ریاضیات

مثال: موج صوتی دوبعدی روی سطح طبل

وقتی با چوب به وسط یک طبل ضربه می‌زنیم، موج‌های فشاری در تمام جهات صفحهٔ طبل منتشر می‌شوند. چون طبل سطحی دوبعدی دارد، صدای آن را می‌توان با معادله موج دوبعدی توضیح داد.

۱. معادلهٔ موج دوبعدی در دستگاه قطبی

(1/r) ∂/∂r (r ∂p/∂r) + (1/r²) ∂²p/∂θ² = (1/c²) ∂²p/∂t²

چون موج از مرکز به صورت دایره‌ای پخش می‌شود، وابستگی به زاویه (θ) حذف می‌شود و معادله ساده‌تر می‌گردد:

(1/r) ∂/∂r (r ∂p/∂r) = (1/c²) ∂²p/∂t²

۲. شکل حل موج

راه‌حل سادهٔ این معادله برای موج دایره‌ای روی سطح طبل به صورت زیر است:

p(r, t) = (A / √r) × sin(k r - ω t)

• A : دامنه موج (شدت ضربه)
• k = 2π/λ : عدد موج
• ω = 2πf : فرکانس زاویه‌ای
• r : فاصله از مرکز طبل

۳. ویژگی‌های فیزیکی موج روی طبل

• در مرکز طبل، دامنهٔ صدا بیشترین مقدار را دارد.
• با دور شدن از مرکز، شدت صدا با 1/√r کاهش می‌یابد.
• موج پس از برخورد به لبهٔ طبل بازتاب می‌شود و با موج اصلی تداخل می‌کند.
• این تداخل باعث تشکیل الگوهای ایستا (گره و شکم) روی سطح می‌شود.

۴. نتیجهٔ فیزیکی

در نتیجه، صدای طبل ترکیبی از موج‌های مستقیم و بازتابی است که در سطح دوبعدی حرکت می‌کنند. الگوهای نوسانی به شکل حلقه‌های دایره‌ای روی سطح پدید می‌آیند و باعث ایجاد صدایی غنی و طنین‌دار می‌شوند.

این مثال یکی از ساده‌ترین مدل‌ها برای درک رفتار امواج صوتی دوبعدی و پدیده‌های آکوستیکی در سطوح است.