی چند منظوره اعمال می شود. از آنجا که تحقیقات اولیه در توپولوژی از مشکلات تجزیه و تحلیل رشد کرده است، بسیاری از نخستین ایده های توپولوژی جبری شامل مفاهیم صاف بودن هستند. نتایج از توپولوژی و هندسه دیفرانسیل کاربردی در فیزیک مدرن پیدا کرده است.

نظریه گره

شاخه دیگری از توپولوژی جبری که در مطالعه چندبعدی سه بعدی دخیل است ، نظریه گره است ، مطالعه روش هایی که در آن کپی های پیچیده یک دایره می تواند در فضای سه بعدی جاسازی شود. نظریه گره، که به اواخر قرن نوزدهم باز می گردد، در دو دهه اخير قرن بیست و یکم افزایش یافت، زمانی که کاربرد های بالقوه آن در فیزیک، شیمی و مهندسی زیست پزشکی شناخته شد.

گره های ریاضی شمارنده ها با تعداد دفعات و شیوه ای که رشته عبور می کند مشخص می شود. یک حلقه پایه ای که هیچ گذارنده ای ندارد و فقط یک گره متمایز است، ساده ترین گره در نظریه گره است. تعداد گره های مجزا با تعداد گذرگاه ها بسیار افزایش می یابد؛ فقط کسانی که دارای هفت یا کمتر عبور هستند در اینجا نشان داده می شوند.Encyclopædia Britannica، Inc.

تاریخچه توپولوژی

ریاضیدانان ظهور توپولوژی را به عنوان یک رشته متمایز از ریاضیات با چاپ 1895 منتشر شده توسط تحلیلگر سیتوستوسط فرانسوی هنری پوینکرو تشبیه می کنند ، اگر چه بسیاری از ایده های توپولوژی در طول قرن و نیم قرن گذشته راه خود را به ریاضیات رسانده اند. تجزیه و تحلیل موضع تجزیه و تحلیل لاتین ممکن است به عنوان "تجزیه و تحلیل موقعیت" ترجمه شده و شبیه به عبارت geometria situs است ، به معنی "هندسه موقعیت"، استفاده شده در سال 1735 توسط ریاضیدان سوئیسلئونارد ایلر برای توصیف راه حلش به مسئله پل Königsberg . کار اویلر در این مسئله همچنین به عنوان آغاز نظریه گراف ، مطالعه شبکهای رأسها متصل به لبه ها است که ایده های زیادی با توپولوژی دارد.

آگهی

در طول قرن نوزدهم دو جنبش مجزا ایجاد شد که در نهایت باعث تولید تخصصهای برادرانه توپولوژی جبری و توپولوژی عمومی شد. اولین مورد توسط تلاش برای درک جنبه های توپولوژیک از اشیاء surfacelike که بوسیله ترکیب اشکال ابتدایی، مانند چند ضلعی و چند بعدی، بوجود می آیند مشخص شد. یک متخصص زود هنگام به توپولوژی ترکیبی، به عنوان این موضوع در نهایت به نام، ریاضیدان آلمانی بودیوهان لیستر ، که منتشر شدVorstudien zur Topologie (1847؛ "مطالعات مقدماتی در توپولوژي")، که اغلب به عنوان نخستين بار چاپ نخستين توپولوژي اصطلاح به شمار مي رود . در سال 1851، برنارد ریمان، ریاضیدان آلمانی ، سطوح مربوط به نظریه اعداد پیچیده را در نظر گرفت و از این رو، توپولوژی ترکیبی را به عنوان یک ابزار برای تجزیه و تحلیل توابع استفاده کرد. Geometres آلمانی August Möbius و Felix Klein به ترتیب در سطوح "یک طرفه" در 1858 و 1882 منتشر شدند. مثال موبیوس، در حال حاضر به عنوان شناخته شده استنوار موبیوس ، ممکن است با چسباندن با هم به انتهای یک نوار مستطیلی طولانی از کاغذ ساخته شده است که دارای یک پیچ پیچیده است. سطوح حاوی زیرمجموعه های هومورفیک به نوار موبیوس، سطوح غیر عمودی نامیده می شوند و نقش مهمی در طبقه بندی سطوح دو بعدی ایفا می کنند. کلاین نمونه ای از سطح یک طرفه را که بسته است، بدون هیچ مرزهای یک بعدی، ارائه می دهد. این مثال اکنون نامیده می شودبطری کلاین ، در فضای سه بعدی بدون تقاطع خود، نمی تواند وجود داشته باشد، بنابراین، علاقه ای به ریاضیدانان داشت که قبلا سطوح را فقط در فضای سه بعدی در نظر گرفته بودند.

کار ریاضیدانان بسیاری، از جمله چهار ذکر شده در بالا، قبل از انتشار 1895 تحلیل Situs ، که در آن Poincaré زمینه زمینه ای برای استفاده از ایده های جبری در توپولوژی ترکیبی ایجاد کرد. توپولوژی ترکیبی همچنان توسعه یافته است، به ویژه توسط ریاضیدان آلمانی آمریکایی مکس ده و مؤسس دانشکده ریاضی دان پل هگارد، که به طور مشترک یکی از اولین قضیه طبقه بندی سطوح دو بعدی را در سال 1907 ارائه داد. پس از آن، اهمیت همبستگی ساختارهای جبری با به عنوان مثال، ریاضیدان هلندی، اشیاء توپولوژیکی به وضوح نشان داده شده استLEJ Brouwer و اوقضیه نقطه ثابت . اگر چه توپولوژی جبری خطی برای اولین بار در سال 1936 توسط سولومون لوفچتز، ریاضیدان آمریکایی روسی متولد شد، تحقیقات در این زمینه توپولوژیک بسیار پیش از این در قرن بیست و یکم انجام شد.

