ریاضیات

۱۰ فرمول جدید نجومی با تمرین عددی پیشرفته

1. ۱. قانون جرم-تابش (رابطه جرم و درخشندگی ستاره)

   فرمول: L/L☉ ≈ (M/M☉)^3.5

   مثال: ستاره‌ای با M=2 M☉، روشنایی L چند برابر خورشید است؟

   حل: L ≈ 2^3.5 ≈ 11.3 L☉

2. ۲. دوره چرخش مداری در مقیاس کهکشانی

   T = 2π r / v

   مثال: ستاره‌ای با v=220 km/s در r=8 kpc

   r=8×3.086e19 m, v=2.2e5 m/s

   T = 2π×2.4688e20 / 2.2e5 ≈ 7.06e15 s ≈ 224 Myr

3. ۳. جرم داخلی کهکشان از سرعت چرخشی

   M(r) = v² r / G

   مثال: v=250 km/s, r=10 kpc

   r=3.086e20 m, v=2.5e5 m/s

   M = (2.5e5)^2×3.086e20 / 6.6743e-11 ≈ 2.89e41 kg ≈ 1.45e11 M☉

4. ۴. شدت تابشی ستاره بر حسب فاصله

   I = L / (4π d²)

   مثال: L=3.828e26 W, d=10 pc=3.086e17 m

   I = 3.828e26 / (4π (3.086e17)²) ≈ 3.2e-10 W/m²

5. ۵. قانون ترمودینامیکی هیدرواستاتیک

   dP/dr = −G M(r) ρ(r) / r²

   مثال: ρ=1e5 kg/m³, r=7e8 m, dP/dr=-1e6 Pa/m

   M(r) = −dP/dr × r² / (G ρ) ≈ 7.35e26 kg

6. ۶. جرم سیاه‌چاله از سرعت مداری ستاره

   M = v² r / G

   مثال: ستاره با v=1000 km/s در r=0.1 pc از سیاه‌چاله

   r=0.1×3.086e16 m=3.086e15 m, v=1e6 m/s

   M = (1e6)^2×3.086e15 / 6.6743e-11 ≈ 4.62e37 kg ≈ 2.33e7 M☉

7. ۷. اختلاف زمان در عدسی گرانشی

   Δt = 4GM / c³ ln(...)

   مثال: M=1e10 M☉، ln(...)≈1

   Δt = 4×6.6743e-11×1.988e40 / (3e8)³ ≈ 1.96e5 s ≈ 2.27 روز

8. ۸. زاویه اینشتین (لنزینگ کهکشانی)

   θ_E = √(4GM / c² × D_ls / (D_l D_s))

   مثال: M=1e10 M☉, D_l=500 Mpc, D_s=1 Gpc, D_ls=500 Mpc

   θ_E ≈ 0.604″

9. ۹. انرژی گرانشی کل کهکشان کروی

   U = −3/5 G M² / R

   مثال: کهکشانی با M=1e11 M☉, R=15 kpc

   R=4.629e20 m, M=1.988e41 kg

   U ≈ −1.71e52 J

10. ۱۰. سرعت فرار از کهکشان

    v_esc = √(2GM/R)

    مثال: M=1e11 M☉, R=15 kpc

    v_esc = √(2×6.6743e-11×1.988e41 / 4.629e20) ≈ 7.58e5 m/s ≈ 758 km/s