ریاضیات

۱۰ سؤال ترکیبی نجوم و ریاضی — سطح بسیار بالا

نسخهٔ سادهٔ HTML (بدون MathJax). برای هر سؤال پاسخ کوتاه و محاسبات کلیدی آورده شده است.

1. حرکت ظاهری خورشید

   اگر میل خورشید δ = 23.44° و عرض ناظر φ = 32° باشد، ارتفاع خورشید در هنگام گذر از نصف‌النهار را بیابید.

   پاسخ

   فرمول: h = 90° − |φ − δ|

   جایگذاری: h = 90° − |32° − 23.44°| = 90 − 8.56 = 81.44°

2. مدار بیضوی سیاره‌ها

   برای خروج از مرکز e = 0.2 و حضیض q = 0.8 AU فاصلهٔ اوج را بیابید.

   پاسخ

   داریم q = a(1−e) ⇒ a = q/(1−e) = 0.8/0.8 = 1.0 AU.

   سپس اوج: Q = a(1+e) = 1.0×1.2 = 1.2 AU.

3. زاویهٔ ساعتی هنگام طلوع

   ستاره‌ای با میل δ = +20° در عرض φ = 32°؛ از رابطهٔ cos H = −tan φ · tan δ زاویهٔ ساعتی را بیابید.

   پاسخ

   محاسبات:

   tan 32° ≈ 0.6249, tan 20° ≈ 0.3639

   cos H = −0.6249×0.3639 ≈ −0.2274

   پس H = arccos(−0.2274) ≈ 103.1° ≈ 6^h 52^m.

4. انحراف نور (نسبیت عام)

   انحراف در لبهٔ خورشید θ₀ = 1.75″. برای گذر در فاصلهٔ r = 1.2 R_⊙ تقریباً چقدر است؟ (تقریب ∝ 1/r)

   پاسخ

   تقریب: θ(r) ≈ θ₀ · (R_⊙ / r) ⇒ θ ≈ 1.75″ / 1.2 ≈ 1.46″.

5. دورهٔ تناوب کپلری

   دو سیاره با نیم‌محورهای متوسط a₁ = 1 AU و a₂ = 4 AU؛ نسبت دوره‌ها را بیابید.

   پاسخ

   قانون سوم: T ∝ a^{3/2} ⇒ T₁/T₂ = (a₁/a₂)^{3/2} = (1/4)^{3/2} = 1/8.

6. مثلث کروی سماوی

   ناظر در φ = 32° ستاره‌ای را در ارتفاع h = 45° و سمت A = 70° مشاهده می‌کند. از رابطهٔ زیر میل δ را بیابید:

   sin h = sin φ sin δ + cos φ cos δ cos A

   پاسخ

   با جایگذاری اعداد:

   sin45 = 0.7071, sin32 = 0.5299, cos32 = 0.8480, cos70 = 0.3420

   معادلهٔ عددی: 0.7071 = 0.5299·sinδ + 0.2899·cosδ ⇒ حل عددی می‌دهد δ ≈ 28.4°.

7. انتقال به سرخ

   اگر z = 0.05 باشد، سرعت بر حسب km/s چقدر است؟ (تقریب: v = z c, c ≈ 3.0×10⁵ km/s)

   پاسخ

   v = 0.05 × 3.0×10⁵ = 1.5×10⁴ km/s = 15,000 km/s.

8. دمای مؤثر ستاره

   فرض کن L = 2 L_⊙ و R = 1.2 R_⊙. نسبت دما T/T_⊙ را بیابید (با رابطهٔ L ∝ R² T⁴).

   پاسخ

   2 = (1.2)² (T/T_⊙)⁴ ⇒ (T/T_⊙)⁴ = 2 / 1.44 ≈ 1.3889

   بنابراین T/T_⊙ = (1.3889)^{1/4} ≈ 1.085.

9. زاویهٔ اختلاف بین ماه و خورشید

   اگر α_moon = 5^h20^m و α_sun = 23^h10^m باشند، زاویهٔ بین آن‌ها را محاسبه کنید (درجه).

   پاسخ

   اختلاف ساعت: ابتدا به ساعت اعشاری: 5^h20^m = 5.3333h, 23^h10^m = 23.1667h.

   اختلاف مثبت با افزودن 24h: Δt = 6.1667h ⇒ در درجه: 6.1667×15° = 92.5°.

10. انتگرال شدت نوری کهکشان

    اگر سطحیّت نور I(r) = I₀ e^{-r/r₀} باشد، نشان دهید L = 2π I₀ r₀².

    پاسخ

    محاسبه در دستگاه قطبی:

    L = ∫₀^{2π} ∫₀^{∞} I₀ e^{-r/r₀} r \, dr \, dθ = 2π I₀ ∫₀^{∞} r e^{-r/r₀} dr.

    با جایگذاری u = r/r₀ نتیجه می‌شود ∫₀^{∞} r e^{-r/r₀} dr = r₀² و در نهایت L = 2π I₀ r₀².

اگر می‌خواهی همین فایل را با فونت حرفه‌ای‌تر (مثل Vazir)، یا با تمام فرمول‌ها به‌صورت SVG با کیفیت چاپ (برای تضمین کامل نمایش در بلاگفا) بسازم، بگو تا همان نسخه را آماده کنم.