همزمان با توسعه زود هنگام توپولوژی ترکیبی، تحلیلگران قرن نوزدهم مانند ریاضیدان فرانسوی آگوستین کوشی و ریاضیدان آلمانی کارل وایرشتراس ، سریهای فوریه را بررسی کردند ، که در آن توالی توابع با سایر توابع همگرایی مشابهی با همگرایی توالیهای نقاط در فضا. از نقطه نظر دیگر، ریاضیدانان از قبیل جرج کانتور آلمانی و امیل بورل فرانسوی رابطه بین سری فوریه ونظریه مجموعه را بررسی کردند . دو ابتکاراز این تلاش ها ناشی می شود: ایجاد یک محدوده ریاضی دقیق برای مشکلات عمده تجزیه و تحلیل و ارائه یک تنظیم کلی برای ایده های ریاضی مربوط به همگرایی توالی. در سال 1899 ریاضیدان آلمانیدیوید هیلبرت یک محیط محاوره ای برای هندسه عمومی را فراتر از آنچه یونانیان باستان در نظر داشت، پیشنهاد داد. در سال 1905 ریاضیدان فرانسویموریس فرچه یک طرح سازگار از معیارهای همگرایی را در یک مجموعه انتزاعی و همچنین مفاهیم برای یکفضای متریک که مجموعه ای است که با عملکرد فاصله (یا «متریک») ارائه می شود. در سال 1910 هیلبرت عناصری را برای محله نقاط در یک مجموعه انتزاعی پیشنهاد کرد، بدین ترتیب تعاریف خواص دیسکهای کوچک را در نقاط در هواپیما متمرکز کرد. در نهایت، ریاضیدان آلمانی Felix Hausdorff در Grundzüge der Mengenlehre (1914؛ "عناصر نظریه مجموعه") روابط عرفانی پایه را در میان روشهای متریک، محدود و محله برای فضاهای عمومی پیشنهاد کرد (نگاه کنید به فضای Hausdorff ) اگر چه تا سال 1925، پائول اسکورفورد، ریاضیدان روسی، عناصر مدرن را برای یک توپولوژی در مجموعه انتزاعی معرفی نکرد، اما زمینه توپولوژی عمومی در کار هسدورف متولد شد.

در طول دوره تا دهه 1960، تحقیقات در زمینه توپولوژی عمومی، بسیاری از سوالات مهم را حل و فصل کردند. مفهوم ابعاد و معنای آن برای فضاهای توپولوژیکی کلی، با معرفی یک نظریه ابعاد ابعاد، رضایتبخش بود.فشرده سازی ، یک ویژگی که عموما زیر مجموعه های بسته و محدود از فضای اقلیدسی n -dimensional را به طور کلی به کار می برد، به طور فزاینده ای به فضاهای توپولوژیکی با تعریف "پوشش" فضا با مجموعه مجموعه های باز گسترش یافت و بسیاری از مشکلات فشرده سازی در این دوره حل شد. مشکل متریزازی که به دنبال توصیف توپولوژیکی فضایی بود که توپولوژی آن توسط یک متریک القا شده بود، پس از کار قابل توجهی در مفهومparacompactness، یک دارایی است که فشرده سازی را به طور کلی به وجود می آورد.

از دهه 1960، تحقیق در توپولوژی عمومی به چندین زمینه جدید که شامل ابزارهای پیچیده ریاضی، از جمله روش های نظری مجموعه ای است، منتقل شده است. در اواخر دهه 1960 محققان به منظور تعمیم برخی خصوصیات توپولوژیکی ابعاد بی نهایت تلاش کردندفضای هیلبرت . این تلاش ها یک ناحیه جدید از توپولوژی را که امروزه به عنوان توپولوژی بی نهایت اشاره می شود، پیش بینی کرد. یکی دیگر از حوزه های مهم مدرن، توپولوژی نظریه ای است که در آن ارتباط بین فضاهای توپولوژیکی و مفاهیم از نظریه مجموعه و منطق مورد مطالعه قرار گرفته است. برخی از مشکلات در این زمینه شامل گزاره های توپولوژیکی است که مستقل از هم هستند و هنوز هم با مفاهیم معمول فرض شده از نظریه مجموعه ( جدول را ببینید ). استدلال های حاصل شده که به عنوان تسلیم تئوری نامیده می شوند، حقیقت موقت برخی از پدیده های مهم توپولوژیکی قدیمی را به دست آورده اند.

استفان سی. کارلسون

یک شبکه رله طبقه وسیعی از توپولوژی شبکه است که معمولا در شبکه های بی سیم استفاده می شود ، جایی که منبع و مقصد با استفاده از برخی گره ها متصل می شوند . در چنین شبکه ای، منبع و مقصد نمی توانند به طور مستقیم به یکدیگر ارتباط برقرار کنند، زیرا فاصله بین منبع و مقصد بیشتر از محدوده انتقال هر دو آنها است، از این رو نیاز به گره های متوسط ​​برای رله است .

یک شبکه رله نوعی از شبکه ای است که برای ارسال اطلاعات بین دو دستگاه، به عنوان مثال سرور و رایانه استفاده می شود، که بسیار دور از هم هستند تا به طور مستقیم اطلاعات را به یکدیگر انتقال دهند. به این ترتیب شبکه باید اطلاعات را به دستگاه های مختلف ارسال کند یا "رله" کند، که به عنوان گره ها شناخته می شوند و اطلاعات را به مقصد منتقل می کنند. یک مثال شناخته شده از یک شبکه رله اینترنت است. یک کاربر می تواند یک صفحه وب را از یک سرور در نهایت در سراسر جهان با ارسال و دریافت اطلاعات از طریق یک سری گره های متصل مشاهده کند.

