سری توانی رسمی

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه دوازدهم اردیبهشت ۱۳۹۹ | 12:39

در ریاضیات ، یک سری توانی رسمی عبارت است از تعمیم چند جمله ای ، که در آن تعداد اصطلاحات مجاز به نامحدود است. این بدان معنی است که امكان تعویض متغیر در چند جمله ای با عدد دلخواه را دارد. بنابراین یک سری قدرت رسمی با چند جمله ای تفاوت دارد زیرا ممکن است اصطلاحات بی نهایت داشته باشد و با یک سریتوانی متفاوت باشد که متغیرهای آن می توانند مقادیر عددی باشند. یک راه برای مشاهده یک سری قدرت رسمی به عنوان یک دنباله سفارش نامتناهی از اعداد است. در این حالت ، از قدرت متغیر فقط برای نشان دادن ترتیب ضرایب استفاده می شود ، به طوری که ضریب $x ^ {5$ دوره پنجم در دنباله است. در ترکیبیات ، سریهای قدرت رسمی نمایشهایی از توالیهای عددی و چند مجموعه را ارائه می دهند ، و به عنوان مثال برای توالی تعریف شده بازگشتی صرف نظر از اینکه آیا بازگشت به صورت صریح قابل حل است ، عبارات مختصر را ارائه می دهند. این به عنوان روش تولید توابع شناخته می شود . به طور کلی ، سری قدرت رسمی می تواند شامل سری هایی با هر تعداد متغیر محدود و با ضرایب در یک حلقه دلخواه باشد . سری قدرت های رسمی را می توان از چند جمله های تیلور با استفاده از مدول های رسمی ایجاد کرد .

فهرست

مقدمه [ ویرایش ]

یک سری توانی رسمی را می توان به راحتی به عنوان یک شیء تصور کرد که مانند چند جمله ای است اما با اصطلاحات بی نهایت بسیار. از طرف دیگر ، برای کسانی که با سری های قدرت (یا سری تیلور ) آشنا هستند ، ممکن است یک سری توانی رسمی به عنوان یک سری قدرت فکر کند که در آن ما سوالات همگرایی را نادیده می گیریم با این فرض که متغیر X هر مقدار عددی (حتی یک مقدار ناشناخته) را نشان نمی دهد. ) برای مثال سری را در نظر بگیرید

$A = 1 - 3X + 5X ^ 2 - 7X ^ 3 + 9X ^ 4 - 11X ^ 5 + \ cdots.$

اگر ما این را به عنوان یک سری قدرت مورد مطالعه قرار دهیم ، برای مثال خصوصیات آن شامل می شود که شعاع همگرایی آن 1 است. با این وجود ، به عنوان یک سری قدرت رسمی ، ممکن است این مسئله را کاملاً نادیده بگیریم. آنچه مهم است توالی ضرایب است [1 ، −3 ، 5 ، −7 ، 9 ، − 11 ، ...]. به عبارت دیگر ، یک سری قدرت رسمی یک شیء است که فقط دنباله ای از ضرایب را ثبت می کند. کاملاً قابل قبول است که یک سری قدرت رسمی با فاکتورهای [1 ، 1 ، 2 ، 6 ، 24 ، 120 ، 720 ، 5040 ، ...] را به عنوان ضرایب در نظر بگیرید ، حتی اگر سری قدرت مربوطه برای هر مقدار غیر از X X متفاوت باشد. .

حساب در سریال هایتوانی رسمی با این سادگی تظاهر می شود که این سری ها چند جمله ای هستند. به عنوان مثال ، اگر

$B = 2X + 4X ^ 3 + 6X ^ 5 + \ cdot ،$

سپس ما A و B را با اصطلاح اضافه می کنیم :

$A + B = 1 - X + 5X ^ 2 - 3X ^ 3 + 9X ^ 4 - 5X ^ 5 + \ cdots.$

ما می توانیم سری های رسمی را چند برابر کنیم ، فقط با آنها به عنوان چند جمله ای (به ویژه به محصول کوشی نگاه کنید ):

$AB = 2X - 6X ^ 2 + 14X ^ 3 - 26X ^ 4 + 44X ^ 5 + \ cdots.$

توجه کنید که هر ضریب در محصول AB تنها به تعداد محدودی از ضرایب A و B بستگی دارد . به عنوان مثال ، اصطلاح X 5 توسط داده شده است

$44X ^ 5 = (1 \ بار 6X ^ 5) + (5X ^ 2 \ بار 4X ^ 3) + (9X ^ 4 \ بار 2X).$

به همین دلیل ، ممکن است سریال های قدرت رسمی را بدون نگرانی در مورد سؤالات معمول همگرایی مطلق ، مشروط و یکنواخت که در برخورد با سری های قدرت در مجموعه تحلیل بوجود می آیند ضرب کنیم .

هنگامی که ما ضرب را برای سری های قدرت رسمی تعریف کردیم ، می توانیم وارون های چند ضلعی را به شرح زیر تعریف کنیم. معکوس ضربدر یک سری قدرت رسمی A ، یک سری قدرت رسمی C است به طوری که AC = 1 ، به شرط وجود چنین سری قدرت رسمی. معلوم است که اگر A معکوس چند برابر داشته باشد ، بی نظیر است و ما آن را با A -1 بیان می کنیم . اکنون می توان تقسیم سری های رسمی قدرت را با تعریف B / A به عنوان محصول BA −1 تعریف کرد ، به شرط آنکه وارونه A وجود داشته باشد. برای مثال می توان از تعریف ضرب فوق برای تأیید فرمول آشنا استفاده کرد

$\ frac {1} {1 + X} = 1 - X + X ^ 2 - X ^ 3 + X ^ 4 - X ^ 5 + \ cdots.$

یک عملیات مهم در سری توانی رسمی استخراج ضریب است. در ابتدایی ترین شکل ، عامل ضریب استخراج ${\ displaystyle [X ^ {n}]}$ اعمال شده به یک سری توانی رسمی $آ$ در یک متغیر ضریب ضریب $ن$ توان پنجم از متغیر ، به طوری که ${\ displaystyle [X ^ {2}] A = 5$ و ${\ displaystyle [X ^ {5}] A = -11$ . مثالهای دیگر شامل این موارد است

${\ displaystyle {\ شروع {تراز وسط} \ چپ [X ^ {3} \ راست] (B) و = 4 ، \\\ سمت چپ [X ^ {2} \ Right] (X + 3X ^ {2} Y ^ {3} + 10Y ^ {6}) & = 3Y ^ {3} ، \\\ سمت چپ [X ^ {2} Y ^ {3} \ Right] (X + 3X ^ {2} Y ^ {3} + 10Y ^ {6}) & = 3 ، \\ \ سمت چپ [X ^ {n} \ راست] \ سمت چپ ({\ frac {1} {1 + X}} \ سمت راست) و = (- 1) ^ {n } ، \\\ سمت چپ [X ^ {n} \ سمت راست] \ سمت چپ ({\ frac {X} {(1-X) ^ {2}} right \ سمت راست) و = n. \ end {تراز شده}}$

به همین ترتیب ، بسیاری از عملیات های دیگر که بر روی چند جمله ای ها انجام می شود ، می توانند به تنظیمات سری قدرت رسمی ، همانطور که در زیر توضیح داده می شود ، گسترش دهند.

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی