در یک لولهٔ استوانهای بلند مانند لولهٔ ارگ یا فلوت، امواج صوتی بهصورت محوری و شعاعی منتشر میشوند. برای تحلیل این امواج از مختصات استوانهای (r, φ, z) استفاده میشود.
۱. معادلهٔ موج در مختصات استوانهای
(1/r) ∂/∂r (r ∂p/∂r) + (1/r²) ∂²p/∂φ² + ∂²p/∂z² = (1/c²) ∂²p/∂t²
چون موج در لوله معمولاً تقارن محوری دارد، وابستگی به φ حذف میشود:
(1/r) ∂/∂r (r ∂p/∂r) + ∂²p/∂z² = (1/c²) ∂²p/∂t²
۲. جدایی متغیرها
فرض میکنیم فشار بهصورت حاصلضرب چند تابع باشد:
p(r, z, t) = R(r) Z(z) T(t)
با جایگذاری در معادله، سه معادله جدا بهدست میآید:
- زمانی: d²T/dt² + ω²T = 0
- محوری: d²Z/dz² + kz²Z = 0
- شعاعی: (1/r) d/dr (r dR/dr) + kr²R = 0
معادله شعاعی، معادله بسل (Bessel) است و راهحل آن به صورت تابع بسل نوع اول است:
R(r) = J₀(krr)
۳. شکل کلی موج در لوله
p(r, z, t) = A J₀(krr) × sin(kzz - ωt)
- A : دامنه موج
- J₀(krr) : تابع بسل برای تغییرات شعاعی
- kz : عدد موج در راستای محور لوله
- ω : فرکانس زاویهای
۴. شرایط مرزی
در دیواره لوله (r = a)، سرعت شعاعی صفر است، یعنی:
∂p/∂r = 0
این شرط مقدارهای مجاز kr را تعیین میکند (مقادیر خاص تابع بسل).
۵. نتیجه فیزیکی
- در مرکز لوله، فشار بیشینه است و در نزدیکی دیواره کاهش مییابد.
- در راستای محور، موج ایستاده با گرهها و شکمهای متناوب تشکیل میشود.
- این پدیده اساس تولید صوت در سازهای بادی مانند فلوت، سوت و لولههای ارگ است.
این مثال یکی از مهمترین کاربردهای دستگاه مختصات استوانهای در آکوستیک است و نشان میدهد چگونه تابع بسل رفتار موج را در راستای شعاعی توصیف میکند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.