در بسیاری از موارد، یک شبکه رله شبیه یک زنجیره ای از مردم ایستاده با هم. یک نفر یک یادداشت دارد که باید در انتهای خط به دختر برسد. او فرستنده است، او گیرنده است، و مردم بین آنها پیامبران یا گره ها هستند. او پیام را به گره اول منتقل می کند یا فردی که آن را به دوم وارد می کند و به همین ترتیب تا زمانی که به دختر می رسد و آن را می خواند.

با این حال ممکن است مردم به جای یک خط در یک دایره ایستاده باشند. هر شخص به اندازه کافی نزدیک است تا فرد را در هر دو طرف او و در سراسر او قرار دهد. مردم با همدیگر یک شبکه را نمایندگی می کنند و در حال حاضر چندین پیام می توانند به طور متناوب و یا از طریق شبکه در جهت های مختلف عبور کنند، در حالی که برخلاف خط مستقیم که تنها می تواند پیام ها را در جهت خاص اجرا کند. این مفهوم، نحوه یابی شبکه و نحوه ی اشتراک گذاری داده ها، به عنوان توپولوژی شبکه شناخته می شود. شبکه های رله می توانند از توپولوژی های مختلفی از یک خط به یک حلقه به شکل درخت استفاده کنند تا اطلاعات را در سریعترین و کارآمد ترین روش ممکن انتقال دهند.

اغلب شبکه های رله پیچیده و متصل به چندین جهت برای اتصال بسیاری از سرورها و کامپیوترها هستند. جایی که دو خط از دو رایانه یا سرور متفاوت، گره های شبکه ی رله را تشکیل می دهند. به عنوان مثال، دو خط کامپیوتر ممکن است به همان روتر متصل شوند، برای مثال، این گره را ایجاد می کند.

شبکه های بی سیم همچنین از سیستم شبکه های رله استفاده می کنند. به عنوان مثال، یک لپ تاپ ممکن است به یک شبکه بی سیم متصل شود که اطلاعات را از طریق یک شبکه دیگر دریافت و دریافت می کند تا زمانی که مقصد خود را بدست آورد. حتی اگر تمام قسمت های شبکه دارای سیم های فیزیکی باشند، آنها هنوز هم به دستگاه های دیگر که به عنوان گره عمل می کنند، متصل می شوند.

این نوع شبکه دارای مزایای متعددی است. اطلاعات می توانند فاصله های زیادی را حمل کنند، حتی اگر فرستنده و گیرنده از هم دور باشند. همچنین انتقال داده ها را با انتخاب بهترین مسیر برای انتقال بین گره ها به رایانه گیرنده، سریع می کند. اگر یک گره بیش از حد مشغول است، اطلاعات به سادگی به یک دیگر متفاوت است. بدون استفاده از شبکه های رله، ارسال یک ایمیل از یک کامپیوتر به کامپیوتر دیگر، قبل از اینکه بتواند کار کند، دو کامپیوتر را به طور مستقیم وصل می کند.

توپولوژی شبکه الگویی متصل به عناصر شبکه است. توپولوژی شبکه ممکن است فیزیکی باشد، نقشه پیکربندی سخت افزار یا منطقی، نقشه مسیری را که داده ها باید برای حرکت در اطراف شبکه انجام دهند.

چندین توپولوژی شناسایی وجود دارد اما آنها دقیق نیستند، به این معنی که هر یک از آنها را می توان ترکیب کرد. با این وجود، هر توپولوژی دارای یک استاندارد متفاوت است و ممکن است از روش های سخت افزاری مختلف استفاده کند تا جایگزین آنها نباشد.

توپولوژی فیزیکی به طراحی فیزیکی شبکه اشاره دارد، در حالی که توپولوژی منطقی به نحوه کارکرد داده ها در داخل شبکه بدون در نظر گرفتن توپولوژی فیزیکی آن اشاره می کند.

یک شبکه محلی (LAN) نمونه خوبی از یک شبکه است که هر دو توپولوژی منطقی و فیزیکی را نشان می دهد. تمام ترمینال های LAN با هم ارتباط دارند؛ نقشه برداری از این اتصال، توپولوژی فیزیکی است، در حالی که جریان داده ها توپولوژی منطقی شبکه را تعیین می کند.

هفت نوع اصلی توپولوژی فیزیکی وجود دارد:

 اصلی توپولوژی فیزیکی وجود دارد:

• توپولوژی نقطه به نقطه
• توپولوژی (نقطه چند نقطه) توپولوژی
• توپولوژی ستاره
• توپولوژی حلقه
• توپولوژی درخت
• توپولوژی مش
• توپولوژی ترکیبی


•  

این لیستی از نمونه های مفید در توپولوژی عمومی ،که زمینه ریاضیات است .

پرش به ناوبریپرش به جستجو

این لیستی از نمونه های مفید در توپولوژی عمومی ، زمینه ریاضیات است .

• توپولوژی الکساندر
• فضای کانتور
• توپولوژی کو کاپا
  • توپولوژی قابل قبول
  • توپولوژی همگرا
• توپولوژی جمع و جور
• تکه تکه کردن
• توپولوژی گسسته
• توپولوژی دوبعدی مختلط
• خط شماره مجتمع شده ادامه داد
• فضای توپولوژیک محدود
• گوشواره هاوایی
• مکعب هیلبرت
• کابل غیر منطقی در یک لوله
• دریاچه وادا
• خط طولانی
• سفارش توپولوژی
  • دستور زبان / فرهنگ لغت
  • توپولوژی عددی عددی
  • خط واقعی
  • فاصله تقسیم شده
• توپولوژی همپوشانی فاصله
• هواپیما مور
• فضای سرپینسکی
• خط سرجنفری
• هواپیما سرجنفری
• منحنی پر شدن فضایی
• منحنی سینوسی توپولوژیست
• توپولوژی قطعی
• فاصله واحد
• توپولوژی زاریسکی

