ریاضیات

۱۰ مثال عددی — فرمول‌های ستاره‌یابی و سیاره‌یابی

1. ۱. تبدیل دایره‌البروجی → استوایی (مثال)

   فرمول‌ها:

   sin δ = sin β cos ε + cos β sin ε sin λ

   tan α = (sin λ cos ε − tan β sin ε) / cos λ

   مثال: β = 5°، λ = 120°، ε = 23.44°.

   محاسبهٔ عددی:

   sinβ=0.08716, cosβ=0.99619, cosε=0.91748, sinε=0.39778, sinλ=0.86603, cosλ=−0.5, tanβ=0.08749.

   sinδ = 0.08716×0.91748 + 0.99619×0.39778×0.86603 ≈ 0.42317 ⇒ δ ≈ 25.03°.

   tanα = (0.86603×0.91748 − 0.08749×0.39778) / (−0.5) ≈ 0.75985 / (−0.5) = −1.5197.

   با در نظر گرفتن علامت‌ها (atan2) α ≈ 123.3° ⇒ α ≈ 8.22h (≈ 8h13m).

   پاسخ: δ ≈ 25.0°، α ≈ 8h13m.

2. ۲. استوایی → ارتفاع و سمت (مثال)

   فرمول‌ها:

   sin h = sin φ sin δ + cos φ cos δ cos H

   cos A = (sin δ − sin φ sin h) / (cos φ cos h)

   مثال: φ = 35°، δ = 25°، H = 4h = 60°.

   محاسبهٔ عددی:

   sinφ=0.574, cosφ=0.819, sinδ=0.423, cosδ=0.906, cosH=cos60°=0.5.

   sin h = 0.574×0.423 + 0.819×0.906×0.5 ≈ 0.6142 ⇒ h ≈ 37.9°.

   cos h ≈ 0.790; numerator = sinδ − sinφ sin h = 0.423 − 0.574×0.615 ≈ 0.070; denom = cosφ cos h ≈ 0.819×0.790 ≈ 0.647.

   cos A = 0.070 / 0.647 ≈ 0.108 ⇒ A ≈ arccos(0.108) ≈ 83.8°.

   (برای تعیین ربع از sinA یا atan2 استفاده می‌شود.)

   پاسخ: ارتفاع h ≈ 37.9°، سمت A ≈ 83.8°.

3. ۳. فاصله زاویه‌ای بین دو جرم (مثال)

   فرمول:

   cos θ = sin δ₁ sin δ₂ + cos δ₁ cos δ₂ cos(Δα)

   مثال: δ₁=10°, δ₂=12°, Δα=1h30m = 22.5°.

   محاسبه:

   sin10=0.17365, sin12=0.20791, cos10=0.98481, cos12=0.97815, cos22.5=0.92388.

   cosθ = 0.17365×0.20791 + 0.98481×0.97815×0.92388 ≈ 0.0361 + 0.8343 ≈ 0.8704.

   θ = arccos(0.8704) ≈ 29.5°.

   پاسخ: θ ≈ 29.5°.

4. ۴. زاویهٔ فاز سیاره (مثال ساده)

   فرمول:

   cos Φ = (r² + Δ² − R²) / (2 r Δ)

   مثال ساده: فرض کنیم r = 1 AU (فاصلهٔ سیاره تا خورشید)، R = 1 AU (زمین تا خورشید)، Δ = 1 AU (فاصله زمین تا سیاره).

   محاسبه:

   cosΦ = (1 + 1 − 1) / (2×1×1) = 1/2 ⇒ Φ = 60°.

   پاسخ: زاویهٔ فاز Φ = 60°.

5. ۵. قدر ظاهری سیاره (مثال)

   فرمول مدل ساده:

   m = H + 5 log(r Δ) + β Φ

   مثال: H = 5.0، r = 1 AU، Δ = 1 AU، β = 0.02 mag/deg، Φ = 60° (از مثال ۴).

   محاسبه:

   5 log(rΔ) = 5 log(1) = 0. β Φ = 0.02×60 = 1.2.

   m = 5.0 + 0 + 1.2 = 6.2.

   پاسخ: قدر ظاهری m ≈ 6.2 (تقریبی).

6. ۶. حرکت ظاهری و شرط برگشتی (مثال)

   فرمول تقریبی برای تغییر طول دایره‌البروجی در یک روز:

   Δλ ≈ (dλ/dt)_planet − (dλ/dt)_Earth

   مثال: فرض کنیم میانگین حرکت سیاره دَور = 0.50°/day و حرکت وضعی زمین ≈ 0.9856°/day.

   محاسبه:

   Δλ ≈ 0.50 − 0.9856 = −0.4856°/day → مقدار منفی ⇒ حرکت ظاهری به سمت عقب (برگشتی) دیده می‌شود.

   پاسخ: Δλ ≈ −0.486°/day ⇒ وضعیت برگشتی.

7. ۷. اختلاف زمان رسیدن نور از سیاره (مثال)

   فرمول:

   Δt = Δ / c

   مثال: Δ = 1 AU = 1.49598×10¹¹ m، c = 3.0×10⁸ m/s.

   محاسبه:

   Δt = 1.49598e11 / 3.0e8 ≈ 498.66 s ≈ 8.31 min.

   پاسخ: اختلاف زمان ≈ 499 s ≈ 8.3 دقیقه.

8. ۸. معادله کپلر (حل تقریبی E) — مثال

   معادله:

   M = E − e sin E

   روش ساده (پیش‌نهاده): شروع با E₀ = M و یک تکرار: E₁ = M + e sin E₀.

   مثال: M = 1.0 rad، e = 0.1.

   محاسبه یک‌مرحله‌ای:

   E₀ = 1.0 → E₁ = 1.0 + 0.1×sin(1.0) = 1.0 + 0.1×0.84147 = 1.08415 rad.

   (برای دقت بیشتر تکرارهای بیشتر یا روش نیوتن-رافسن لازم است.)

   پاسخ تقریبی: E ≈ 1.084 rad.

9. ۹. فاصله سیاره از خورشید در مدار بیضوی (مثال)

   فرمول:

   r = a (1 − e cos E)

   مثال ادامهٔ مثال ۸: a = 1.0 AU، e = 0.1، E ≈ 1.084 rad، cos E ≈ 0.4685.

   محاسبه:

   r = 1.0 × (1 − 0.1×0.4685) = 1 − 0.04685 = 0.95315 AU.

   پاسخ: r ≈ 0.953 AU.

10. ۱۰. قانون سوم کپلر (مثال ساده برای دوره)

    فرمول (با واحدهای AU و سال):

    T² = a³

    مثال: a = 2.0 AU → a³ = 8.0 ⇒ T² = 8.0 ⇒ T = √8 ≈ 2.828 year.

    پاسخ: دورهٔ مداری ≈ 2.83 سال.