ریاضیات

امواج کوانتومی

در مکانیک کوانتومی، هر ذره (مانند الکترون، پروتون یا فوتون) را می‌توان با تابع موج Ψ(r, t) توصیف کرد. مقدار |Ψ(r, t)|² احتمال یافتن ذره در نقطه r در زمان t را نشان می‌دهد.

۱. معادلهٔ شرودینگر (زمان-وابسته)

i ℏ ∂Ψ(r, t)/∂t = [ - ℏ²/(2m) ∇² + V(r) ] Ψ(r, t)

• i : واحد موهومی
• ℏ = h / 2π : ثابت پلانک
• ∇² : لاپلاسین → تغییرات فضایی تابع موج
• V(r) : انرژی پتانسیل

۲. حالت ایستا (مستقل از زمان)

اگر پتانسیل ثابت باشد، می‌توان تابع موج را به شکل زیر نوشت:

Ψ(r, t) = ψ(r) e-i E t / ℏ

که منجر به معادلهٔ شرودینگر مستقل از زمان می‌شود:

[ - ℏ²/(2m) ∇² + V(r) ] ψ(r) = E ψ(r)

۳. مثال‌های معروف

• ذره در جعبه (Infinite Potential Well):

  ψn(x) = √(2/L) sin(n π x / L),

En = n² π² ℏ² / (2 m L²), n = 1,2,3,...

• الکترون در هیدروژن:

  تابع موج سه‌بعدی: ψnℓm(r, θ, φ) که الگوهای اوربیتال‌ها را توصیف می‌کند.

۴. نکات مهم

• امواج کوانتومی، موج احتمال هستند، نه موج فشار یا نور.
• اصل عدم قطعیت هایزنبرگ محدودیت مکان و تکانه ذره را مشخص می‌کند.
• ترکیب توابع موج → ابرموضعیت‌ها (Superposition) و تداخل کوانتومی.
• تابع موج اطلاعات کامل احتمالی ذره را در اختیار می‌گذارد.

امواج کوانتومی پایهٔ تمام پدیده‌های مکانیک کوانتومی هستند و اساس رفتار الکترون‌ها، فوتون‌ها و دیگر ذرات بنیادی را توضیح می‌دهند.