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد
پرش به ناوبریپرش به جستجو
برای محصول اسکالر یا نقطه تولید بردارهای مختصات، ضرب  نقطه را ببینید .
همچنین نگاه کنید به: قانون پارل لورام و هویت قطبی سازی

تفسیر هندسی زاویه بین دو بردار تعریف شده با استفاده از یک ضرب  درونی

فضاهای محصول اسکالر، بیش از هر رشته، "ضرب اسکالر" دارند که در اولین آرگومان متقارن و خطی هستند. فضاهای ضرب  Hermitian محدود به حوزه اعداد پیچیده و دارای ضرب  "Hermitian" هستند که در اولین استدلال متقارن متقارن و خطی هستند. فضاهای داخلی ممکن است بر روی هر زمینه تعریف شود، دارای "ضرب  درونی" است که در اولین استدلال خطی، متقارن متقارن، و قطعی مثبت است. بر خلاف ضرب  درونی، ضرب  اسکالر وضرب Hermitian نیاز به تعریف مثبت ندارند.
در جبر خطی ، یک فضای ضرب  درونی یک فضای بردار با ساختار اضافی است که به نام یکضرب درونی است . این ساختار اضافی هر جفت بردارها را در فضا با یک مقدار اسکالر معروف به محصول درونی بردارها مرتبط می کند.ضرب  داخلی اجازه می دهد معرفی دقیق از مفاهیم هندسی بصری مانند طول بردار و یا زاویه بین دو بردار. آنها همچنین ابزار تعریف متعامد بین بردارها (محصول داخلی صفر) را فراهم می کنند. فضاهای داخلی ضرب  کردن فضاهای اقلیدسی(که در آن ضرب  داخلی محصول نقطه است، همچنین به عنوان محصول اسکالر شناخته می شود) به فضاهای بردار هر (احتمالا بی نهایت) بعد ، و در تجزیه و تحلیل عملکرد مطالعه شده است . اولین استفاده از مفهوم فضای بردار با یک محصول درونی به دلیل Peano در سال 1898 است. [1]
یک محصول درونی به طور طبیعی باعث ایجاد یک عنصر مرتبط می شود ، بنابراین یک فضای محصول درونی نیز یکفضای برداری ساده است . فضای کامل با محصول داخلی است که به نام فضای هیلبرت . فضای (ناقص) با یک محصول درونی ، فضای قبل از هیلبرت نامیده می شود ، زیرا تکمیل آن با توجه به نوشتار ناشی از محصول درونی، یک فضای هیلبرت است . فضاهای داخلی داخلی در حوزه تعداد پیچیده گاهی اوقات به عنوان فضاهای واحد شناخته می شوند .
 فهرست1تعریف1.1خواص اولیه1.2تعاریف جایگزین، نشانه ها و اظهارات2نمونه2.1تعداد واقعی2.2فضای اقلیدسی2.3مختصات مجتمع فضایی2.4فضای هیلبرت2.5متغیرهای تصادفی2.6ماتریس های واقعی2.7فضاهای برداری با فرم ها3استانداردهای فضاهای محصول داخلی4توالی Orthonormal5اپراتورها در فضاهای محصول داخلی6مقررات6.1محصولات درونی تولید شده6.2شکلهای متقارن غیر وابسته به زنجیره تولید نشده7محصولات مرتبط8همچنین ببینید9یادداشت10منابع11منبعتعریف [ ویرایش ]
در این مقاله، درست از اسکالرهای نشان داده F یا زمینه است اعداد حقیقی R یا زمینه اعداد مختلط C .
به طور رسمی یک فضای محصول درونی یک فضای بردار V بر روی فیلد F همراه با یک محصول درونی است ، یعنی با یک نقشه
که ارضا در بر داشت زیر سه بدیهیات برای همه بردار X ، Y ، Z ∈ V و همه اسکالرهای ∈ F : [2] [3]مزدوج تقارن: [توجه داشته باشید 1]
خطی در اولین استدلال:
خواص اولیه [ ویرایش ]
هنگامی که F = R ، تقارن همبند به تقارن کاهش می یابد. این است که، 〈 X ، Y 〉 = 〈 Y ، X 〉 برای F = R . در حالی که برای F = C ، 〈 X ، Y 〉 به برابر است مزدوج مختلط .
توجه داشته باشید که تقارن مزدوج نشان می دهد که 〈 X ، X 〉 واقعی برای همه است X ، از آنجایی که ما را داشته باشد:
علاوه بر این، تناوبی (به زیر) نشان می دهد که
تقارن همبستگی و خطی بودن در متغیر اول می دهد
بنابراین یک محصول درونی یک شکل سیسیکلی نیار است ، به این معنا که استدلال دوم خطی است . تقارن همجوشی نیز نامتقارن Hermitian نامیده می شود، و شکل سیسیکلیینار متقارن همجوشی است که به شکل Hermitian نامیده می شود . در حالی که معیارهای فوق بیشتر از نظر ریاضی مقرون به صرفه هستند، یک تعریف کلامی جمع و جور از یک محصول درونی یک شکل خاص Hermitian قطعی است .
در مورد F = R ، تقارن کنترلی به تقارن کاهش می یابد و سیگنالینار به بیلیارین کاهش می یابد. بنابراین یک محصول درونی بر روی یک فضای بردار واقعی، یک فرم دوتایی خطی متقارن مثبت است .
ترکیبی از خطی بودن محصول درونی در اولین استدلال و تقارن کنجدی، تعمیم مهم زیر را از گسترش مربع آشنا می دهد:
فرض کنید زمینه زمینه R باشد ، محصول درونی متقارن می شود، و ما به دست می آوریم
اموال یک فضای محصول داخلی V که
همچنین به عنوان افزودنی شناخته شده است .تعاریف جایگزین،

