ریاضیات

۱. برد توپ

فرمول: R = (v0² × sin(2θ)) / g

v0: سرعت اولیه توپ، θ: زاویه پرتاب، g: شتاب جاذبه

مثال: اگر v0 = 20 m/s و θ = 30° باشد، آنگاه R ≈ (400 × 0.5) / 9.81 ≈ 20.4 متر.

۲. ارتفاع بیشینه

فرمول: H = (v0² × sin²θ) / (2g)

مثال: برای همان توپ با v0 = 20 و θ = 30° داریم: H ≈ (400 × 0.25) / 19.62 ≈ 5.1 متر.

۳. زمان پرواز

فرمول: t = (2 × v0 × sinθ) / g

مثال: برای v0 = 20 و θ = 30° → t = (40 × 0.5)/9.81 ≈ 2.04 ثانیه.

۴. سرعت توپ پس از ضربه پا

فرمول: v' = ((1 + e) × mf × vf) / (mf + mb)

مثال: اگر جرم پا mf=5kg، جرم توپ mb=0.4kg، ضریب بازگشت e=0.5 و سرعت پا vf=10m/s باشد،

v' ≈ (1.5×5×10)/(5.4) ≈ 13.9 m/s.

۵. تکانه واردشده

فرمول: J = mb × (v' - v)

مثال: اگر توپ ابتدا ساکن باشد (v=0) و mb=0.4kg، v'=13.9 → J = 0.4×13.9 = 5.56 N·s.

۶. انرژی جنبشی منتقل‌شده

فرمول: Ek = (1/2) × mb × v'²

مثال: Ek = 0.5 × 0.4 × (13.9)² ≈ 38.6 ژول.

۷. نیروی ماگنوس (اثر چرخش)

فرمول تقریبی: FM = CM × ρ × v² × A

مثال: با CM=0.2، ρ=1.2 kg/m³، v=20 m/s، A=0.038 m² →

FM = 0.2×1.2×400×0.038 ≈ 3.65 نیوتن.

۸. رابطه سرعت خطی و زاویه‌ای توپ

فرمول: v = ω × r

مثال: اگر شعاع توپ r=0.11m و سرعت v=20 m/s → ω = 20 / 0.11 ≈ 181.8 rad/s.

۹. شتاب غلتشی

فرمول: a = -μr × g

مثال: با μr=0.02 → a = -0.02×9.81 = -0.196 m/s².

۱۰. سرعت لازم پای بازیکن

فرمول: vf = ((mf + mb) / ((1 + e) × mf)) × v'

مثال: اگر بخواهیم توپ با v'=15 m/s پرتاب شود و mf=5kg، mb=0.4kg، e=0.5 →

vf = (5.4)/(7.5)×15 ≈ 10.8 m/s.