۴ مسئله عددی — انحراف نور در میدان گرانشی

یادآوری: فرمول پایه برای انحراف زاویه‌ای نور (به رادیان) در تقریبِ نزدیک-پاسخی (weak-field) ساده:

θ = 4 G M / (c² b)

که در آن: G = 6.6743×10⁻¹¹ m³·kg⁻¹·s⁻²، c ≈ 3.0×10⁸ m/s، M جرم عدسی (کیلوگرم)، b پارامتر برخورد (impact parameter) بر حسب متر است. برای تبدیل رادیان به ثانیهٔ قوسی از ضریب 206265 استفاده کنید: 1 rad = 206265″.

1. مسئله ۱ — انحراف نور در لبهٔ خورشید
   

   پارامترها: جرم خورشید \(M = M_\odot = 1.98847\times10^{30}\ \mathrm{kg}\)، پارامتر برخورد \(b = R_\odot = 6.957\times10^8\ \mathrm{m}\).
   

   محاسبه:
   

   θ = 4 G M / (c² b)
   

   نتیجه عددی: θ ≈ 8.4785×10⁻⁶ rad ⇒ θ ≈ 8.4785×10⁻⁶ × 206265 ≈ 1.75″
   

   بنابراین انحراف ≈ 1.75 ثانیهٔ قوسی (همان مقدار کلاسیکِ شناخته‌شده).

2. مسئله ۲ — انحراف نور در فاصلهٔ ۲ برابر شعاع خورشید
   

   پارامترها: همان جرم خورشید \(M_\odot\)، اما \(b = 2 R_\odot\).
   

   محاسبهٔ سریع: چون b دو برابر شده، θ نصف می‌شود.
   

   نتیجه عددی: θ ≈ 0.874″ (تقریباً نصف مقدار حالت لبهٔ خورشید).

3. مسئله ۳ — انحراف نور توسط سیاه‌چالهٔ مرکزی کهکشان ما (مثال عددی)
   

   فرض: جرم سیاه‌چالهٔ مرکزی \(M = 4\times10^6\ M_\odot\) (حدود جرمِ تخمینیِ Sgr A*) و پارامتر برخورد \(b = 100\ \text{AU}\).

   یادآوری: \(1\ \text{AU} = 1.4959787\times10^{11}\ \mathrm{m}\).
   

   محاسبهٔ عددی (خلاصه):

   θ ≈ 0.001577 rad ⇒ به ثانیهٔ قوسی: θ ≈ 0.001577 × 206265 ≈ 325.3″ ≈ 5.42′ (۵٫۴۲ دقیقهٔ قوسی).
   

   نتیجه: برای عبور نور در فاصلهٔ ۱۰۰ AU از سیاه‌چاله‌ای با جرم چند میلیون برابر خورشید، انحراف قابل توجه (صدها ثانیهٔ قوسی، چند دقیقهٔ قوسی) خواهد بود.

4. مسئله ۴ — عدسی‌گری توسط یک کهکشان (مثال کهکشانی)
   

   فرض: جرم مؤثرِ عدسی \(M = 10^{11}\ M_\odot\) و پارامتر برخورد \(b = 1\ \text{kpc}\).

   یادآوری: \(1\ \text{kpc} = 3.0857\times10^{19}\ \mathrm{m}\).
   

   محاسبهٔ عددی (خلاصه):

   θ ≈ 1.9116×10⁻⁵ rad ⇒ θ ≈ 1.9116×10⁻⁵ × 206265 ≈ 3.94″.
   

   نتیجه: یک عدسی کهکشانی با جرم ~۱۰¹¹ M☉ و پارامتر برخورد ~۱ kpc می‌تواند انحرافی در مرتبهٔ چند ثانیهٔ قوسی ایجاد کند — مقدار در محدودهٔ مشاهدات عدسی‌های گرانشی (با توجه به هندسهٔ دقیق فاصله‌های منبع/عدسی/ناظر).

نکات اجرایی و تذکر:

• همهٔ محاسبات بالا تقریبِ سادهٔ نقطه‌ای / نزدیک-پاسخی را استفاده می‌کنند و برای حالات قوی (خیلی نزدیک به افق رویدادِ سیاه‌چاله) باید از فرمول‌های نسبیتی کامل (محاسبهٔ بانده نور در متریک شوارتزشیلد یا کِر) استفاده شود.
• در تبدیل‌ها دقتِ عددی کافی حفظ شده؛ اگر خواستی می‌توانم محاسبات را با ارقام بیشتر و واحدهای دلخواه (مثلاً میلی‌قوسی یا دقیقهٔ قوسی) نمایش دهم.
• می‌خواهی من همین چهار مثال را طوری ویرایش کنم که هر حل داخل تگ <details> قرار بگیرد تا در وبلاگ تعاملی باز/بسته شوند؟