نشانه ها و اظهارات [ ویرایش ]
یک مورد خاص معمول از محصول درونی، محصول اسکالر یا محصول نقطه ، با نقطه مرکزی نوشته شده است.
بعضی از نویسندگان، به ویژه در جرم فیزیک و ماتریس ، ترجیح می دهند که محصول درونی و شکل سسکوی لی لیار را با خطی بودن در استدلال دوم تعریف کنند نه اولین. سپس آرگومان اول، به جای دوم، به صورت خطی متصل می شود. در آن رشته ما ارسال کالا 〈 X ، Y 〉 عنوان 〈 Y | X 〉 (به نشانگذاری برا-کت از مکانیک کوانتومی )، به ترتیب Y † X (محصول نقطه به عنوان یک مورد این کنوانسیون تشکیل ماتریس AB به عنوان ضرب نقطه از ردیفبا ستون های ب ). در اینجا کیت ها و ستون ها با بردارهای V و سینه ها و ردیف ها با کاراکترهای خطی (covectors) فضای دوگانه V * ، با همپوشانی با دوگانگی، شناسایی می شوند. این را به صورت برعکس در حال حاضر گاهی اوقات در ادبیات انتزاعی تر به دنبال آن، [4] گرفتن 〈 X ، Y 〉 باشد، خطی مزدوج در X به جای Y . بعضی از آنها به جای یافتن زمین میانی با تشخیص هر دو · · · · ·، و · · · · ·> به عنوان مظاهر متمایز تنها در آن استدلال متفاوت است که خطی است.
دلایل فنی مختلفی وجود دارد که لازم است محدودیت میدان پایه به R و C در تعریف محدود شود. به طور مختصر، فیلد پایه باید حاوی یک زیر فیلد مرتب باشد تا غیر منفی باشد (5) و بنابراین بایدمشخصه ای برابر با 0 باشد (از آنجا که هر فیلد مرتب باید چنین خصوصیاتی داشته باشد). این بلافاصله زمینه های محدود را حذف می کند. فیلد پایه باید دارای ساختار اضافی مانند یک automorphism مشهور باشد. به طور کلی، هر زیرمجموعه چهارگانه بسته R یا C برای این منظور کافی خواهد بود، به عنوان مثال، اعداد جبری یا اعداد ساختاری. با این حال در این موارد، زمانی که یک فیلد مناسب (یعنی نه R و نه C )، حتی فضاهای محصول در فضای مجزا، به طور متریک کامل نخواهند شد. در مقابل تمام ابعاد محدود فضای ضرب داخلی بیش از R و یا C ، مانند کسانی که مورد استفاده در محاسبات کوانتومی ، به صورت خودکار سقوط metrically کامل و از این رو فضاهای هیلبرت .
در بعضی موارد ما نیاز به فرم های نیمه معین غیر سیگنال نهایی را در نظر می گیریم . این به این معنی است که 〈 X ، X 〉 تنها مورد نیاز به غیر منفی است. ما نشان می دهیم که چگونه با این موارد زیر روبرو شویم.مثالها [ ویرایش ]اعداد واقعی [ ویرایش ]
یک مثال ساده، عدد واقعی با ضرب استاندارد به عنوان محصول درونی است
فضای اقلیدسی [ ویرایش ]
به طور کلی، واقعی N فضا- R N با ضرب یک فضای ضرب داخلی، نمونه ای از یک است اقلیدسی N فضا- .
که در آن X T است ترانهاده از X .فضایی مجتمع [ ویرایش ]
شکل کلی یک محصول درونی در C n به شکل فرمتی شناخته می شود و توسط آن داده می شود
که در آن M هر است هرمیتی مثبت قطعی ماتریس و Y † است ترانهاده مزدوج از Y . برای واقعیت واقعی این مربوط به نقطه تولید نتایج مقیاس جهت متفاوت دو بردار، با مقیاس مقیاس مثبت و جهت مقطع مقیاس. تا به یک تحول متعامد آن است وزن حاصل جمع نسخه از محصول از نقطه، با وزن مثبت است.فضای هیلبرت [ ویرایش ]
مقاله در فضای هیلبرت دارای چندین نمونه از فضاهای محصول داخلی است که در آن متریک القا شده توسط محصول درونی، یک فضای متریک کامل را ایجاد می کند. یک مثال از یک محصول درونی که الگوریتم ناقص را ایجاد می کند با فضای C ([ a ، b ]) توابع ثابت پیوسته در بازه [ a ، b ] رخ می دهد . محصول داخلی است
این فضای کامل نیست برای مثال، برای بازه [-1،1] توالی از عمل "step" مداوم، { f k } k را در نظر بگیرید  ، تعریف شده توسط:
این توالی یک توالی کوشی برای هنجار القا شده توسط محصول داخلی قبلی است که به یک تابع پیوسته همگرا نیست .متغیرهای تصادفی [ ویرایش ]
برای متغیرهای تصادفی واقعی X و Y ، مقدار انتظار می رود از محصول آنها
یک محصول درونی است. [6] [7] [8] در این مورد، 〈 X ، X 〉 = 0 اگر و تنها اگر روابط عمومی ( X = 0) = 1 (یعنی X = 0 مطمئنا ). این تعریف از انتظار به عنوان محصول درونی می تواند به بردارهای تصادفی نیز گسترش یابد .ماتریسهای واقعی [ ویرایش ]
برای ماتریس مربع واقعی به همان اندازه، 〈 ، B 〉: = TR ( AB T ) با عنوان مزدوج ترانهاده
{\ displaystyle \ left {\ langle A، B \ rangle = \ left \ langle B ^ {\ mathrm {T}}، A ^ {\ mathrm {T}} \ right \ rangle \ right)}
یک محصول درونی است.فضاهای برداری با فرمها [ ویرایش ]
در یک فضای ضرب داخلی یا به طور کلی یک فضای برداری با یک فرم nondegenerate (بنابراین ریخت V → V * ) بردار را می توان به covectors (در مختصات، از طریق ترانهاده) فرستاده می شود، بنابراین می توان محصول داخلی و محصول خارجی را دو بردار، نه تنها یک بردار و یک covector.استانداردهای فضای محصول داخلی [ ویرایش ]
یک فضای خطی با یک عنصر مانند:
یک فضای رو هنجار اما نه یک فضای ضرب داخلی، چرا که این هنجار می کند راضی نیست برابری متوازی الاضلاع مورد نیاز یک هنجار به یک محصول داخلی مرتبط با آن. [9] [10]
با این حال، فضای ضرب داخلی یک به طور طبیعی تعریف هنجار بر اساس محصول داخلی از فضای خود را می کند که برآورده برابری متوازی الاضلاع است:
این به وضوح توسط معیار غیرقابل تعریف تعریف فضای محصول درونی تعریف شده است. این عدد به عنوان طول بردار x محاسبه می شود . به طور مستقیم از معیارها می توانیم موارد زیر را ثابت کنیم:نابرابری کوشی-شوارتز : برای x ، y عناصر V
با برابری اگر و فقط اگر x و y به طور خطی وابسته باشند . این یکی از مهمترین نابرابری ها در ریاضیات است. همچنین در ادبیات ریاضی روسیه به عنوان نابرابری کوشی-بنیاکوفسکی-شوارتز شناخته شده است .Orthogonality : تفسیر هندسی از محصول درونی از نظر زاویه و طول، بسیاری از اصطلاحات هندسی را که ما در رابطه با این فضاها استفاده می کنیم، تشویق می کنیم. در واقع، یک نتیجه فوری از نابرابری کوشی-شوارتز این است که توجیه کردن تعریف زاویه بین دو بردار غیر صفر x و y ( یعنی ∠ ) در مورد F = R توسط هویت
ما فرض می کنیم که مقدار زاویه در بازه [0، π] انتخاب می شود . این در مقایسه با وضعیت در فضای اقلیدسی دو بعدی است .
در مورد F = C ، زاویه در بازه [0،  π/2 ] معمولا توسط
به این ترتیب، ما خواهیم گفت که بردارهای غیر صفر x و y از V بصورت متعامد هستند اگر و فقط اگر محصول درونی آنها صفر باشد.همگنی : برای x یک عنصر از V و r اسکالر است
اموال همگنی برای اثبات کاملا بی اهمیت است.نابرابری مثلث : برای x ، y عناصر V
دو ویژگی جدید نشان می دهد که تابع تعریف شده در واقع یک عنصر است.
به دلیل نابرابری مثلث و به دلیل axiom 2، ما می بینیم که || · || یک عنصر است که V را به یک فضای بردار نوری تبدیل می کند و از این رو به یک فضای متریک نیز تبدیل می شود .مهمترین فضاهای محصول درونی آنهایی هستند که با توجه به این متریک کامل هستند ؛ آنها فضاهای هیلبرت نامیده می شوند . هر فضای داخلی محصول V یک زیر فضای متراکم از برخی از فضای هیلبرت است. این فضای هیلبرت اساسا به وضوح توسط V تعیین شده است و با تکمیل V ساخته شده است .قضیه فیثاغورث : هر گاه X ، Y در می V و 〈 X ، Y 〉 = 0 ، آنگاه
اثبات هویت فقط بیان تعریفی از هنجار را از لحاظ محصول درونی و ضرب کردن آن، با استفاده از ویژگی ادغام هر یک از اجزای تشکیل می دهد.
قضیه فیثاغورث نامی از تفسیر هندسی این نتیجه به عنوان آنالوگ قضیه هندسه مصنوعی حاصل می شود . توجه داشته باشید که اثبات قضیه فیثاغورث در هندسه مصنوعی به علت کمبود ساختار زیرزمینی، بسیار دقیق است. در این معنا، قضیه فیثاغورث مصنوعی، اگر درست نشان داده شود، عمیق تر از نسخه ارائه شده در بالا است.
القایی در بازده قضیه فیثاغورث:اگر X 1 ، ...، X n را می متعامد بردار، است که، 〈 X J ، X K 〉 = 0 برای شاخص های متمایز J ، K ، پس از آن
با توجه به نابرابری کوشی-شوارتز، ما همچنین توجه داشته باشیم که 〈·، ·〉 از V × V به F پیوسته است . این اجازه می دهد تا ما را به گسترش قضیه فیثاغورس به تعداد بسیار زیادی از جملات:هویت پارسوال: فرض کنید V یک فضای محصول کامل درونی است. اگر { X K } بردار متعامد در V پس از آن
مجموعه سری بی نهایت در سمت چپ همگرا است . تکمیل فضای مورد نیاز برای اطمینان از دنباله ای از مبالغ جزئی است
که به راحتی نشان داده می شود توالی کوشی است ، همگرا است.قانون پارلگرافی : برای x ، y عناصر V ،
قانون پارل لوراما در واقع یک شرط لازم و کافی برای وجود یک محصول درونی است که مربوط به یک عادت داده شده است. اگر آن را نگه دارد، محصول درونی با هویت قطبی تعریف میشود :
که یک شکل از قانون کوسینوس است .

