ریاضیات

۱۰ مثال عددی برای فرمول‌های مکان‌یابی

1. فرمول (هاورساین): فاصله بین دو نقطه روی کره

   d = 2R · asin( √[ sin²((Δφ)/2) + cos φ₁ · cos φ₂ · sin²((Δλ)/2) ] )

   مثال: فاصلهٔ تهران (φ₁=35.6892°N, λ₁=51.3890°E) تا اصفهان (φ₂=32.6525°N, λ₂=51.6776°E).

   محاسبه (خلاصه):

   Δφ = −3.0367° = −0.0530 rad, Δλ = 0.2886° = 0.00504 rad.

   a ≈ 0.000714 → c = 2·asin(√a) ≈ 0.05348 rad.

   d = R·c ≈ 6371 km × 0.05348 ≈ ≈ 341 km.

2. فرمول (فاصله سه‌بعدی):

   D = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²]

   مثال: نقطهٔ A=(1.000000e6, 2.000000e6, 3.000000e6) m و B=(1.100000e6, 2.050000e6, 2.950000e6) m.

   Δx=100000 m, Δy=50000 m, Δz=−50000 m → D = √(1.0e10 + 2.5e9 + 2.5e9) = √1.5e10 ≈ 122,474 m.

3. فرمول (جغرافیایی → ژئوسنتریک / ECEF)

   x=(N+h)cosφ cosλ, y=(N+h)cosφ sinλ, z=(N(1−e²)+h) sinφ

   مثال: φ=35°, λ=51°, h=100 m؛ WGS84: a=6378137 m, e²≈0.00669438.

   محاسبهٔ N ≈ 6.385167×10⁶ m.

   x ≈ 3.289×10⁶ m, y ≈ 4.066×10⁶ m, z ≈ 3.640×10⁶ m.

   نتیجه: ECEF ≈ (3.29e6, 4.07e6, 3.64e6) m.

4. فرمول (برگشت ECEF → جغرافیایی، خلاصه)

   روش: محاسبهٔ p = √(x²+y²), θ = atan(z a / (p b)), سپس φ, λ = atan2(y,x), و ارتفاع h = p/cosφ − N.

   مثال: اگر ECEF = (3.289e6, 4.066e6, 3.640e6) m (مثال قبلی)، با انجام معکوس عددی تقریباً به φ ≈ 35°, λ ≈ 51°, h ≈ 100 m می‌رسیم.

   (در عمل این تبدیل با روش‌های تکراری انجام می‌شود؛ نتیجهٔ عددی بالا نشان‌دهندهٔ بازگشت موفق است.)

5. فرمول (تبدیل به مختصات محلی ENU)

   [e,n,u]^T = R(φ,λ) · [x−x₀, y−y₀, z−z₀]^T

   که R ماتریس چرخش بر حسب φ, λ است (فرمول در سند اصلی).

   مثال: فرض کن Δ = (x−x₀, y−y₀, z−z₀) = (100, 200, 50) m، φ=35°, λ=51°.

   sinλ≈0.7771, cosλ≈0.6293, sinφ≈0.574, cosφ≈0.819.

   محاسبهٔ عددی:

   e ≈ −sinλ·100 + cosλ·200 ≈ −77.71 +125.86 = 48.15 m,

   n ≈ −sinφ cosλ·100 − sinφ sinλ·200 + cosφ·50 ≈ −84.34 m,

   u ≈ cosφ cosλ·100 + cosφ sinλ·200 + sinφ·50 ≈ 207.53 m.

   نتیجه: ENU ≈ (48.2 m east, −84.3 m north, 207.5 m up).

6. فرمول (فاصله تا افق از ارتفاع ناظر):

   d = √(2 R h + h²)

   مثال: ناظر با ارتفاع h = 1.7 m؛ R = 6,371,000 m.

   2Rh ≈ 21,661,400 → d ≈ √21,661,403 ≈ 4,653 m ≈ 4.65 km.

7. فرمول (تصحیح انکسار جوی نزدیک افق)

   Δ (دقیقهٔ قوسی) ≈ 1.02 / tan( h_app + 10.3/(h_app + 5.11) )

   مثال: ارتفاع ظاهری h_app = 5°.

   محاسبه: 10.3/(5+5.11)≈1.019 → tan(6.019°)≈0.1054 → Δ ≈ 1.02/0.1054 ≈ 9.676′ ≈ 0.161°.

   نتیجه:

   ارتفاع حقیقی ≈ 5° + 0.161° ≈ 5.161°.

8. فرمول (زاویهٔ مرکزی بین دو نقطه روی کره)

   cos s = sin φ₁ sin φ₂ + cos φ₁ cos φ₂ cos(Δλ)

   مثال: φ₁=35°, φ₂=32°, Δλ=2° → cos s ≈ 0.9975 → s ≈ arccos(0.9975) ≈ 0.0743 rad ≈ 4.26°.

   فاصله سطحی ≈ R·s ≈ 6371 km × 0.0743 ≈ ≈ 473 km (تقریب).

9. فرمول (تصحیح بیضوی برای مسیرهای کوتاه)

   S ≈ R·s [1 + (f/8)(cos²α₁ − cos²α₂)]

   مثال: فرض s=0.05 rad (≈318.55 km سطحی)، f=1/298.257≈0.0033528، α₁=30° (cos²=0.75), α₂=60° (cos²=0.25).

   ضریب تصحیح ≈ 1 + (0.0033528/8)·(0.5) ≈ 1.00020955 → S ≈ 318.55 × 1.00020955 ≈ ≈ 318.62 km.

10. فرمول (موقعیت GPS از فاصلهٔ پیمایش‌شده — سینگال ماهواره)

    ρᵢ = √[(x−xᵢ)² + (y−yᵢ)² + (z−zᵢ)²] + c·Δt

    مثال (تخمینی): مختصات ماهواره i ≈ (2.00e7, 2.10e7, 1.98e7) m، موقعیت تقریبی گیرنده ≈ (1.00e6, 2.00e6, 3.00e6) m، Δt = 2.0 ms = 0.002 s، c≈3.0e8 m/s.

    فاصله هندسی ≈ √( (1.9e7)² + (1.9e7)² + (1.68e7)² ) ≈ 3.678×10⁷ m.

    c·Δt = 3.0e8 × 0.002 = 6.0×10⁵ m.

    نتیجه: ρᵢ ≈ 36,780,000 + 600,000 ≈ ≈ 37,380,000 m.