ریاضیات

۱۰ فرمول نجومی جدید با مثال عددی مرحله‌به‌مرحله

1. ۱. قانون دوم کپلر (سطح طی شده ثابت)

   مثال: سیاره‌ای در مدار بیضوی با نیم‌محور بزرگ a=1 AU و e=0.1 حرکت می‌کند.

   می‌خواهیم سطح طی شده در ۱۰ روز اول را تقریباً محاسبه کنیم.

   حل:

   A_total = π a b ≈ π × 1 × 0.995 AU² ≈ 3.12 AU²

   dA/dt = A_total / T_orbit ≈ 3.12 / 365 ≈ 0.00855 AU²/day

   سطح طی شده در ۱۰ روز: A ≈ 10 × 0.00855 ≈ 0.0855 AU²

2. ۲. قانون پلانک

   B(λ,T) = (2hc² / λ⁵) / (exp(hc/λkT) − 1)

   مثال: T=6000 K، λ=500 nm = 5e-7 m

   حل:

   hc/λkT ≈ (6.626e-34×3e8)/(5e-7×1.38e-23×6000) ≈ 4.79

   B ≈ (2×6.626e-34×(3e8)²)/(5e-7)⁵ ÷ (exp(4.79)-1) ≈ 1.87e13 W/m²·sr·m

3. ۳. قانون وین

   λ_max = b / T, b=2.897e-3 m·K

   مثال: ستاره T=5000 K

   λ_max=2.897e-3 / 5000 ≈ 5.794e-7 m ≈ 579 nm (نور زرد-سبز)

4. ۴. دوره مداری بیضوی (قانون سوم کپلر)

   T² = 4π² a³ / GM

   مثال: سیاره a=1 AU حول خورشید M=1.988e30 kg

   T² = 4π² (1.496e11)³ / (6.6743e-11 × 1.988e30) ≈ 3.95e15 s²

   T ≈ 1.99e7 s ≈ 365 روز

5. ۵. قانون لامبرت (انحراف نور)

   θ = 4GM / c² b

   مثال: خورشید M=1.988e30 kg, b=R_sun=6.957e8 m

   θ = 4×6.6743e-11×1.988e30 / (9e16 × 6.957e8) ≈ 8.48e-6 rad ≈ 1.75″

6. ۶. قانون هابل

   v = H₀ d

   مثال: کهکشانی در فاصله 50 Mpc, H₀=70 km/s/Mpc

   v = 70×50 = 3500 km/s

7. ۷. جرم ستاره از قانون گرانش هیدرواستاتیک

   dP/dr = −G M(r) ρ(r)/r²

   مثال: ρ=1e5 kg/m³, dP/dr=-1e6 Pa/m, r=1e8 m

   M(r)=−(dP/dr) r² / (G ρ) ≈ (1e6×(1e8)²)/(6.6743e-11×1e5) ≈ 1.5e27 kg

8. ۸. جرم کل کهکشان با سرعت چرخشی

   M(r)=v² r / G

   مثال: ستاره‌ای با v=200 km/s در r=8 kpc

   r=8×3.086e19 m, v=2e5 m/s

   M = (2e5)² × 2.4688e20 / 6.6743e-11 ≈ 1.48e41 kg ≈ 7.44e10 M☉

9. ۹. اختلاف مسیر نور در عدسی گرانشی

   Δt = 4GM / c³ ln(...)

   مثال: جرم عدسی M=1e11 M☉، فاصله هندسی ln(...)≈1

   Δt = 4×6.6743e-11×1.988e41 / (2.7e25) ≈ 1.97e6 s ≈ 22.8 روز

10. ۱۰. زاویه اینشتین (لنزینگ کهکشانی)

    θ_E = √(4GM / c² × D_ls / (D_l D_s))

    مثال: M=1e11 M☉, D_l=1 Gpc, D_s=2 Gpc, D_ls=1 Gpc

    θ_E ≈ √(4×6.6743e-11×1.988e41 / (9e16) × 1e9/ (1×2)e9) ≈ 1.91″