توالی های Orthonormal [ ویرایش ]
اجازه دهید V یک فضای محصول داخلی در ابعاد بعدی ابعاد n باشد. به یاد بیاورید که هر اساس از V دقیقا شامل N خطی بردارها مستقل است. با استفاده از فرآیند گرام اشمیت می توانیم با یک مبنای دلخواه آغاز کنیم و آن را به صورت منظم تبدیل کنیم. به این معنی که پایه ای است که تمام عناصر متعامد هستند و دارای یک واحد واحد هستند. در کاراکتر، یک اساس { E 1 ، ...، E N }orthonormal است اگر 〈 الکترونیکی من ، الکترونیکی J 〉 = 0 برای هر من ≠ j را و〈 الکترونیکی من ، الکترونیکی من 〉 = || e i || = 1 برای هر من .
این تعریف از مبنای ارزیابی دقیق به موارد فضای محصول بی نهایت در روش زیر تعمیم می دهد. اجازه دهید V هر فضای محصول درونی باشد. سپس یک مجموعه
یک اساس برای V اگر فضا از V تولید شده توسط ترکیب خطی متناهی از عناصر E متراکم در V (در هنجار ناشی از محصول داخلی). ما می گوییم که E یک مبنای ارزیابی برای V استاگر پایه و اساس باشد
اگر α ≠ بتا و 〈 الکترونیکی α ، E α 〉 = || e α || = 1 برای همه α ، بتا ∈ .
با استفاده از یک آنالوگ بی نهایت از فرآیند گرام اشمیت می توان گفت:
قضیه هر فضای V محصول جداگانه ای V دارای پایه ای است.
با استفاده از اصل حداقلی Hausdorff و این واقعیت است که در یک فضای کامل محصول درونی فضای متعامد بر روی زیرموهای خطی به خوبی تعریف شده است، همچنین ممکن است نشان دهد که
قضیه هر فضای محصول کامل درونی محصول V دارای پایه واریانس است.
دو قاعده قبلی، این پرسش را مطرح می کند که آیا تمام فضاهای محصول درونی به صورت منظم هستند. پاسخ، معلوم است منفی است. این یک نتیجه بی اهمیت است و در زیر ثابت شده است. اثبات زیر از کتاب مشکل فضایی هیلبث Halmos گرفته شده است (مراجعه کنید). [ نیازمند منبع ]نشان می دهداثبات
هویت پارسوال بلافاصله به قضیه زیر پی می برد:
قضیه اجازه دهیم V یک فضای محصول جداکننده درونی باشد و  یک مبنای ارگونومیک  V است . سپس نقشه
یک نقشه خطی ایزومتریک V → L 2 با یک تصویر متراکم است.
این قضیه را می توان به عنوان یک شکل انتزاعی از سری فوریه تلقی کرد ، که در آن یک پایگاه رسمی دلخواه نقش توالی چندجمله ای مثلثاتی را بازی می کند . توجه داشته باشید که فهرست شاخص زیر را می توان به هر مجموعه شمرداری (و در واقع هر کدام از مجموعه های مورد نظر، در صورتی که L 2 به درستی تعریف شده باشد، همانطور که در مقاله هیلبرت توضیح داده شده است ). به طور خاص نتیجه ی زیر را در نظریه ی سری فوریه بدست آوریم:
قضیه بگذارید V فضای محصول درونی C [-π، π] باشد. سپس توالی (در مجموعه ای از تمام اعداد صحیح) از توابع پیوسته
اساس orthonormal از فضایی است C [-π، π] با L 2 داخلی است. نقشه برداری
یک نقشه خطی ایزومتریک با تصویر متراکم است.
Orthogonality دنباله { e k } k به سرعت از این واقعیت پیروی می کند که اگر k ≠ j ، سپس
نرمال توالی توسط طراحی است، یعنی ضرایب به طوری انتخاب می شوند که نهایتا به 1 برسد. در نهایت واقعیت این است که دنباله دارای طول جبری متراکم است، در محدوده محصول درونی ، از این واقعیت پیروی می کند که دنباله دارای طول جبری متراکم است، این بار در فضای توابع پیوسته پیوسته در [-π، π] با یکنواخت یکنواخت. این محتوای قضیه وایرشتراس بر روی چگالی یکنواخت چندجمله ای مثلثاتی است.

اپراتورها در فضاهای محصول داخلی [ ویرایش ]
چندین نوع از نقشه های خطی A از یک فضای محصول درونی V به یک فضای محصول داخلی W مربوط می شوند:نقشه خطی مداوم ، یعنی A ، خطی و مستمر با توجه به متریک تعریف شده در بالا یا معادل آن، A خطی است و مجموعه ای از reals غیر منفی {|| Ax ||} ، جایی که x بر روی توپ واحد بسته V قرار دارد ، محدود است.اپراتورهای خطی متقارن، یعنی خطی است و 〈 تبر ، Y 〉 = 〈 X ، آی 〉 برای همه X ، Y در V .Isometries، یعنی خطی است و 〈 تبر ، آی 〉 = 〈 X ، Y 〉 برای همه X ، Y در V ، یا به طور برابر، خطی است و || تبر || = || x || برای همه X در V . همه ایزومترها انعقاددارند Isometries مورفیزم بین فضاهای محصول درونی است، و مورفیزم های فضای محصول واقعی درونی تحولات متعامد هستند (نسبت به ماتریس متعامد ).ایزومورفیسم های ایزومتریک، یعنی A ، ایزومتری است که از نظر جبری (و به همین ترتیب bijective ) است. ایزومورفیسم های ایزومتریک همچنین به عنوان اپراتورهای واحد شناخته می شوند (نسبت به ماتریس واحد ).
از نقطه نظر نظريه فضاي محصول دروني، نياز نيست بين دو فضايي که ايزومتريک ايزومورفيک هستند را تعيين کنيم. قضیه طیفی اشکال متعارف برای متقارن، واحد و به طور کلی فراهم می کنداپراتورهای طبیعی در فضاهای محدود داخلی بعدی. تعمیم قضیه طیفی برای اپراتورهای پیوسته عادی در فضاهای هیلبرت وجود دارد.

کلیات [ ویرایش ]
هر یک از محورهای یک ضرب درونی ممکن است ضعیف شود و مفاهیم عمومی را به دست آورد. تعمیم هایی که نزدیک به ضرب  هایدرونی هستند، جایی که دوقطبی بودن و تقارن همگرا حفظ می شوند، اما قطعیت مثبت ضعیف است.

محصولات درونی تولید شده [ ویرایش ]
اگر V یک فضای بردار است و 〈·، ·〉 یک شکل سیگنال نهایی نیمه تعریف شده است، سپس تابع:
معنی می دهد و تمام خواص هنجار را به جز اینکه || x || = 0 به این معنی نیست که x = 0 باشد (بنابراین یک عملکرد یک نیمه نویسی نامیده می شود ). ما می توانیم یک فضای محصول داخلی را با در نظر گرفتن نسبت W = V / { x  : || x || = 0 }. فرم sesquilinear 〈·، ·〉 عوامل از طریق W .
این ساخت و ساز در زمینه های مختلف استفاده می شود. ساخت و ساز گلفاند-Naimark-سگال یک مثال مهم در استفاده از این روش است. مثال دیگر نمایندگی هسته های نیمه قطعی در مجموعه دلخواه است.اشکال متقارن ناپایدار [ ویرایش ]
مقاله اصلی: فضای شبه اقلیدسی
روش دیگر، یک ممکن است لازم باشد جفت شدن یک فرم nondegenerate ، به این معنی که برای همه غیر صفر X وجود دارد برخی وجود دارد Y به طوری که 〈 X ، Y 〉 ≠ 0 ، هر چند Yنیاز برابر نیست X ؛ به عبارت دیگر، نقشه القا شده به فضای دوگانه V → V * تزریقی است. این تعمیم در هندسه دیفرانسیل مهم است : یک چندجمله ای که فضاهای مماس آنها یک ضرب درونی است، یک چندجمله ریمانی است ، در حالی که اگر این مربوط به شکل متقارن ناپایدار است، چند فیشل یک چندجمله شبه ریمانی. توسط قانون لختی سیلوستر ، فقط به عنوان هر محصول داخلی شبیه به ضرب نقطه با وزن مثبت بر مجموعه ای از بردار است، هر مزدوج فرم متقارن nondegenerate مشابه محصول از نقطه با غیر صفر وزن در مجموعه ای از بردار، و تعداد وزن مثبت و منفی به ترتیب شاخص مثبت و شاخص منفی نامیده می شود. محصول بردارها در فضای Minkowski نمونه ای از محصول داخلی نامحدود است، اگرچه از لحاظ فنی، محصول داخلی نیست با توجه به تعریف استاندارد بالا. فضای Minkowski دارای چهار بعد و شاخص 3 و 1 است (تخصیص "+" و "-" به آنها بسته به نوع کنوانسیون متفاوت است ).
اظهارات جبری خالص (آنهایی که از مثبت استفاده نمی کنند) معمولا تنها بر عدم فرآیند (homomorphism تزریقی V → V * ) تکیه می کنند و به این ترتیب کلی تر را نگه می دارند.محصولات مرتبط [ ویرایش ]
اصطلاح "ضرب درونی" با ضرب بیرونی مخالف است ، که به طور کلی مخالف است. به سادگی، در مختصات، محصول درونی محصول یک covector 1 × n با یک بردار n × 1 است که یک ماتریس 1 × 1 (یک اسکالر) را تولید می کند، در حالی که ضرب بیرونی ضرب یک بردار m × 1 با یک 1 × n covector، تولید یک ماتریس m × n . توجه داشته باشید که ضرب بیرونی برای ابعاد مختلف تعریف شده است، در حالی که ضرب درونی نیاز به ابعاد مشابه دارد. اگر ابعاد یکسان باشند، پس محصول درونی ردیابی استاز ضرب بیرونی (ردیابی تنها به درستی برای ماتریس مربع تعریف شده است). در یک quip: "درونی افقی بارها عمودی است و کاهش می یابد، بیرون بارهای عمودی افقی است و گسترش می یابد".
بیشتر انتزاعی است، ضرب بیرونی یک نقشه بیلیار W × V * → Hom ( V ، W ) ارسال یک بردار و یک covector به تبدیل خطی رتبه 1 ( تانسور ساده نوع (1،1))، در حالی که ضرب درونی ارزیابی بیلیار V * × V → F با ارزیابی یک covector بر روی یک بردار؛ ترتیب فضاهای بردار دامنه در اینجا بیانگر تمایز covector / vector است.
ضرب درونی و ضرب بیرونی نباید با ضرب داخلی و ضرب بیرونی اشتباه گرفته شود ، که در عوض بر روی زمینه های بردار و فرم های دیفرانسیل انجام می شود یا به طور کلی بر رویجبر بیرونی .
به عنوان پیچیدگی بیشتر، در جبر هندسی ، محصول درونی و خارج (Grassmann) محصول در محصول هندسی (ضرب کلیفورد در جبر Clifford ) ترکیب - ضرب درونی می فرستد دو بردار (1-vectors) به یک اسکالر (a 0-vector)، در حالی که محصول بیرونی دو بردار را به یک دوچرخه (2 بردار) می فرستد - و در این زمینه ضرب بیرونی معمولا "ضرب بیرونی(گاو یا کالای دیگر)" نامیده می شود. ضرب داخلی به درستی به عنوان یک ضرب اسکالر در این زمینه نامگذاری شده است، زیرا فرم الگوریتمی غیر زاویه ای مورد بحث نباید قطعی مثبت باشد (نباید یک ضرب درونی باشد).

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Inner_product_space